2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)初三第三次中考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題含解析

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)初三第三次中考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊(yùn)，下列扇面圖形是中心對(duì)稱圖形的是()

2.下列運(yùn)算正確的是()

A.a124-a4=a3B.a4*a2=a8C.(-a2)3=a6D.a*(a3)2=a7

3.解分式方程二；+三=4二，分以下四步，其中，錯(cuò)誤的一步是()

A.方程兩邊分式的最簡(jiǎn)公分母是(x-1)(x+1)

B.方程兩邊都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6

C.解這個(gè)整式方程，得x=l

D.原方程的解為x=l

4.下列天氣預(yù)報(bào)中的圖標(biāo)，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()

防浮塵大兩大雪

5.若代數(shù)式M=3f+8,N=2X2+4X,則M與N的大小關(guān)系是()

A.M>NB.M<NC.M>ND.M<N

6.運(yùn)用圖形變化的方法研究下列問(wèn)題：如圖，AB是。O的直徑，CD,EF是。O的弦，且AB〃CD〃EF,AB=10,

CD=6,EF=8.則圖中陰影部分的面積是()

■B

25萬(wàn)

A.B.10〃C.24+4乃D.24+5萬(wàn)

2

7.如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0,-1）旋轉(zhuǎn)180。得到△A，BC,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,b）,則點(diǎn)A，的坐標(biāo)為（）

8.小亮家與姥姥家相距24km,小亮8：00從家出發(fā)，騎自行車去姥姥家.媽媽8：30從家出發(fā)，乘車沿相同路線去

姥姥家.在同一直角坐標(biāo)系中，小亮和媽媽的行進(jìn)路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象如圖所示.根據(jù)圖象得出下列結(jié)論,

A.小亮騎自行車的平均速度是12km/h

B.媽媽比小亮提前0.5h到達(dá)姥姥家

C.媽媽在距家12km處追上小亮

D.9：30媽媽追上小亮

9.如圖，AABC中，AD是中線，BC=8,ZB=ZDAC,則線段AC的長(zhǎng)為（）

A.473B.40C.6D.4

10.如圖，在AABC中，BC邊上的高是（）

A.ECB.BHC.CDD.AF

11.nABCD中，E、F是對(duì)角線BD上不同的兩點(diǎn)，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（)

A.BE=DFB.AE=CFC.AF//CED.ZBAE=ZDCF

12.若矩形的長(zhǎng)和寬是方程x2-7x+12=0的兩根，則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)度為（）

A.5B.7C.8D.10

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13.在函數(shù)y=R三中，自變量x的取值范圍是.

x+2

14.觀察如圖中的數(shù)列排放順序，根據(jù)其規(guī)律猜想：第10行第8個(gè)數(shù)應(yīng)該是.

1

-23

-45?6

7-89-10

11-1213-1415

k1

15.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)丁=—（x>0）的圖象和菱形OA8C,且。5=4,tanN30C=一,若

x2

將菱形向右平移，菱形的兩個(gè)頂點(diǎn)3、C恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式是.

16.已知圓錐的底面半徑為40cm,母線長(zhǎng)為90cm,則它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為.

17.已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別為1、5,第三邊長(zhǎng)為整數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)為.

18.ABCD為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm,AD=6cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度

向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始到__________秒時(shí)，點(diǎn)P和

點(diǎn)Q的距離是10cm.

三、解答題：（本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

19.（6分）如圖1,NS4C的余切值為2,A8=2如，點(diǎn)D是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)

D為頂點(diǎn)的正方形。EFG的另兩個(gè)頂點(diǎn)E、F都在射線AC上，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，聯(lián)結(jié)BG,并延長(zhǎng)BG,交射

線EC于點(diǎn)P.

（1）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列的線段和角中，_______是始終保持不變的量（填序號(hào)）；

①AF；②FP；③BP；?ZBDG；⑤NG4C；⑥ZBPA；

(2)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,線段AP的長(zhǎng)為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域;

(3)如果APPG與AAFG相似，但面積不相等，求此時(shí)正方形的邊長(zhǎng).

