2024屆江蘇省高郵市數(shù)學高一第二學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆江蘇省高郵市數(shù)學高一第二學期期末監(jiān)測模擬試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷

上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非

選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中,

恰有一項是符合題目要求的

1.已知數(shù)列｝的通項為。Tog（〃+2）,QeN*）,我們把使乘積a-a-a...a

nnn+1123n

為整數(shù)的“叫做，，優(yōu)數(shù)，，，則在（0,2019］內(nèi)的所有，，優(yōu)數(shù)，，的和為（）

A.1024B.2012C.2026D.2036

2.已知點「（since,tana）在第二象限,角。頂點為坐標原點,始邊為x軸的非負半軸,

則角a的

終邊落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知等差數(shù)列｛。｝中a+a=8則〃+a+〃+a+a

n4634567

A.10B.16C.20D.24

4.過點尸（L—3）且垂直于直線x—2y+3=0的直線方程為（

)

A.2x-y-5=0B.x+2y+5=0

C.2x+y+1=0D.2x+y-7=0

5.-150°的弧度數(shù)是（)

715兀2兀兀

B.CD.

'"I66

6.設。為AABC所在平面內(nèi)一點，若=則下列關(guān)系中正確的是（）

-1a4^1一4——

AAD———AB+—ACB.AD=-AB--AC

.3333

-4-1一4一-1

CAD=-AB+-ACD.AD=-AB--AC

.3333

7.在△筋。中，BD，=2DC；則（）

1一2—1一2—.2一1一2一1一

A-AB--ACB-AB+-ACC-AB--ACD-AB+-AC

?33.3333,33

8.函數(shù)y=%+—+6（x>0）的最小值為（）

x

A.6B.7C.8D.9

x>0

9.已知羽丁滿足：U+J<2,則目標函數(shù)z=3x+y的最大值為（）

x-y<0

A.6B.8C.16D.4

10.等差數(shù)列｛a｝的首項為1.公差不為0,若J，%，叱成等比數(shù)列，則數(shù)列｛a｝的前10

n236n

項和為（）

A.-80B.80C.-24D.24

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.已知函數(shù)y=/（x）是定義域為R的偶函數(shù).當XN0時，

(0<x<2)

關(guān)于X的方程+力■（%）+/?=0,有且僅

+l(x>2)

有5個不同實數(shù)根，則實數(shù)a+b的取值范圍是.

12.函數(shù)y=sin2x+2\3sin2x的最小正周期T為.

13.若角a的終邊經(jīng)過點尸（一2,1）,則sina+；）=.

14.若直線x+y+機=0上存在點P可作圓。：n2+y2=l的兩條切線？A、PB,切

點為4、B,且/APB=60。，則實數(shù)機的取值范圍為.

15.某銀行一年期定期儲蓄年利率為2.25%,如果存款到期不取出繼續(xù)留存于銀行，銀

行自

動將本金及80%的利息（利息須交納20%利息稅，由銀行代交）自動轉(zhuǎn)存一年期定期

儲蓄，

某人以一年期定期儲蓄存入銀行20萬元，則5年后，這筆錢款交納利息稅后的本利和

為

元.（精確到1元）

16.AABC中，內(nèi)角4、B、。所對的邊分別是a、b、c,已知c=bcosC+ccosB,

且b=2,3=120,則AABC的面積為.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA=PD,底面A8CD是矩形，側(cè)面R4D，底

面ABCD,E是A￡＞的中點.

(1)求證：A。//平面PBC；

(2)求證：平面上40.

18.已知數(shù)列｛。｝中，a=l,a+2a+3a+...+na，（〃eN*

n1123〃3〃+l

(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式；

n

(2)求數(shù)列't22a｝的前〃項和T；

nn

(3)若對任意斷eN*,都有。之(〃+1)九成立，求實地的取值范圍.

n

19.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA_L底面ABCD,

A3垂直于A。和5C,M為棱SB上的點,SA=AB=BC=2,AD=1.

