2024成都中考數(shù)學一輪復習 矩形菱形正方形題 (含解析)

2024成都中考數(shù)學一輪復習專題

矩形菱形正方形題

一、單選題

1.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形48co中，連接/C,BD,若/1=20。，則/2的度數(shù)為（）

2.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在正方形48。中，對角線NC、8。相交于點O,E,歹分別為

AO,D。上的一點，且好〃/D,連接ZRDE.若/E4c=15。，則的度數(shù)為（）

C.105°D.115°

3.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）下列命題正確的是（）

A.正方形的對角線相等且互相平分B.對角互補的四邊形是平行四邊形

C.矩形的對角線互相垂直D.一組鄰邊相等的四邊形是菱形

4.（2023?浙江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形/BCD中，48=1,ZDAB=60°,則NC的長為（）

￡V3

A.B.1D.V3

2

5.（2023?上海?統(tǒng)考中考真題）在四邊形/BCD中，AD〃BC,AB=CD.下列說法能使四邊形/BCD為矩形

的是（）

A.AB//CDB.AD=BCC.AA=ABD.ZA=ZD

6.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題）如圖，以鈍角三角形/8C的最長邊3c為邊向外作矩形3CDE,連結(jié)

AE,AD,設4BE,A/CD的面積分別為5,&,禺，若要求出$-E-邑的值，只需知道（）

A.A/BE的面積B.ANCA的面積C.“8C的面積D.矩形8c￡>￡的面積

7.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在矩形4BCD中，AB>AD,NC與此相交于點。，下列說法

A.點。為矩形ABCD的對稱中心B.點。為線段的對稱中心

C.直線8。為矩形48co的對稱軸D.直線/C為線段2。的對稱軸

8.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為6的正方形/BCD中，M為對角線3。上的一點，連接

并延長交C0于點P若PM=PC,則的長為（）

C.6（百-1）D.6（3A/3-2）

9.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形48CD的對角線/C與2。相交于點。，E為邊8c的中點,

連結(jié)OE.若/C=6,BD=8,則OE=（）

A

5

A.2B.-C.3D.4

2

10.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形48co對折，使邊AB與DC,8C與4D分別重合，展

A.2B.4C.5D.6

11.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形/BCD中，。為對角線8。的中點，ZABD=60°.動點￡

在線段08上，動點尸在線段OD上，點E,F同時從點。出發(fā)，分別向終點用。運動，且始終保持OE=O尸.點

E關(guān)于的對稱點為目,與；點尸關(guān)于的對稱點為用巴.在整個過程中，四邊形Eg直耳形狀

的變化依次是（）

Fi

A.菱形一平行四邊形一矩形-平行四邊形一菱形

B.菱形一正方形一平行四邊形一菱形一平行四邊形

C.平行四邊形一矩形一平行四邊形T菱形T平行四邊形

D.平行四邊形一菱形一正方形一平行四邊形一菱形

12.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形48co中，。為對角線/C的中點，￡為正方形內(nèi)一點，連

接3E,BE=BA,連接CE并延長，與248E的平分線交于點尸，連接。尸，若/8=2,則0尸的長度為(

A.2B.0C.1D.V2

二、解答題

13.(2023?湖南懷化?統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形中，過對角線8。的中點。作區(qū)0的垂線跖，分別

交.AD,8c于點E,F.

(1)證明：ABOFdDOE；

(2)連接BE、DF,證明：四邊形E8FD是菱形.

14.(2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形/BCD的對角線/C,m相交于點O,DE\\AC,CE\\BD.

(1)求證：四邊形OCE。是菱形;

(2)若5c=3,DC=2,求四邊形。CEO的面積.

15.(2023?湖南永州?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知四邊形/8CD是平行四邊形，其對角線相交于點

是直角三角形嗎？請說明理由;

(2)求證：四邊形是菱形.

16.(2023?新疆?統(tǒng)考中考真題)如圖，和3c相交于點O,ZABO=ZDCO=90°,OB=OC.點、E、F

分別是NO、DO的中點.