20.(6分)如圖，AB是。O的直徑，D是OO上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作。O的切線交BD的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)F.連接AE并延長(zhǎng)交BF于點(diǎn)C.

(1)求證：AB=BC；

求FC的長(zhǎng).

2

X2-311

21.(6分)先化簡(jiǎn)，再求值：~--2)+——，其中x滿足一x2-x-4=0

x—1x—12

22.(8分)今年3月12日植樹(shù)節(jié)期間，學(xué)校預(yù)購(gòu)進(jìn)A、B兩種樹(shù)苗，若購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗3棵，B種樹(shù)苗5棵,

需2100元，若購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗4棵，B種樹(shù)苗10棵，需3800元.

(1)求購(gòu)進(jìn)A、B兩種樹(shù)苗的單價(jià);

(2)若該單位準(zhǔn)備用不多于8000元的錢購(gòu)進(jìn)這兩種樹(shù)苗共30棵，求A種樹(shù)苗至少需購(gòu)進(jìn)多少棵?

23.(8分)如圖所示，AABC內(nèi)接于圓O,CD,Afi于。;

(1)如圖1,當(dāng)為直徑，求證：/OBC=ZACD；

(2)如圖2,當(dāng)為非直徑的弦，連接則(1)的結(jié)論是否成立？若成立請(qǐng)證明，不成立說(shuō)明由;

(3)如圖3,在(2)的條件下，作AE,5c于E,交于點(diǎn)尸，連接E。，且A￡>=5￡>+2石E>,若DE=3,OB=5,

求CF的長(zhǎng)度.

24.（10分）知識(shí)改變世界，科技改變生活.導(dǎo)航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行.如圖，某校組織學(xué)生乘車到黑

龍灘（用C表示）開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，車到達(dá)A地后，發(fā)現(xiàn)C地恰好在A地的正北方向，且距離A地13千米，導(dǎo)航

顯示車輛應(yīng)沿北偏東60。方向行駛至B地，再沿北偏西37。方向行駛一段距離才能到達(dá)C地，求B、C兩地的距離.（參

25.（10分）甲、乙兩名隊(duì)員的10次射擊訓(xùn)練，成績(jī)分別被制成下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖.

甲乙隊(duì)良忖奮訓(xùn)

并整理分析數(shù)據(jù)如下表:

平均成績(jī)/環(huán)中位數(shù)/環(huán)眾數(shù)/環(huán)方差

甲a771.2

乙7b8C

（1）求b,c的值；分別運(yùn)用表中的四個(gè)統(tǒng)計(jì)量，簡(jiǎn)要分析這兩名隊(duì)員的射擊訓(xùn)練成績(jī).若選派其中一名參賽，你

認(rèn)為應(yīng)選哪名隊(duì)員？

26.（12分）我國(guó)南水北調(diào)中線工程的起點(diǎn)是丹江口水庫(kù),按照工程計(jì)劃，需對(duì)原水庫(kù)大壩進(jìn)行混凝土培厚加高，使壩高由

原來(lái)的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖，其中原壩體的高為BE,背水

坡坡角NBAE=68。，新壩體的高為DE,背水坡坡角NDCE=60。.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC.（結(jié)

果精確到04米，參考數(shù)據(jù):sin68%0.93,cos68-0.37,tan68°~2.5,73-1.73）

D

27.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=&（左NO）的圖象相交于點(diǎn)A（若,a）.

（2）直線x=6（b>0）分別與一次函數(shù)7=隊(duì)反比例函數(shù)y=&的圖象相交于點(diǎn)M、N,當(dāng)MN=2時(shí)，畫出示意

X

圖并直接寫出力的值.

參考答案

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、C

【解析】

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行分析.

【詳解】

A、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；

D、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

考查了中心對(duì)稱圖形的概念.中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

2、D

【解析】

分別根據(jù)同底數(shù)幕的除法、乘法和塞的乘方的運(yùn)算法則逐一計(jì)算即可得.