(1)若"為棱S6的中點，求證：AM〃平面SCD；

(2)當SM=2MB時，求平面AMC與平面所成的銳二面角的余弦值；

(3)在第(2)問條件下，設點N是線段CD上的動點，“V與平面所成的角為

0,求當sin0取最大值時點N的位置.

20.已知等差數(shù)列｛。卜茜足a=2,a=8.

n25

⑵各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛。｝中，b=1,b+b=a求｛0｝的前〃項和T.

n1234nn

21.在國內(nèi)汽車市場中，國產(chǎn)SUV出現(xiàn)了持續(xù)不退的銷售熱潮，2018年國產(chǎn)SUV銷

量排行榜完整版已經(jīng)出爐，某品牌車型以驚人的銷量成績擊退了所有虎視眈眈的對手,

再次霸氣登頂，下面是該品牌國產(chǎn)SUV分別在2017年與2018年7?11月份的銷售量

對比表

時間7月8月9月10月U月

2017年(單位：萬輛)2.83.93.54.45.4

2018年(單位：萬輛)3.83.94.54.95.4

(I)若從7月至11月中任選兩個月份，求至少有一個月份這兩年該國產(chǎn)品牌SUV銷

量相同的概率.

(II)分別求這兩年7月至11月的銷售數(shù)據(jù)的平均數(shù)，并直接判斷哪年的銷售量比較

穩(wěn)定.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，

恰有一項是符合題目要求的

1、C

【解題分析】

根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)運算，求得〃的范圍，再用等比數(shù)列的前幾項和公式進行求

和.

【題目詳解】

根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，

aa...a=log3xlog4x?..xlog(〃+2)

12n23n+1

=log(n+2)

2

令log2(〃+2)=左,ZeZ,則可得"=2上—2

令0<2女一2<2019,解得左eLjolkeZ

貝I］在(0,2019］內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為:

Q-2)+Q一2)+...+(2io一2)

^22+23+...+2io)—18

=2026

故選：C.

【題目點撥】

本題考查新定義問題，本質(zhì)是考查對數(shù)的運算，等比數(shù)列前〃項和公式.

2、C

【解題分析】

根據(jù)點P的位置，得到不等式組，進行判斷角。的終邊落在的位置.

【題目詳解】

(、［sina<0

點P(sina,tanaJ在第二象限八=&在第三象限，故本題選c.

tana>0

【題目點撥】

本題考查了通過角的正弦值和正切值的正負性，判斷角的終邊位置，利用三角函數(shù)的定

義是解題的關(guān)鍵.

3、C

【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到％=8=2。再計算得到答案.

465

【題目詳解】

已知等差數(shù)列｛4｝中，a+a=8=2a=>a=4

n4655

a+a+a+a+a=5a=20

345675

故答案選c

【題目點撥】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.

4、C

【解題分析】

先求出直線x-2y+3=0的斜率，再求出所求直線的斜率，再利用直線的點斜式方程

求解.

【題目詳解】

由題得直線x—2y+3=0的斜率為-3=1，

-22

所以所求的直線的斜率為-2,

所以所求的直線方程為y+3=-2(x-1),即2x+y+l=0.

故選：C

【題目點撥】

本題主要考查互相垂直直線的性質(zhì)，考查直線方程的求法，意在考查學生對這些知識的

理解掌握水平，屬于基礎題.

5、B

【解題分析】

由角度與弧度的關(guān)系轉(zhuǎn)化.

【題目詳解】

1兀5兀

.150=-150X_=--.

故選：B.

【題目點撥】

本題考查角度與弧度的互化，解題關(guān)鍵是掌握關(guān)系式：180。=兀.

6、A

【解題分析】

?/BC=3CD

AC-AB=3(AD-AC)；

4一1一

：.AD=-AC--AB.

故選A.

7、B

【解題分析】

根據(jù)向量的三角形法則進行轉(zhuǎn)化求解即可.