⑴求證：OE=OF；

(2)當4=30。時，求證：四邊形3ECR是矩形.

17.(2023?云南?統(tǒng)考中考真題)如圖，平行四邊形48。中，AE、C尸分別是N8/。、N8CD的平分線，且

E、廠分別在邊BC、皿上，AE=AF.

(1)求證：四邊形NEC廠是菱形；

⑵若/4BC=60。，A/AE的面積等于46，求平行線48與。C間的距離.

18.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形48CD中，4D〃3C,點。為對角線BO的中點，過點

。的直線/分別與8c所在的直線相交于點E.F.（點E不與點。重合）

（1）求證：ADOEWBOF；

（2）當直線/LAD時，連接BE、DF,試判斷四邊形E8ED的形狀，并說明理由.

19.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形48。中，4EJ.BC于點、E,/尸_LCD于點尸，連接EF

A

C

⑴求證：AE=AF;

⑵若/8=60。，求//EF的度數(shù).

20.(2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題)如圖，點E是矩形/BCD的邊上的一點，且=

(1)尺規(guī)作圖(請用2B鉛筆)：作ND4E的平分線相，交8c的延長線于點尸，連接。尸.(保留作圖痕跡,

不寫作法)；

(2)試判斷四邊形NE陽的形狀，并說明理由.

21.(2023?吉林長春?統(tǒng)考中考真題)將兩個完全相同的含有30。角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位

置擺放.點n,E,B,。依次在同一直線上，連結(jié)/尸、CD.

(1)求證：四邊形/EDC是平行四邊形；

(2)己知3c=6cm,當四邊形/FDC是菱形時.4D的長為cm.

22.（2023?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點/,D,C,3在同一條直線上，且=AE=BF,

⑵若。尸=尸。時，求證：四邊形DECF是菱形.

23.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形/BCD是平行四邊形.

⑴尺規(guī)作圖；作對角線/C的垂直平分線兒W（保留作圖痕跡）；

⑵若直線九W分別交4D,BC于E,尸兩點，求證：四邊形NFCE是菱形

24.(2023?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題)如圖，Y/BCD的對角線交于點。，分別以點氏C為圓心,

%方長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連接―

(1)試判斷四邊形防C。的形狀，并說明理由；

(2)請說明當Y/BCD的對角線滿足什么條件時，四邊形3PCO是正方形?

25.(2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題)如圖，在中，。是8c的中點，E是AD的中點，過點N作/尸〃8c

交CE的延長線于點足

⑴求證：AF=BD-,

(2)連接BF,若AB=AC,求證：四邊形疝”尸是矩形.

26.(2023?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題)如圖，點〃■在Y/BCD的邊/。上，BM=CM,請從以下三個選項中

①/1=/2；②AM=DM；③/3=/4,選擇一個合適的選項作為已知條件，使Y48co為矩形.

(1)你添加的條件是(填序號);

(2)添加條件后，請證明Y/8CD為矩形.

27.(2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題)如圖，在RtA43C中，NC=90。，點。為N8邊上任意一點(不與點

48重合)，過點。作DF//AC,分別交ZC、BC于點、E.F,連接E尸.

(1)求證：四邊形ECFD是矩形；

(2)若W=2,CE=4,求點C到E尸的距離.

28.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形48CD中，AD//BC,NA=NC,AD為對角線.

（1）證明：四邊形48co是平行四邊形.

（2）已知請用無刻度的直尺和圓規(guī)作菱形3EDF,頂點E,尸分別在邊8C,上（保留作圖痕

跡，不要求寫作法）.

三、填空題

29.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形48co中，AD=BC,于點O.請?zhí)?/p>

加一個條件：,使四邊形78。成為菱形.

30.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖,在菱形/BCD中，AC、AD為菱形的對角線，ZDBC=60°,BD=10,

點尸為8c中點，則EF的長為.

31.（2023?福建?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形/BCD中，N2=10,NB=60°,則/C的長為

BC

32.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形48c。中，4048=40。，連接/C,以點A為圓心，AC

長為半徑作弧，交直線于點￡,連接CE,則//EC的度數(shù)是.