【詳解】

解：A、a12va4=a8,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、a4?a2=a6,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、(-a2)3=-a6,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、a*(a3)2=a?a6=a7,此選項(xiàng)正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查塞的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)塞的除法、乘法和塞的乘方的運(yùn)算法則.

3、D

【解析】

先去分母解方程，再檢驗(yàn)即可得出.

【詳解】

方程無(wú)解，雖然化簡(jiǎn)求得X=1,但是將X=1代入原方程中，可發(fā)現(xiàn)上和/一的分母都為零，即無(wú)意義,所以XW1,

x-1X-1

即方程無(wú)解

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式方程的求解與檢驗(yàn)，在分式方程中，一般求得的X值都需要進(jìn)行檢驗(yàn)

4、A

【解析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.

【詳解】

解：4、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

3、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；

。、不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中

心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

5、C

【解析】

=3尤2+&N=2X2+4X，

.?.M—N=3/+8-(2X?+4X)=X2-4X+8=(X-2)2+4〉0,

故選C.

6、A

【解析】

【分析】作直徑CG,連接OD、OE、OF、DG,則根據(jù)圓周角定理求得DG的長(zhǎng)，證明DG=EF,貝！JS扇形ODG=S蒯

OEF,然后根據(jù)三角形的面積公式證明SAOCD=SAACD,SAOEF=SAAEF,貝(JS陰影=S扇形OCD+S扇彩OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半

B?即可求解.

【詳解】作直徑CG,連接OD、OE、OF、DG.

；CG是圓的直徑，

...ZCDG=90°,則DG=yJcG^-CD2=A/102-62=8，

XVEF=8,

ADG=EF,

工DG=EF，

?'?S扇形ODG=S扇形OEF，

VAB//CD//EF,

SAOCD=SAACD,SAOEF=SAAEF,

.125萬(wàn)

2

S陰影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圓二—7r><5=-----,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，圓周角定理.本題中找出兩個(gè)陰影部分面積之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.

7、D

【解析】

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（x,y）,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱，再根據(jù)中點(diǎn)公式列式求解即可.

【詳解】

根據(jù)題意，點(diǎn)A、A，關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（x,y）,

a+xb+y

貝！I-------=0,——

22

解得x=-a,y=-b-2,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-a,-b-2）.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行坐標(biāo)與圖形的變化，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)A、A，關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵

8、D

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象可知根據(jù)函數(shù)圖象小亮去姥姥家所用時(shí)間為10-8=2小時(shí)，進(jìn)而得到小亮騎自行車的平均速度，對(duì)應(yīng)函

數(shù)圖象，得到媽媽到姥姥家所用的時(shí)間，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)確定媽媽追上小亮所用時(shí)間，即可解答.

【詳解】

解：A、根據(jù)函數(shù)圖象小亮去姥姥家所用時(shí)間為10-8=2小時(shí)，

小亮騎自行車的平均速度為：244-2=12（km/h）,故正確；

B、由圖象可得，媽媽到姥姥家對(duì)應(yīng)的時(shí)間t=9.5,小亮到姥姥家對(duì)應(yīng)的時(shí)間t=10,10-9.5=0.5（小時(shí)），

...媽媽比小亮提前0.5小時(shí)到達(dá)姥姥家，故正確；

C、由圖象可知，當(dāng)t=9時(shí)，媽媽追上小亮，此時(shí)小亮離家的時(shí)間為9-8=1小時(shí)，

,小亮走的路程為：lxl2=12km,

二媽媽在距家12km出追上小亮，故正確；

D、由圖象可知，當(dāng)t=9時(shí)，媽媽追上小亮，故錯(cuò)誤；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖像的應(yīng)用，從圖像中讀取關(guān)鍵信息是解題的關(guān)鍵.

9、B

【解析】

由已知條件可得_ABC?-ZMC,可得出三=粵,可求出AC的長(zhǎng).

【詳解】

解：由題意得：ZB=ZDAC,ZkCB=NACD,所以ABCDAC,根據(jù)“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”，得越=生,

DCAC

又AO是中線，3c=8,得DC=4,代入可得AC=40,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì).靈活運(yùn)用相似的性質(zhì)可得出解答.

