湖南省湘潭市2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

湘潭市2022年高二期末考試

數(shù)學(xué)試卷

全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={M<x<5},集合6={2叫“<1},則”3=(

)

A.(1,3)B.[-2,3)C.[0,2)D.[-2,0)

【答案】A

【解析】

【分析】將集合B化簡(jiǎn)，然后根據(jù)交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榧螧={x|log3x<1}={x|O<x<3},

則Ac3=(1,3)

故選:A

2.直線/：x+J5y+2022=0的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)直線方程求得斜率，再利用斜率和傾斜角的關(guān)系求解.

【詳解】因?yàn)橹本€/:x+Ky+2022=0，

所以直線的斜率為z=-走，

3

設(shè)直線的傾斜角為貝hana=-走，

3

因?yàn)?°Wa<180°,

所以a=150°.

故選：D.

3.棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球的表面積為()

3兀

A.—B.3兀C.127cD.16K

4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正方體與其外接球之間的關(guān)系，求出外接球的半徑，即可得出球的表面積.

【詳解】解：易知，正方體的體對(duì)角線是其外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為A,

則2H="中喬=6,故氏=等?

所以S=4TIR2=4兀=3兀.

故選：B.

4.已知函數(shù)/(x)=V+i,則lim()

Ax

3

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】c

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/。)=/+1,

所以y以匕「2=1"時(shí)+1-2=lim=2,

°AxAXTOMAXTO\7

故選：c

5.定義在R上的偶函數(shù)〃x)滿(mǎn)足：對(duì)任意的七,W€(YO,0](石工馬)，有八"八〃<0,則

玉一9

()

A./(-2)</(3)</(4)B./(-2)>/(3)>/(4)

C./(3)</(4)</(-2)D.門(mén)4)</(—2)</⑶

【答案】A

【解析】

【分析】依題意可得/(X)在(-00,01上單調(diào)遞減，再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到/(X)在(0,+8)上的單調(diào)性,

根據(jù)單調(diào)性與奇偶性判斷即可.

有小匕9<0

【詳解】解:因?yàn)閷?duì)任意的玉，wG(YO,0](X]

玉-x2

所以/(x)在(-8,0】上單調(diào)遞減，又/(x)為偶函數(shù)，

所以“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則〃2)</(3)</(4),

又/(-2)=/(2),所以/(-2)</(3)</(4).

故選：A

1—Xo

6.已知奇函數(shù)f(x)=lg-------F(tan—2)-,貝Ijsin必一cos2。的值為()

1+X

37

A.-B.-C.2D.3

55

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)/(—x)=-/(x)求出tan。，再由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦

化切，最后代入計(jì)算可得.

1_Y1_y

【詳解】對(duì)于函數(shù)/(x)=1g——+(tan?！?>/，令一>0,解得一1<%<1,所以函數(shù)的定義域

1+X1+X

為(-1,1),

?I丫?__丫

又函數(shù)為奇函數(shù)，則。(一力=一/(力，即1g-----+(tan6>-2)-x2=-lg--------(tan61-2)-x2,

1-x1+x

1—%,l+x

即2(tan^-2)-x2=-lgF

1+x

(1—x.1+x1-xl+x

一愴二十但工=Tg=0,

1+x1-x

所以tan6-2=0,即tan6=2,

2sin0cos^-cos20+sin20

所以sin2。一cos20=

cos2+sin20

2tan/9-l+tan2^2x2-l+227

l+tan201+225

故選：B

X2孑=1(4>6〉0)的左，右頂點(diǎn)分別為A,B,且橢圓C的離心率為嚕，點(diǎn)P是

7.已知橢圓C:一+

a~

橢圓C上的一點(diǎn)，且tanNPA3=,，則tan/APB()

4

101111

A.-----B.——c.—-7

91010

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)尸(飛,幾)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)仁=tan/PA6=；,右=-tanNPB4求出匕?卷為定值，從而

能求出tanZPBA的值，然后根據(jù)tanZAPB=-tan(NB4B+NPBA)求解.