33.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形/BCD中，ZDAB=60°,BELAB,DFLCD,垂足分

別為B,D,若48=6cm,則=cm.

34.（2023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Y/BCD中，5c的垂直平分線交4D于點E,交3C于點

O,連接BE,CE,過點C作C尸〃BE,交EO的延長線于點尸，連接3尸.若40=8,CE=5,則四邊形

BFCE的面積為.

35.（2023?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形48co中，點E,F,G,X分別是BC,CD,AD

上的點，S.BE=BF=CG=AH,若菱形的面積等于24,BD=8,^\EF+GH=.

36.（2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）出入相補原理是我國古代數(shù)學的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)

學家劉徽創(chuàng)建.“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小

圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形43C。中，AB=5,AD=\2,對角線/C與8。

交于點。，點E為BC邊上的一個動點,EF,EGLBD,垂足分別為點F,G,則EF+EG=.

37.（2023?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形/BCD的對角線4C,助相交于點。，點E,尸分別是線段

05,04上的點.若AE=BF,4B=5,AF=1,BE=3,則B尸的長為.

38.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形48cZ）中，對角線/C與相交于點。，E為BC上

一點，CE=1，尸為DE的中點，若ACEF的周長為32,則0尸的長為

39.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，48=4,=6.在邊上取一點￡,使BE=BC,

過點C作CFLBE,垂足為點R貝UB尸的長為

參考答案

一、單選題

1.【答案】c

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得L/C,/3〃CD,則Zl=Z4C。,乙4cD+/2=90。，進而即可求解.

【詳解】解：；四邊形/BCD是菱形

/.BD1AC,AB//CD,

；.Zl=ZACD,ZACD+N2=90°,

?：Zl=20°,

Z2=90°-20°=70°,

故選：C.

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握是菱形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵.

2.【答案】C

【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NCMD=NODN=45。，AO=DO,然后結(jié)合所〃/。得到OE=O尸,

然后證明出尸0△DOE(SAS),最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】：四邊形/BCD是正方形

ZOAD=NODA=45°,AO=DO

,/EF//AD

：.NOEF=NOAD=45。,NOFE=NODA=45。

：.NOEF=ZOFE

：.OE=OF

又,?ZAOF=ZDOE=90°,AO=DO

/.AAOFdDOE(SAS)

：./ODE=NE4c=15。

：.ZADE=ZODA-NODE=30°

ZAED=180°-ZOAD-ZADE=105°

故選：C.

【點撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形三角形的性質(zhì)等知識，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

3.【答案】A

【分析】根據(jù)正方形、平行四邊形、矩形、菱形的各自性質(zhì)和構(gòu)成條件進行判斷即可.

【詳解】A.正方形的對角線相等且互相垂直平分，描述正確；

B.對角互補的四邊形不一定是平行四邊形，只是內(nèi)接于圓，描述錯誤；

C.矩形的對角線不一定垂直，但相等，描述錯誤；

D.一組鄰邊相等的平行四邊形才構(gòu)成菱形，描述錯誤.

故選：A.

【點撥】本題考查平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟悉掌握各類特殊四邊

形的判定和性質(zhì).

4.【答案】D

【分析】連接AD與/C交于。.先證明△48。是等邊三角形，由/C/AD,得到NO4B==30。,

2

ZAOB=90°,即可得到==利用勾股定理求出40的長度，即可求得/C的長度.

【詳解】解：連接8。與/C交于。.

:四邊形/BCD是菱形，

/.AB//CD,AB=AD,AC1BD,AO=OC=-AC,

2

ADAB=60°,且48=4D,

是等邊三角形，

AC1BD,

：.AOAB=-ABAD=30°,ZAOB=90°,

2

/.AC=2AO=

故選：D.

【點撥】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、30。角所對直角邊等于斜邊的

一半，關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì).

5.【答案】C

【分析】結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定逐一分析即可.