10、D

【解析】

根據(jù)三角形的高線的定義解答.

【詳解】

根據(jù)高的定義，Ab為△ABC中3c邊上的高.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的高的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

11、B

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的判定方法結(jié)合已知條件逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可得.

【詳解】A、如圖，?.,四邊形ABCD是平行四邊形，.，.OA=OC,OB=OD,

?.?BE=DF,...OE=OF,...四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意；

B、如圖所示，AE=CF,不能得到四邊形AECF是平行四邊形，故符合題意;

C^如圖，；四邊形ABCD是平行四邊形，.，.。人二。?,

VAF//CE,/.ZFAO=ZECO,

XVZAOF=ZCOE,.?.△AOF^ACOE,.\AF=CE,

???AF//CE,...四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意;

D、如圖，二?四邊形ABCD是平行四邊形，，AB=CD,AB//CD,

/.ZABE=ZCDF,

XVZBAE=ZDCF,A△ABEACDF,/.AE=CF,ZAEB=ZCFD,/.ZAEO=ZCFO,

/.AE//CF,

??.AE//CF,.?.四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意，

故選B.

//^****^\.//

*?*

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

12、A

【解析】

解：設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為。、b,則a+8=7,ab=12,所以矩形的對(duì)角線長(zhǎng)

=yja2+b2=yl（ia+b）2—2ab=-2x12=1?故選A?

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13、x<l且x#-1

【解析】

試題分析：根據(jù)二次根式有意義，分式有意義得：1-xK）且x+1邦，解得：xWl且對(duì)-1.故答案為xWl且好-L

考點(diǎn)：函數(shù)自變量的取值范圍；分式有意義的條件；二次根式有意義的條件.

14、1

【解析】

由n行有n個(gè)數(shù)，可得出第10行第8個(gè)數(shù)為第1個(gè)數(shù)，結(jié)合奇數(shù)為正偶數(shù)為負(fù)，即可求出結(jié)論.

【詳解】

解：第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，第3行3個(gè)數(shù)，…，

.?.第9行9個(gè)數(shù)，

.?.第10行第8個(gè)數(shù)為第1+2+3+...+9+8=1個(gè)數(shù).

又...第2n-1個(gè)數(shù)為2n-l,第2n個(gè)數(shù)為-2n,

二第10行第8個(gè)數(shù)應(yīng)該是1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

4

15、y=-

x

【解析】

解：連接AC,交y軸于O.?.,四邊形形。48c是菱形，：.AC±OB,OD=BD,AD=CD."：OB^4,tanZBOC=,

：.OD=2,CD=1,：.A(-1,2),B(0,4),C(l,2).設(shè)菱形平移后5的坐標(biāo)是(x,4),C的坐標(biāo)是(1+x,2).'：B.

C落在反比例函數(shù)的圖象上，.?.k4x=2(1+x),解得：x=l,即菱形平移后3的坐標(biāo)是(1,4),代入反比例函數(shù)的解

4

析式得：*=1x4=4,即8、C落在反比例函數(shù)的圖象上，菱形的平移距離是1,反比例函數(shù)的解析式是廣一.故答案

x

4

為產(chǎn)一?

x

點(diǎn)睛：本題考查了菱形的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，平移的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力.

16、160°.

【解析】

圓錐的底面半徑為40cm,則底面圓的周長(zhǎng)是8(hrcm,圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，即側(cè)面展開(kāi)圖的扇

形弧長(zhǎng)是8(hrcm,母線長(zhǎng)為90cm即側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的半徑長(zhǎng)是90cm.根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可計(jì)算.

【詳解】

根據(jù)弧長(zhǎng)的公式上需得到:

1oU

n兀

80九=------,

180

解得n=160度.

側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為160度.

故答案為160°.

17、2

【解析】

分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和〉第三邊，任意兩邊之差〈第三邊”，求得第三邊的取值范圍，再進(jìn)一步

根據(jù)第三邊是整數(shù)求解.