【詳解】設(shè)尸(%,幾)代入橢圓方程，則烏+*=1(。>人>0)

整理得：狀=與(。2一片),設(shè)仁=tan/PAB=；,k2=-tanZP5A

又匕=」一，%2=一^,所以

工0+Q/一Q

pQ^=￡=—與=—4=一(j2)=」

7

xQ+axQ-ax0—aaa'6

1?2

而4=tan/PA8=一,所以％?=-tan/P8A=——,所以tanNP8A=—

*433

12

—1—

/.nn//八i/八八八tanZPAB4-tanZPBA43_11

tanZAPB=-tan(ZPAB+/PBA)=----------------------=

''1-tan^PABtanZPBA11210

43

故選：B

22

8.已知雙曲線「：「一二=l(a>0力>0)的右焦點(diǎn)為E(c,0)(c>0),M是雙曲線的左支上的一點(diǎn)，點(diǎn)

a~b~

垂足為￡>,sinZD斤8=，，且|MD1=3則雙曲線「的離心率為

()

A.75B,姮C.2D.叵

37

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義得|W|=4x,|MN|=4尤—2a,焦點(diǎn)三角形中由余弦定理可得

x="+J2cI-"二進(jìn)而由勾股定理里即可得49c.4一][4a2c2+65出=o,由齊次式即可求解.

4

【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為N,在直角V如中，|即《si”電/般n|附小

設(shè)尸|=x,則|M尸|=4x,|MV|=|M可—2a=4x—2a,故在焦點(diǎn)三角形MNF中,

c°s/MFN一由+所-1MM2=—+4c2-（4x-2a）2=工,

2\MF\\NF\2X4XX2C,解得

2C

由于J2r2_/=Jc2+02―/）＞。，故

“苦三舍去,只取“=若三

在直角V3OE中,\BDf+\DFf^\BFf,故"'Ze。-/

I7

化簡(jiǎn)得49114/+65/=。，進(jìn)而49m+65=。，解得/啜或e』（舍去），故

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4=l+2i,Z2=2-i,則（）

A.Z1共規(guī)復(fù)數(shù)為T(mén)+2iB.|z1|=|z2|

C.4+Z2為實(shí)數(shù)D.Z1<2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的定義可判斷A,根據(jù)模長(zhǎng)的計(jì)算公式可判斷B,根據(jù)復(fù)數(shù)的加法以及乘法運(yùn)算即

可判斷CD.

【詳解】對(duì)于人,馬=1+方，4=1一石,故人錯(cuò)誤，

對(duì)于B,Z1=l+2i/2=2-i,則團(tuán)=石,閆=石，故團(tuán)=七|,故B正確,

對(duì)于C,4+Z2=3+i為虛數(shù)，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,z/Z2=(l+2i)(2—i)=2—i+4i-2i2=4+3i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(4,3),故馬已在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)在第一象限，故D正確，

故選：BD

10.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.(In7y=,B.[(J+2)sinxJ=2xsinx+(%2+2)cosx

C田'_2i2

D.[…吟工

[e,廠e，

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對(duì)于A,(In7)'=0,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,[(V+zgnx]=(/+2)sinx+(x2+2)(sinx)'=2xsinx+(x2+2)cosx,故B正確,

22v

5'(x)e'-x(e)_2x-x2

對(duì)于c,故C正確,

(e')2ex

3

對(duì)于D,[ln(3x+2)]'=^^,故D錯(cuò)誤，

3x+2

故選：BC

11.已知等差數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和為S“,%=9,S7=49,則下列說(shuō)法正確的是()

A.??=2〃-1B.S“=〃2

16

C.a?+---最小值為6D.數(shù)列｛2"”｝是公比為2的等比數(shù)列

an+\

【答案】AB

【解析】

【分析】對(duì)A,B選項(xiàng)由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式得到方程組，解出q,d,從而得到勺=2〃-1,

216c,16

S=n2,對(duì)C選項(xiàng)，a?+——=2?-l+---利用基本不等式可求出最值，但是要注意取等條件，對(duì)

n-2/1+1

D選項(xiàng)計(jì)算會(huì)的值即可.

"1+4d=9,

a.=9o4=1

【詳解】；即〈7x（7-1），解得LC，

由=497q+———^=49[d=2

、2

2

：.an=1+2（H—l）=2n—1,S“—〃"+~—=n,故AB正確，

aH

n——=2?-1+-2n+\+-----2>2A/16-2=6，（當(dāng)且僅當(dāng)2〃+1=—，即〃=3時(shí),

/+i2/1+12〃+12〃+12

取“="，但〃eN*），

16.1631

所以當(dāng)〃=2時(shí)，??+——=3+玄=三，

4+155

16,1619311631

a+=+

當(dāng)〃=1時(shí)，n+---=1—V>V'---的最小值為一，故C錯(cuò)誤，

4+1335an+l5

2%+i

?.?——=2"*%=22=4,

2冊(cè)