【詳解】A：VAB//CD,AD//BC,AB=CD

Z8CD為平行四邊形而非矩形

故A不符合題意

B：AD=BC,AD//BC,AB=CD

，/BCD為平行四邊形而非矩形

故B不符合題意

C：'.-4D〃BC

.-.ZA+ZB=180°

N4=NB

，NA=NB=90°

???AB=CD

48CD為矩形

故C符合題意

D：???AD〃BC

:.ZA+ZB=1SQ°

ZA=ZD

ND+4=180。

Z8CD不是平行四邊形也不是矩形

故D不符合題意

故選：C.

【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定等知識，熟練掌握以上知識

并靈活運用是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】C

【分析】過點A作/G/8C,交班的延長線于點尸，0c的延長線于點G,易得：

FG=BC,AFLBE,AGLCD,利用矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式，可得H+邑=:$矩形BCOE，再根據(jù)

S=S"BC+S矩形BCDE-S1-邑=SJBC+]S矩形BCOE，得到$-S]-邑=S“BC，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：過點A作bG/BC,交E3的延長線于點尸，。。的延長線于點G,

:矩形8CZ)E,

BC1BE,BC1CD,BE=CD,

：.FGVBE,FGLCD,

四邊形3FGC為矩形，

/.FG=BC,AF1BE,AGLCD,

：.S1=^BE-AF,S2=^CD-AG,

：)

.Sl+S2=^BE(AF+AG=^BE-BC=^SMDE,

=

又5='ABC+S矩形BSE—S1—S2S△力5c+矩形加刀片，

??S—S]—邑=S^ABC+aS矩形5CQE——S矩形SCDE二S“BC9

???只需要知道^ABC的面積即可求出S-H-S2的值;

故選C.

【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，求三角形的面積.解題的關(guān)鍵是得到岳+邑=；$矩形BC0E

7.【答案】A

【分析】由矩形/BCD是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，線段N3的對稱中心是線段NB的中點,

矩形/BCD是軸對稱圖形，對稱軸是過一組對邊中點的直線，從而可得答案.

【詳解】解：矩形/BCD是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，故A符合題意；

線段43的對稱中心是線段N8的中點，故B不符合題意；

矩形ABCD是軸對稱圖形，對稱軸是過一組對邊中點的直線，

故C,D不符合題意；

故選A

【點撥】本題考查的是軸對稱圖形與中心對稱圖形的含義，矩形的性質(zhì)，熟記矩形既是中心對稱圖形也是

軸對稱圖形是解本題的關(guān)鍵.

8.【答案】C

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定證出“DMWACOM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

NDAM=NDCM,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得=,從而可得ND4W=30。，然后利用勾股

定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】解：???四邊形N8CD是邊長為6的正方形，

AD=CD=6,NADC=90°,ZADM=ACDM=45°,

DM=DM

在AADM和VCDM中，\ZADM=ZCDM=45°,

AD^CD

:.^ADM^CDM(SAS),

ZDAM=ZDCM,

PM=PC,

ZCMP=ZDCM,

ZAPD=ZCMP+ZDCM=2NDCM=2NDAM,

又ZAPD+ZDAM=180°-NADC=90°,

ZDAM=30°,

設PO=x,貝UN尸=2PO=2x,PM=PC=CD—PD=6-x,

AD7Ap2-PD。=瓜=6>

解得X=26，

:.PM=6-x=6-2y/3,AP=2x=473,

AM=AP-PM=443-^6-2^=6^

故選：C.

【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識

點，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.【答案】B

【分析】先由菱形的性質(zhì)得/C/3D,OC=!/C=GX6=3,OB=：BZ)=[X8=4,再由勾股定理求出

2222

BC=5,然后由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解.

【詳解】解：???菱形/BCD,

AC1BD,OC=-AC=-x6=3,OB=-BD=-S=4,

2222

，由勾股定理，得BC=JOB2+OC?=5，

為邊2C的中點，

222

故選：B.

【點撥】本考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

10.【答案】B

【分析】由題意可得四邊形EFG8是菱形，F(xiàn)H=AB=2,GE=BC=4,由菱形的面積等于對角線乘積的

一半即可得到答案.