【題目詳解】

BD'=2DC，

__2_

:.AD=AB+BD=AB+-BC,

3

^BC=AC-AB

1.2—.

則A力=-AB+-AC

33

故選：B

【題目點撥】

本題考查向量加減混合運算及其幾何意義，靈活應用向量運算的三角形法則即可求解,

屬于基礎題.

8、C

【解題分析】

直接利用均值不等式得到答案.

【題目詳解】

y=x+—+6(x>0)>2x--+6=8,x=l時等號成立.

xYx

故答案選C

【題目點撥】

本題考查了均值不等式，屬于簡單題.

9、D

【解題分析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，利用z的幾何意義，即得。

【題目詳解】

由題得，不等式組對應的平面區(qū)域如圖，z=3x+y中z表示函數(shù)在y軸的截距，由圖

易得，當函數(shù)經(jīng)過點A時z取到最大值，A點坐標為(11)，因此目標函數(shù)z=3x+y的

最大值為4.

故選:D

【題目點撥】

本題考查線性規(guī)劃，是基礎題。

10、A

【解題分析】

根據(jù)等比中項定義可得。2=a-a；利用4和4表示出等式，可構(gòu)造方程求得2；利

3261

用等差數(shù)列求和公式求得結(jié)果.

【題目詳解】

由題意得：。2=。-a

326

設等差數(shù)列｛a｝公差為dQw。)，則(a+2d1=(a+d)(a+5d)

n111

即：(l+2d>=(l+d)G+5d),解得：d=—2

inxa

:.S=10?+------=10-90=-80

ioi2

本題正確選項：A

【題目點撥】

本題考查等差數(shù)列基本量的計算，涉及到等比中項、等差數(shù)列前〃項和公式的應用；關(guān)

鍵是能夠構(gòu)造方程求出公差，屬于?？碱}型.

、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

【解題分析】

令/(x)=f,則原方程為力2+成+8=0,根據(jù)原方程有且僅有5個不同實數(shù)根，則

/(x)=，有5個不同的解，結(jié)合/(x)圖像特征，求出f的值或范圍，即為方程

t2+at+b=0解的值或范圍，轉(zhuǎn)化為范圍，即可求解.

【題目詳解】

令/(x)=t,則原方程為"+〃+匕=0,

(0<x<2)

當無之0時,,且/(x)為偶函數(shù),

+1(%>2)

做出了(x)圖像，如下圖所示:

當t=o時，〃x）=t有一個解；

當。<rwi或/=提，/（x）=r有兩個解；

當1</<?時，y（x）=r有四個解；

當/<o或/〉!■時，〃x）=f無解.

［fG）］2+?/■（%）+/?=0,。力eR有且僅有5個不同實數(shù)根，

關(guān)于/的方程"+G+匕=0有一個解為0,b=0,另一個解為一。，

、八5、，55,

—a在區(qū)間（1，7）上,所以］<一a

444

實數(shù)a+〃的取值范圍是［―［，—

故答案為

【題目點撥】

本題考查復合方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍，考查了分段函數(shù)的應用，利用換元法結(jié)合的函

數(shù)的奇偶性的對稱性，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

12、兀

【解題分析】

?/y=sin2x+>/3(1-cos2x)=2sin(2x-^-)+^3,:.T=n.

考點：此題主要考查三角函數(shù)的概念、化簡、性質(zhì)，考查運算能力.

13、一氈

5

【解題分析】

利用三角函數(shù)的定義可計算出cosa,然后利用誘導公式可計算出結(jié)果.

【題目詳解】

-22J5

由三角函數(shù)的定義可得cosa==,

《2?+125

由誘導公式可得sin(a+g]=cosa=-3^.

故答案為：—正.

5

【題目點撥】

本題考查利用三角函數(shù)的定義和誘導公式求值，考查計算能力，屬于基礎題.