???{24}是公比為4的等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

12.已知拋物線C：V=i2x,點(diǎn)尸是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)M（4,3）,則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為％=-3

B.若|P目=7,則△PMF的面積為26—T

C.耳-|PM|的最大值為

D.△PMF的周長(zhǎng)的最小值為7+JTU

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得準(zhǔn)線方程為％=-3,即可判斷A,根據(jù)拋物線定義得到％=4,故

P點(diǎn)可能在第一象限也可能在第三象限，分情況計(jì)算三角形面積即可判斷B,利用三角形任意兩邊之差

小于第三邊結(jié)合三點(diǎn)一線的特殊情況即可得到，"用-|初|）皿=|岫，計(jì)算即可判斷C,三角形

PA"的周長(zhǎng)=|刊4+|〃尸|+|P~|=|PM+|PF|+J13,再結(jié)合拋物線定義即可求出IPM1+1PEI的

最小值，即得到周長(zhǎng)最小值.

【詳解】y2=12x,.-.p=6,.-.F（3,0）,準(zhǔn)線方程為x=—3,故A正確；

根據(jù)拋物線定義得iPEkxp+TnXp+Bu7,xp=4,M（4,3）,

，PM〃丁軸，當(dāng)x=4時(shí)，y=±4G，

若P點(diǎn)在第一象限時(shí)，此時(shí)尸1,4，5）,

1O

故尸河=48一3，AftW的高為1，故SPMF=/xk6-3卜1=26-展

若點(diǎn)P在第四象限，此時(shí)P（4,-46）,故PM=46+3，

的高為1,故5.=^（46+3卜1=26+5，故8錯(cuò)誤；

\PF\-\PM\<\MF\,.-.（\PF\-\PM|）nnK=\MF\=J（4-3『+（3-0『=M，故C正確；

（連接FM,并延長(zhǎng)交于拋物線于點(diǎn)尸，此時(shí)即為I尸用-IPMI最大值的情況，

圖對(duì)應(yīng)如下）

過(guò)點(diǎn)P作尸準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)。，

x=把-3'

△PMF的周長(zhǎng)=|PM|+|"尸|+歸目=|PM|+|PF|+V10=|PM|+|PD|+V10,

若周長(zhǎng)最小，則|尸徵+歸口長(zhǎng)度和最小，顯然當(dāng)點(diǎn)位于同一條直線上時(shí)，耳的和最

小，

此時(shí)|PW|+|MF|=|叫=7,

故周長(zhǎng)最小值為7+故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知在一次降雨過(guò)程中，某地降雨量），（單位：mm）與時(shí)間r（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可近似表

示為y=J7，則在f=4min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為mm/min.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】將函數(shù)y=〃關(guān)于f求導(dǎo)，再將，=4代入上式的導(dǎo)函數(shù)，即可求解.

1

【詳解】因y—y/，

（1[1

所以r?）=產(chǎn)=_!_/,

k72

I.11

■■■/⑷=于42=屋

故在。=4min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某--時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為lmm/rnin.

4

故答案為：—.

4

14.在.ABC中，BC=2,AC=V3,ZB=60°，則ZA=.

【答案】900

【解析】

【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.

【詳解】根據(jù)正弦定理可知=代入題中數(shù)據(jù)/一=X—=2,可知sinA=l,所以

sinAsin8sinAsin60°

ZA=90°

故答案為:90°

2S

15.已知等比數(shù)列{4},其前〃項(xiàng)和為S“，%=2，4=77,則滿(mǎn)足2＜口＜15的所有〃的和為

【答案】5

【解析】

SS

【分析】首先求出公比0，即可得到4、s“，即可得到再令2<j<15,即可得到5<3"<31，

a?a?

從而求出”的取值范圍，再根據(jù)〃eN*,即可求出”的值.

【詳解】在等比數(shù)列｛4｝中，其前〃項(xiàng)和為s“，%=2，?6=—，

3a611

所以g則4=彳，

?3273

n-3

(1、

所以〃〃=2x-=54xri,則

<357

3

27

所以顯

S1

令2<j<15,即2<—(3"—1)<15,BP5<3"<31.^rttlog35</7<log331,

an2

因?yàn)椤癳N*,所以〃=2或〃=3,

S

所以滿(mǎn)足2<」<15的所有〃的和為2+3=5.

a“

故答案為：5

16.己知點(diǎn)A(2,1),B(2,-3),若直線H-y+3-4Z=0上存在點(diǎn)尸使得B4.pB<o成立，則實(shí)數(shù)A的

取值范圍是.