詳解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

第三邊＞4,而VI.

又第三條邊長(zhǎng)為整數(shù),

則第三邊是2.

點(diǎn)睛：此題主要是考查了三角形的三邊關(guān)系，同時(shí)注意整數(shù)這一條件.

8-24

18、—

【解析】

作PHJ_CD,垂足為H,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，用t表示線段長(zhǎng)，用勾股定理列方程求解.

【詳解】

設(shè)P,。兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過(guò)f秒時(shí)，點(diǎn)P,。間的距離是10cm,

作垂足為77,

貝!JPH=AZ>=6,Pg=10,

；DH=PA=3t,CQ=2t,

：.HQ=CD-DH-CQ=\16-5f|,

由勾股定理，得（16-502+62=102,

解得％=4.84=16

即P,。兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過(guò)L6或4.8秒時(shí)，點(diǎn)P,。間的距離是10cm.

故答案為，8或24

【點(diǎn)睛】

考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程等，表示出HQ=CZ>-OH-CQ=[16-5f|是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

2x75

19、(1)④⑤；(2)y=——(L,x<2)；(3)—或一.

2-x54

【解析】

(1)作風(fēng)于M,交。G于N,如圖，利用三角函數(shù)的定義得到公”=2,設(shè))〃=則40=23利用

BM

勾股定理得(2廳+/=(2行產(chǎn)，解得[=2,即引0=2,AM=4,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則AE=2x,AF=3x,

GF1

由于tanNG4F=—=—,則可判斷NG4歹為定值；再利用DG//AP得到N5DG=NB4C,則可判斷NBDG為

AF3

定值；在RtABMP中，利用勾股定理和三角函數(shù)可判斷。8在變化，在變化，PR在變化；

(2)易得四邊形。為矩形，則==證明△QSAfiAP,利用相似比可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；

(3)由于NAFG=ZPFG=90°，APFG與AAFG相似，且面積不相等，利用相似比得到PF=gx,討論：當(dāng)點(diǎn)P

1n2xIf)29r2

在點(diǎn)F點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則AP=〈x,所以^=x,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則AP=；x,所以三一=；x,然

32-x332-x3

后分別解方程即可得到正方形的邊長(zhǎng).

【詳解】

(1)如圖，作5MLAC于M,交。G于N,

.,,…八AM?

在RtAABM中，'：cotZBAC=---=2,

BM

設(shè)BM=t,則AM=2t,

,:AM2+BM2=AB2，

⑵。+d=(2后,解得t=2,

:?BM=2,AM=4,

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,

AP

在RtA/4DE中，*.*cot/DAE-=2,

DE

:.AE=2x,

：.AF=3x,

在RtAGAf1中，tanNGAb==—=—

AF3x3

.?.NG4F為定值；

'：DG//AP,

:.ZBDG=/BAC,

???N50G為定值；

在RtAfiMP中，PB=V22-PM2-

而在變化，

，Pfi在變化，在變化，

，P戶在變化，

所以N30G和/G4c是始終保持不變的量；

故答案為：④⑤

(2)VMN±AP,DEFG是正方形,

...四邊形?！闙N為矩形，

NM=DE=x,

'：DG//AP,

:ZDGs^BAP,

.DGBN

y=-----(L,x<2)

2-x

(3)VZAFG=ZPFG=90°?APFG與AAFG相似，且面積不相等,

.GFPF?xPF

..=----,即n—=,

AFGF3xx

：.PF=-X

39

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)右側(cè)時(shí)，AP=AF+PF=-x+3x=-x,

33

.lx10

??----——X,

2-x3

7

解得X=1,

1Q

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)左側(cè)時(shí)，AP=AF—PF=3x—x=—x,

33

2x8

..----=~x,

2-x3

解得x=2,

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似形綜合題：熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義、正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì).