14、[-2立2何

【解題分析】

試題分析：若NAPB=60。，則。P=2,直線x+y+m=0上存在點尸可作

。：％2+》2=1和的兩條切線PA,PB等價于直線x+y+〃?=。與圓％2+產(chǎn)=4有公

m

共點,由圓心到直線的距離公式可得\\<2,解之可得[—20",2"].

用

考點：點到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系的運用.

【方法點晴】本題主要考查了點到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系的運用，涉及

到圓心到直線的距離公式和不等式的求解，屬于中檔試題，著重考查了學生分析問題和

解答問題的能力，以及學生的推理與運算能力，本題的解答中直線x+y+m=°上存

在點P可作。：4+y2=1和的兩條切線PA,尸8等價于直線x+y+機=°與圓

彳2+尸=4有公共點是解答的關(guān)鍵.

15、218660

【解題分析】

20萬存款滿一年到期后利息有,本息和共

,再過一年本息和

,經(jīng)過5年共有本息元，計算即

可求出結(jié)果.

【題目詳解】

20萬存款滿一年到期后利息有,本息和共

,再過一年本息和

200000(1+2.25%x80%-，經(jīng)過S年共有本息元，

元.

故填218660.

【題目點撥】

本題主要考查了銀行存款的復利問題，由固定公式可用，本息和=本金利率

,利率是一年年利率，是存款年數(shù)，代入公式計算即可求出本息和,

屬于中檔題.

⑹正

3

【解題分析】

由正弦定理邊角互化思想結(jié)合兩角和的正弦公式得出。=c,再利用余弦定理可求出

a、c的值，然后利用三角形的面積公式可計算出A4BC的面積.

【題目詳解】

--c=bcosC+ccosB,由邊角互化思想得

sinC=sin6cosc+cos8sinC=sin(B+C),

即sinC=sinA,：.a=c,

由余弦定理得bi=a2+c2-2accosB=42+42-2a2?3a2

73,273

r.a=-b=—,

33

所以，c=a=3g,因此，S=；acsin3x當=*,故答案為

3MBC2213)23

73

3°

【題目點撥】

本題考查正弦定理邊角互化思想的應用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面積公

式的應用，解題時要結(jié)合三角形已知元素類型合理選擇正弦、余弦定理解三角形，考查

運算求解能力，屬于中等題.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17,(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解題分析】

(1)利用A￡>"BC即可證明；

(2)由面面垂直的性質(zhì)即可證明.

【題目詳解】

證明：(1)在四棱錐P—ABCD中，?.?底面A8CD是矩形，

ADIIBC,

又平面PBC,8。匚平面尸8。；

AD//平面PBC.

(2)?.,側(cè)面PAD1底面ABCD,側(cè)面PAD平面ABCD=AD,

■:ABVAD,A6平面ABC。，

..A3_L平面24。

【題目點撥】

本題考查了空間線面平行、垂直的證明，屬于基礎題.

1,n=1

1+(3〃-1)?4〃T。/1

18、(1)a3,4〃-2(2)T=--(--3--)-九--1-----

n------,n>2

、n

【解題分析】

，(〃遞推到

⑴利用遞推公式求出凈4+2%+3%+???+〃.eN*),

3〃+i

〃〃n

當〃22時,a+2。+3a+...+(-1)=/，兩個式子相減，得到

123M-1

(〃+1)。4也,n>2,進而求出數(shù)列｛a｝的通項公式;

B+1

(2)運用錯位相減法可以求出數(shù)列42〃｝的前〃項和T；

(3)對任意的〃eN*,都有。4(〃+1)九成立，轉(zhuǎn)化為大K2］的最小值即可,

?n+1

利用商比的方法可以確定數(shù)列H-的單調(diào)性，最后求出實數(shù)九的取值范圍.