【答案】g，+8)

【解析】

【分析】設(shè)2%,%),得(4-2)2+(%+1)2<4,得在圓(x-2)2+(y+l)2=4的內(nèi)部，得

圓心(2,-1)到直線的距離小于半徑2,即可解決.

【詳解】由題意得，A(2,1),B(2,一意,直線麻一田+3一軟=0,

設(shè)P（Xo，%），

所以PA=（2-Xo，l—%），依=（2_為,一3_%）,

所以朗?依=（2_/）2+（1-%）（_3_%）<0，

化簡(jiǎn)得（％-2y+（%+1尸<4,

所以P（尤0,%）在圓（x-2>+（>+=4的內(nèi)部，

所以圓。一2）2+（y+l）2=4與直線丘-丁+3-4&=0相交，

所以圓心（2,-1）到直線的距離小于半徑2,

|2女+1+3—443

所以一7―—[<2,解得%>二，

VF714

所以實(shí)數(shù)我的取值范圍是（|,+B]

故答案為：（a'+00]

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為S,,S3=15,S12=222.

（I）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若2=-----,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

anan+｝

【答案】（1）?！ǘ?八一1

（2）7；,=-———

"69n+6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)公式法求解即可；

（2）由于根據(jù)裂項(xiàng)相消求和即可解決.

3\3n-\3n+2j

【小問(wèn)1詳解】

由題知，等差數(shù)列｛4｝的前?項(xiàng)和為5?,S3=15,SI2=222,

S3=q+%+/=15(

所以卜建安即[+d=w5，

4=2

解得《C

["=3

所以Q〃=2+(〃_1),3=3〃-1,

所以｛4｝的通項(xiàng)公式為q=3〃-1；

【小問(wèn)2詳解】

由(1)得，an-3n-l,

111_1

3〃+2_69〃+6

J_1

所以數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；

69n+6

18.中國(guó)數(shù)學(xué)交通大會(huì)暨博覽會(huì)將于9月在北京新國(guó)展舉辦.為做好本次博覽會(huì)的服務(wù)工作，需從某高校

選拔志愿者，現(xiàn)對(duì)該校踴躍報(bào)名的60名學(xué)生進(jìn)行綜合素質(zhì)考核，將得到的分?jǐn)?shù)分成3段:

[40,60),[60,80),[80,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖:

(1)求〃?的值并估計(jì)這60名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)(中位數(shù)保留一位小數(shù))；

(2)從報(bào)名的60名學(xué)生中，根據(jù)考核情況利用比例分配的分層抽樣法抽取6名學(xué)生，再?gòu)倪@6名學(xué)生中

選取2人進(jìn)行座談會(huì)，求這2人考核成績(jī)來(lái)自同一分?jǐn)?shù)段的概率.

【答案】(1)根=[，中位數(shù)約為73.3

40

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，求出加的值，再根據(jù)中位數(shù)計(jì)

算規(guī)則求出中位數(shù)；

（2）利用分層抽樣各層抽取的人數(shù)，再利用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算

可得.

【小問(wèn)1詳解】

解：由頻率分布直方圖可得（卷+加+需）x20=1,解得機(jī)=4,

因?yàn)?--x20<—>,所以中位數(shù)位于［60,80）之間,

1202

I11220

設(shè)中位數(shù)為x,則一x20+(x-60)x—=-,解得x=——。73.3,

120v74023

即中位數(shù)約為73.3.

【小問(wèn)2詳解】

解：由題意［40,60）中抽取6x^x20=l人，

［60,80）中抽取6*x20=3人,［80,100］中抽取6x*x20=2人,

分別記作A、B］、與、&、G、C2,

從中選取2人，則可能結(jié)果有Ag、AB?、AB,、AC,.AC2.片層、片4、Bg、

4c2、與層、B￡、52c2、B3C1、4c2、GC2共15個(gè)結(jié)果，

其中滿(mǎn)足這2人考核成績(jī)來(lái)自同一分?jǐn)?shù)段有自與、44、B03、GC2共4個(gè)結(jié)果，

4

所以這2人考核成績(jī)來(lái)自同一分?jǐn)?shù)段的概率P.

19.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線/交拋物線。于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)軸

時(shí)，|A8|=12.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)線段A3的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3時(shí)，求直線/的斜率.