20、⑴見(jiàn)解析;⑵

【解析】

分析：(1)由A5是直徑可得點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，可知BE垂直平分線段AC,從而結(jié)論可證；

(2)由NE4C+NCA5=90。，ZCAB+ZABE=9Q°,可得從而可設(shè)AE=x,BE=2x,由勾股定理求出

AE.BE、AC的長(zhǎng).作SLA廠于77,nfiiERtAACH<^RtABAC,列比例式求出HC、AH的值，再根據(jù)平行線分線

段成比例求出FH,然后利用勾股定理求出FC的值.

詳解：(1)證明：連接BE.

；AB是。O的直徑，

.\ZAEB=90°,

/.BE±AC,

而點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

ABE垂直平分AC,

.\BA=BC；

(2)解：；AF為切線，

；.AF_LAB,

VZFAC+ZCAB=90°,ZCAB+ZABE=90°,

/.ZFAC=ZABE,

AtanZABE=ZFAC=~,

2

AF1

在RtZkABE中，tanNABE=^=上，

BE2

設(shè)AE=x,貝?。軧E=2x,

，AB=，^x,即J^x=5,解得x=注，

；.AC=2AE=2掂，BE=2庭

作CHLAF于H,如圖，

VZHAC=ZABE,

/.RtAACHsRtABAC,

.HCAHAC0nHCAH275

,，AE=BE=AB，即TT醞飛

/.HC=2,AH=4,

VHC/7AB,

點(diǎn)睛：本題考查了圓周角定理的推論，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與

性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)及見(jiàn)比設(shè)參的數(shù)學(xué)思想，得到3E垂直平分AC是解（1）的

關(guān)鍵，得到R3AC7/SR3BAC是解（2）的關(guān)鍵.

21、1

【解析】

首先運(yùn)用乘法分配律將所求的代數(shù)式去括號(hào)，然后再合并化簡(jiǎn),最后整體代入求解.

【詳解】

Y2-31

解：(----2)-——

x—1%—1

-X2-3-2(X-1)/1、

------------;---------?(x-1)

X-1

=x2-3-2x+2

=x2-2x-l,

1,

V-x2-x-4=0,

2

?*.x2-2x=8,

，原式=8-1=1.

【點(diǎn)睛】

分式混合運(yùn)算要注意先去括號(hào);分子、分母能因式分解的先因式分解;除法要統(tǒng)一為乘法運(yùn)算.注意整體代入思想在代數(shù)

求值計(jì)算中的應(yīng)用.

22、(1)購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗的單價(jià)為200元/棵，購(gòu)進(jìn)B種樹(shù)苗的單價(jià)為300元/棵(2)A種樹(shù)苗至少需購(gòu)進(jìn)1棵

【解析】

(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗的單價(jià)為x元/棵，購(gòu)進(jìn)B種樹(shù)苗的單價(jià)為y元/棵，根據(jù)“若購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗3棵，B種樹(shù)苗5棵,

需210元，若購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗4棵，B種樹(shù)苗1棵，需3800元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得

出結(jié)論；

(2)設(shè)需購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗a棵，則購(gòu)進(jìn)B種樹(shù)苗(30-a)棵，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)x購(gòu)買數(shù)量結(jié)合購(gòu)買兩種樹(shù)苗的總費(fèi)用不

多于8000元，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗的單價(jià)為x元/棵，購(gòu)進(jìn)B種樹(shù)苗的單價(jià)為y元/棵，根據(jù)題意得：..北，

Ui+wn=3soo

解得：=：G0-

I二』300

答：購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗的單價(jià)為200元/棵，購(gòu)進(jìn)B種樹(shù)苗的單價(jià)為300元/棵.

(2)設(shè)需購(gòu)進(jìn)A種樹(shù)苗a棵，則購(gòu)進(jìn)B種樹(shù)苗(30-a)棵，根據(jù)題意得：

200a+300(30-a)<8000,

解得：a>l.