H+1

【題目詳解】

n+1(…

(1)數(shù)列｛”“｝中,Q=1〃+2〃+3〃+.?,+----a,5￡N*

1123n3〃+i

23

可得〃=1時，qa,即。=_

32，-22

n

2時，a+2〃+3〃+…+(〃-l)o—a

123n-13n

n+1

又〃+2。+3。+...+〃。-----a

123n3〃+i

n+1n

兩式相減可徽。=-^-a—a

〃3n1+13n

化為(幾+1)〃=4na,n>2,

n+ln

3,4n-2

可得也=2a?4〃-2=3?4〃-2,即〃=------,n>2,

n2nn

1,n=1

綜上可得。=134-23；

〃--------,n>2

、n

(2)n2a=3n-4?-2,n>2,

n

則前n項和T=1+3(2-1+3-4+4-16+...+n-4?-2),

n

47=4+3(2-4+3-16+4-64+...十幾?4?-i),

1—4?-i

相減可得^3T二—3+3(2+4+16+…+4〃-2—〃?4〃-i)=3---------—3n-4?-i,

n1-4

1+(3?-1).4〃-i

化為T=

n3

(3)對任意即eN*,都有。2(〃+1)九成立,

n

即為入w'、的最小值，

n+1

由〃=1可得與1

2

a3-4〃-2匕￡,3,4?-i〃(〃+1)4M

n+1〃(.+1)'a(n+1)G+2)3?4〃-2n+2

n+1

可得“22時，［sj遞增,

當t或2時，Ar取得最小心

則大<].

【題目點撥】

本題考查了已知遞推公式求數(shù)列通項公式，考查了數(shù)列的單調(diào)性，考查了錯位相減法，

考查了數(shù)學運算能力.

19、(1)見解析；(2)叵;(3)即點N在線段CD上且ND=1/§

615

【解題分析】

(1)取線段SC的中點E,連接ME,ED.可證AMED是平行四邊形，從而有AMUDE,

則可得線面平行；

(2)以點A為坐標原點，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建

立空間直角坐標系，求出兩平面與平面出山的法向量，由法向量夾角的余弦值

可得二面角的余弦值；

(3)設N(X,2X—2,0),其中1<X<2,求出MM,由MN與平面￡45所成角的正

弦值為羽方與平面的法向量夾角余弦值的絕對值可求得結(jié)論.

【題目詳解】

(1)證明：取線段SC的中點E,連接ME,ED.

在中，ME為中位線，，ME7/8C且用石=,

：AT>//2C且AD=：BC,.IME//A。且ME=AD,

二四邊形AMED為平行四邊形.

；.AMUDE.

■：DEu平面SCD,AM<Z平面SCD,

AM//平面SCD.

（2）解：如圖所示以點A為坐標原點，建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、

y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（0,0,0）,B（0,2,0）,C（2,2,0）,D（l,0,0）,

S（0,0,2）,

由條件得M為線段SB近B點的三等分點.

于是AM=—AB+可AC=（0,耳,可），即M[o,可,yj,

AM?〃=0

設平面AMC的一個法向量為〃=（x,y,z）,貝八，

ACn=0

將坐標代入并取y=i,得日=（—□,—2）.

另外易知平面SAB的一個法向量為m=（1Q，O）,

m-n后

所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為pipT=—.

6

⑶設N（x,2x-2,o）,其中1<X<2.

（42、___.（102、

由于M[O,可,可），所以MN=[x,2x_3,一可J.

.QMN-m\x1

所以MN^in\40（104~140~1，

X2-3J9\~9~'XT~T'X+

40

1一71526

可知當7=_20g=，即X=jy時分母有最小值，此時有最大值,

~9~

、J2622Q11J5

此時，N7T,0,0,即點N在線段CD上且ND=」二.

【題目點撥】

本題考查線面平行的證明，考查求二面角與線面角.求空間角時，一般建立空間直角坐

標系，由平面法向量的夾角求得二面角，由直線的方向向量與平面法向量的夾角與線面

角互余可求得線面角.

20、（1）a=2"-2；（2）2?-1.

n

【解題分析】

試題分析：⑴