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上海市文綺中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.若,,,設(shè),,且,則的值為()A.0 B.3 C.15 D.182.已知數(shù)列的前項和為,且,若,,則的值為()A.15 B.16 C.17 D.183.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,則的值為()A. B. C. D.4.若,且,則“”是“函數(shù)有零點”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.將正整數(shù)排列如下:則圖中數(shù)2020出現(xiàn)在()A.第64行第3列 B.第64行4列 C.第65行3列 D.第65行4列6.在數(shù)列中,,,則的值為:A.52 B.51 C.50 D.497.若點為圓C:的弦MN的中點,則弦MN所在直線的方程為()A. B. C. D.8.在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足,若,則周長的最大值為()A.9 B.10 C.11 D.129.已知實數(shù)滿足,則的最大值為()A.8 B.2 C.4 D.610.已知,則使得都成立的取值范圍是().A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知中內(nèi)角的對邊分別是,,,,則為_____.12.經(jīng)過點,且在兩坐標軸上的截距之和為2的直線的一般式方程為________.13.已知為的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,向量,.若,且,則B=14.已知球的一個內(nèi)接四面體中,,過球心,若該四面體的體積為,且,則球的表面積的最小值為_________.15.中,若,,則角C的取值范圍是________.16.方程,的解集是__________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知向量,滿足:,,.(Ⅰ)求與的夾角;(Ⅱ)求.18.如圖,函數(shù),其中的圖象與y軸交于點.(1)求的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(3)求使的x的集合.19.已知向量,滿足,,且.(1)求;(2)在中,若,,求.20.如圖,四棱柱的底面是菱形,平面,,,,點為的中點.(1)求證:直線平面;(2)求證:平面;(3)求直線與平面所成的角的正切值.21.已知的三個內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且滿足.(1)求角的大??;(2)若,,,求的長
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】
首先分別求出向量,然后再用兩向量平行的坐標表示,最后求值.【詳解】,,當時,,解得.故選B.【點睛】本題考查了向量平行的坐標表示,屬于基礎(chǔ)題型.2、B【解析】
推導(dǎo)出數(shù)列是等差數(shù)列,由解得,由此利用能求出的值.【詳解】數(shù)列的前項和為,且數(shù)列是等差數(shù)列解得解得故選:【點睛】本題考查等差數(shù)列的判定和基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
利用等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)可求的值.【詳解】因為,所以,故,故選D.【點睛】一般地,如果為等差數(shù)列,為其前項和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)且;(3)且為等差數(shù)列;(4)為等差數(shù)列.4、A【解析】
結(jié)合函數(shù)零點的定義,利用充分條件和必要條件的定義進行判斷,即可得出答案.【詳解】由題意,當時,,函數(shù)與有交點,故函數(shù)有零點;當有零點時,不一定取,只要滿足都符合題意.所以“”是“函數(shù)有零點”的充分不必要條件.故答案為:A【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的概念,以及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記函數(shù)零點的定義,以及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)題意,構(gòu)造數(shù)列,利用數(shù)列求和推出的位置.【詳解】根據(jù)已知,第行有個數(shù),設(shè)數(shù)列為行數(shù)的數(shù)列,則,即第行有個數(shù),第行有個數(shù),……,第行有個數(shù),所以,第行到第行數(shù)的總個數(shù),當時,數(shù)的總個數(shù),所以,為時的數(shù),即行的數(shù)為:,,,,……,所以,為行第列.故選:B.【點睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用,構(gòu)造數(shù)列,利用數(shù)列知識求解很關(guān)鍵,屬于中檔題.6、A【解析】
由,得到,進而得到數(shù)列首項為2,公差為的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的通項公式,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,數(shù)列滿足,即,又由,所以數(shù)列首項為2,公差為的等差數(shù)列,所以,故選A.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義,以及等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用,其中解答中熟記等差數(shù)列的定義,以及等差數(shù)列的通項公式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
根據(jù)題意,先求出直線PC的斜率,根據(jù)MN與PC垂直求出MN的斜率,由點斜式,即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知,圓心的坐標為,則,由于MN與PC垂直,故MN的斜率,故弦MN所在的直線方程為,即.故選A【點睛】本題主要考查求弦所在直線方程,熟記直線的點斜式方程即可,屬于??碱}型.8、D【解析】