；.A種樹(shù)苗至少需購(gòu)進(jìn)1棵.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一

次方程組；(2)根據(jù)數(shù)量間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

14

23、(1)見(jiàn)解析；(2)成立；(3)y

【解析】

(1)根據(jù)圓周角定理求出NACB=90。，求出NADC=90。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；

(2)根據(jù)圓周角定理求出NBOC=2NA,求出NOBC=90"NA和NACD=9(T-NA即可；

(3)分別延長(zhǎng)AE、CD交。O于H、K,連接HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延長(zhǎng)CG交AK于M,延長(zhǎng)

KO交。O于N,連接CN、AN,求出關(guān)于a的方程，再求出a即可.

【詳解】

(1)證明：???AB為直徑，

.../ACB=90°,

；CDLAB于D,

.../ADC=90°,

/.ZOBC+/A=90°,ZA+ZACD=90°,

.?./OBC=/ACD；

(2)成立，

證明：連接OC,

圖2

由圓周角定理得：/BOC=2/A,

VOC=OB,

/OBC=1(180°-^BOC)=1(180°-2/A)=90°-ZK,

??,/ADC=90°,

.../ACD=90°—/A,

，/OBC=/ACD；

(3)分別延長(zhǎng)AE、CD交。O于H、K,連接HK、CH、AK,

H」

K圖3

VAE±BC,CD±BA,

ZAEC=NADC=90°,

.'.”CD+/CFE=90°,^BAH+^DFA=90°,

???/CFE="FA,

:.^BCD=^BAH,

?.?根據(jù)圓周角定理得：NBAH=/BCH,

:."CD=4AH="CH，

由三角形內(nèi)角和定理得：ZCHE=/CFE,

，CH=CF,

，EH=EF,

同理DF=DK,

???DE=3,

.??HK=2DE=6,

在AD上取DG=BD,延長(zhǎng)CG交AK于M,則AG=AD—BD=2DE=6,

BC=GC,

^MCK="CK=4AK,

.../CMK=90。，

延長(zhǎng)KO交。O于N,連接CN、AN,

貝！IZNAK=90°=NCMK,

ACM//AN,

■:^NCK=/ADK=90°,

ACN//AG,

四邊形CGAN是平行四邊形，

AG=CN=6,

作OTLCK于T,

則T為CK的中點(diǎn)，

為KN的中點(diǎn),

0T=-CN=3,

2

；/OTC=90。，OC=5,

...由勾股定理得：CT=4,

.,.CK=2CT=8,

作直徑HS,連接KS,

VHK=6,HS=10,

...由勾股定理得：KS=8,

3

tan/HSK=-=tan/HAK,

4

tan^EAB=—=tan^BCD,

3

設(shè)BD=a,CD=3a,

AD=BD+2ED=a+6,DK=-AD=-a+2,

33

VCD+DK=CK,

3aH—a+2=8,

3

9

解得：a=-,

113

DK=—a+2=——，

35

14

CF=CK-2DK=8--

5y

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂徑定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行

推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大.

24、(20-573)千米.

【解析】

分析：作BDJ_AC,設(shè)AD=x,在RtAABD中求得BD=J^x,在RtABCD中求得CDn^^x,由AC=AD+CD建

立關(guān)于x的方程，解之求得x的值，最后由BC=———可得答案.

cosZDBC

詳解：過(guò)點(diǎn)B作BDJ.AC,

依題可得：ZBAD=60°,ZCBE=37°,AC=13（千米）,

VBD1AC,

AZABD=30°,ZCBD=53°,

在RSABD中，設(shè)AD=x,

,AD

??tanNABD=-----

BD

即tan30°=—=^,

BD3

.".BD=^/3x,

在RtADCB中,

.，CD

.*.tanZCBD=——

BD

CD4

即antan53°=-----=—

BD3

3

VCD+AD=AC,

.??x+生國(guó)=13,解得，X=4A/3-3

3

：?BD=12-3^3,

在RtABDC中,

?，BD

??cos^CBD=tan600=-----,

BC

BD_12-373”＜匹

即：BC=cos/DBC—"（千米）,

5

故B、C兩地的距離為（20-5百）千米.

點(diǎn)睛：此題考查了方向角問(wèn)題.此題難度適中，解此題的關(guān)鍵是將方向角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識(shí)，利用三角