【答案】⑴r=12%

（2）2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得當(dāng)/J_X軸時(shí)，A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)工=會(huì)，代入拋物線計(jì)算

可得|A3|=2p=12,即可得到答案；

⑵設(shè)A（X1,y）,B（x,,y2）,x}^x2,由A,8兩點(diǎn)都在產(chǎn)=12X上，得y：=12%和y；=12%，可

得0一%）（'+%）=]2,由AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3得史2~=3,從而可求得直線/的斜率

西-x22

【小問(wèn)1詳解】

由題意知，尸]^，0}當(dāng)/，x軸時(shí)，A,8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)了=]■,

代入y2=2px得y2=p2,y=±p,則|Afi|=2p=12,解得p=6,

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=l2x；

【小問(wèn)2詳解】

根據(jù)題意得，直線/的斜率存在，

設(shè)A（%],y）,5（3％）,工產(chǎn)元2，

A,B兩點(diǎn)都在y?=12x上，則有y；=12%，y1=12x2,

則弁_￡=12a-x2）,即（弘一呼—+，2）=]2,

又AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,則號(hào)&=3,y+%=6,

y,-y2_12_12

則一一"一,，

%一々x+%6

即直線/的斜率女=上叢=2.

玉-x2

20.如圖，在四棱錐P—A8CD中，Q4_L底面ABC。，底面ABC。是正方形，PA=AB,AC與BO

相交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在線段依上，且PF=2莊.

p

（1）求證：AF_L平面尸比）；

（2）求平面A/7）與平面CFD夾角的正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）叵

5

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的垂直關(guān)系證明線線垂直，即可由線面垂直的判斷求證,

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量的夾角即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

以A為原點(diǎn)，為x軸，AO為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P4=/W=3,則A（0,0,0）,3（3,0,0）,C（3,3,0）,D（0,3,0）,P（0,0,3）,E（g,|,0

故PE=（g,臼,由PF=2莊得尸F(xiàn)=：PE=（1,1,-2），所以尸（1,1,1）,

BD=（-3,3,0）,PB=（3,0,-3）,AF=（1,1,1）,

由于=—3+3+0=0,尸84尸=3+0—3=0,因此8。_14/,/58_14尸,

進(jìn)而B(niǎo)D±AF,PB±A77,又BDcPB=B,BD,PBu平面PBD,

故AFJ_平面P3Z）;

【小問(wèn)2詳解】

AF=（1,1,1）,/!￡>=（0,3,0）,

設(shè)平面從z）的法向量〃=（x,y,z）,

n-AF=x+y+z=0,、

則，取尤=1,得〃=（l,0,-l）,

n-AD=3y=0

平面CFD的法向量=,CF=（-2,-2,1）,￡>C=（3,0,0）

m-CF=-2a-2b+c=0

則〈,取人=1,得加=（0,1,2）,

m-DC=3a=0

設(shè)平面A&）與平面CFD的夾角a,

r.Im*nI2___Vio

則cosa---------

I川?ln|6.x亞-5

??sina=qi-cosa=—^~?

21.已知雙曲線C:4—￡=1（。>0,。>0）的一條漸近線方程為丫=半%，焦距為2b.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)P（0,4）的直線/交雙曲線C于A,B兩點(diǎn),且上。鉆的面積為24石，求直線

/的方程.

v2r2

【答案】（1）=1

43

（2）,=±%+4或7=±2曙^—+4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)幺=空，2c=2萬(wàn)，以及4+〃=/,求解即可；

h3

（2）設(shè)直線AB的方程為^=丘+4與橢圓聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式表示|AB|,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求

解高，即可根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得：q=.2占,2c=2不>a2+b2=c2<

b3

解得：c=V7，a=2,b=A/3>

2

V九2

，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-——=1.

43

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知，直線A8的斜率一定存在，

設(shè)直線AB的方程為丁="+4,A（X|,y）,B（x2,y2）,

y=kx+4

聯(lián)立方程組1y2%2,消去y整理得（3公一4）/+24履+36=0,

U3

△=(24人了-4x36郃2-4)>0

—24k

則〈

36

=------

1-3k2-4

3/一4=0

24=,7

1A81=ViTF./xl+x2)-4x,x2=ViTF---^^2^/^?j^r^T

4

原點(diǎn)到直線AB的距離為"=

12后.24g2

所以SAO8=』A8|d=；X-y=3^X(-=246,

，zx/1+|3二一4

解得女2=1或公=至，故女=±i,或攵=±2?由亙,

4545

故直線方程為丁=±%+4或3；=±^^1%+4

22

22.已知橢圓。：￡+￡=1（。＞0力＞0）過(guò)點(diǎn)（—3,a）,

7⑵用

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

24

（2）若點(diǎn)P是圓O:x2+y2=M