利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式,求得的值,由角的范圍求出角的的大小,再由條件和余弦定理列出方程,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由,根據(jù)正弦定理可得,因為,所以,所以,即,又由,所以,由余弦定理可得,又因為,當且僅當時等號成立,又由,所以,即,所以三角形的周長的最大值為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和正弦函數(shù)的性質(zhì),以及基本不等式的應(yīng)用綜合應(yīng)用,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.9、D【解析】
設(shè)點,根據(jù)條件知點均在單位圓上,由向量數(shù)量積或斜率知識,可發(fā)現(xiàn),對目標式子進行變形,發(fā)現(xiàn)其幾何意義為兩點到直線的距離之和有關(guān).【詳解】設(shè),,均在圓上,且,設(shè)的中點為,則點到原點的距離為,點在圓上,設(shè)到直線的距離分別為,,,.【點睛】利用數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的幾何意義,即構(gòu)造系數(shù),才能看出目標式子的幾何意義為兩點到直線距離之和的倍.10、B【解析】
先解出不等式的解集,得到當時,不等式的解集,最后求出它們的交集即可.【詳解】因為,所以,因為,所以,要想使得都成立,所以取值范圍是,故本題選B.【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法,考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運算能力.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
根據(jù)正弦定理即可.【詳解】因為,,;所以,由正弦定理可得【點睛】本題主要考查了正弦定理:,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】
由題可知,直線在x上軸截距為-3,再利用截距式可直接求得直線方程【詳解】∵直線過(0,5),∴直線在y軸上的截距為5,又直線在兩坐標軸上的截距之和為2,∴直線在x軸上的截距為2-5=-3∴直線方程為,即5x-3y+15=0【點睛】直線方程有五種基本形式,在只知道橫縱截距的情況下,截距式是最快捷的一種方式13、【解析】
根據(jù)得,再利用正弦定理得,化簡得出角的大小。再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得B.【詳解】根據(jù)題意,由正弦定理可得則所以答案為?!军c睛】本題主要考查向量與三角形正余弦定理的綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。14、【解析】
求出面積的最大值,結(jié)合棱錐的體積可得到平面距離的最小值,進一步求得球的半徑的最小值得答案.【詳解】解:在中,由,且,
得,得.
當且僅當時,有最大值1.
過球心,且四面體的體積為1,
∴三棱錐的體積為.
則到平面的距離為.
此時的外接圓的半徑為,則球的半徑的最小值為,
∴球O的表面積的最小值為.
故答案為:.【點睛】本題考查多面體外接球表面積最值的求法,考查邏輯思維能力與推理運算能力,考查空間想象能力,是中檔題.15、;【解析】
由,利用正弦定理邊角互化以及兩角和的正弦公式可得,進而可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得,又,則,即,則,C是三角形的內(nèi)角,則,故答案為:.【點睛】本題注意考查正弦定理以及兩角和的正弦公式的應(yīng)用,屬于中檔題.正弦定理主要有三種應(yīng)用:求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.16、【解析】
用正弦的二倍角公式展開,得到,分兩種情況討論得出結(jié)果.【詳解】解:即,即:或.①由,,得.②由,,得或.綜上可得方程,的解集是:故答案為【點睛】本題考查正弦函數(shù)的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(I)利用向量數(shù)量積的運算,化簡,得到,由此求得的大小.(II)先利用向量的數(shù)量積運算,求得的值,由此求得的值.【詳解】解:(Ⅰ)因為,所以.所以.因為,所以.(Ⅱ)因為,由已知,,所以.所以.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積運算,考查向量夾角的計算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.18、(1),(2),,(3)【解析】
(1)由函數(shù)圖像過定點,代入運算即可得解;(2)由三角函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法求解即可;(3)由,求解不等式即可得解.【詳解】解:(1)因為函數(shù)圖象過點,所以,即.因為,所以.(2)由(1)得,所以當,,即,時,是增函數(shù),故的單調(diào)遞增區(qū)間為,.(3)由,得,所以,,即,,所以時,x的集合為.【點睛】本題考查了利用函數(shù)圖像的性質(zhì)求解函數(shù)解析式,重點考查了三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法及解三角不等式,屬基礎(chǔ)題.19、(1)(2)【解析】
(1)將展開得到答案.(2),平方計算得到答案.【詳解】解:(1)因為所以,,所以,,又夾角在上,∴;(2)因為,所以,,所以,邊的長度為.【點睛】本題考查了向量的夾角,向量的加減計算,意在考查學(xué)生的計算能力.20、(1)見解析;(2)見解析;(3)【解析】
(1)只需證明PO∥BD1,即可得BD1∥平面PAC;(2)只需證明AC⊥BD.DD1⊥AC.即可證明AC⊥平面BDD1B1(3)∠CPO就是直線CP與平面BDD1B1所成的角,在Rt△CPO中,tan∠CPO即可求解【詳解】(1)設(shè)和交于點,連結(jié),由于,分別是,的中點,故,∵平面,平面所以直線平面.(2)在四棱柱中,底面是菱形,則又平面,且平面,則,∵平面,平面,∴平面.(3)由(2)知平面.∴在平面內(nèi)的射影為∴是與平面所成的角因為,所以為正三角形∴,在中,.∴與平面所成的角的正切值為.【點睛】本題考查了線
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