【詳解】解：???將矩形Z8CD對折，使邊4B與DC,BC與/。分別重合，展開后得到四邊形MG8,

EF1GH,EF與G"互相平分，

...四邊形斯G8是菱形，

,/FH=AB=2,GE=BC=4,

:?菱形EFGH的面積為LF/7.GE=LX2X4=4.

22

故選：B

【點撥】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半

是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】A

【分析】根據(jù)題意，分別證明四邊形片外片匕是菱形，平行四邊形，矩形，即可求解.

【詳解】???四邊形43。是矩形，

AB//CD,ABAD=AABC=90°,

ZBDC=ZABD=60°,ZADB=ZCBD=90°-60°=30°,

:OE=OF、OB=OD,

：.DF=EB

??,對稱，

:?DF=DF?,BF=BF],BE=BE2,DE=DE1

?

,.E[F?=E2FX

???對稱，

AZF2DC=ZCDF=60°,ZEDA=ZE.DA=30°

/E】DB=60°,

同理/4=60。，

DE】//BF】

:.EXF2//E2FX

???四邊形是平行四邊形，

EXE2FXF2

如圖所示，

當瓦尸。三點重合時，DO=BO,

DE1=DF2=AE[=AE2

即用馬=ER

.?.四邊形耳斗片鳥是菱形，

如圖所示，當E,尸分別為的中點時,

設05=4,則=。尸=1,DE、=DE=3,

在VX^ABD中，AB=2,AD=26

連接NE,AO,

'：ZABO=60°,BO=2=AB,

"BO是等邊三角形，

為08中點，

AE1OB,BE=1,

,,AE=V22—I2=Vs>

根據(jù)對稱性可得/耳=AE=V3,

/.AD1=12QE；=9,AE；=3,

：.AD2=AE^+DE^,

.?.△DE/是直角三角形，且N&=90。，

.?.四邊形耳外片鳥是矩形，

當產(chǎn),￡分別與。潭重合時，都是等邊三角形，則四邊形耳當片鳥是菱形

...在整個過程中，四邊形當當《心形狀的變化依次是菱形一平行四邊形一矩形-平行四邊形一菱形，

故選：A.

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理與勾股

定理的逆定理，軸對稱的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】D

【分析】連接*根據(jù)正方形4BCD得到==N4BC=90。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角

形的性質(zhì)，求得/8也=45。，再證明ANB/出求得N/FC=90。，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中

點等于斜邊的一半，即可求出。尸的長度.

【詳解】解：如圖，連接相，

???四邊形/BCD是正方形，

AB=BE=BC,ZABC=90°,AC=QAB=2B

ZBEC=ZBCE,

NEBC=18Q°-2NBEC,

NABE=NABC-ZEBC=2ZBEC-90°,

■:BF平分/ABE,

ZABF=NEBF=-NABE=ZBEC-45°,

2

NBFE=ZBEC-NEBF=45°,

在4BAF與4BEF,

AB=EB

<ZABF=ZEBF,

BF=BF

:△BAFdBEF(SAS),

NBFE=NBFA=45°,

ZAFC=ZBAF+ZBFE=90°,

.?.O為對角線NC的中點，

:.OF=-AC=4I,

2

故選：D.

【點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形特征，作

出正確的輔助線，求得N5尸￡=45。是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

13?【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出ND〃8C,貝lJ/l=/2,/3=/4,根據(jù)。是8。的中點，可得BO=DO,

即可證明△BO尸之△DOE（AAS）；

（2）根據(jù)△BO尸名△OOE可得瓦＞=8尸，進而可得四邊形E8FD是平行四邊形，根據(jù)對角線互相垂直的

四邊形是菱形，即可得證.

【詳解】（1）證明：如圖所示，

..?四邊形/BCD是矩形，

AD//BC,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

,/。是8。的中點，

BO=DO,

在"OF與ADOE中

Zl=Z2

<Z3=Z4,

BO=DO

：.ABOF四△Z)OE(AAS)；

(2),:△BOF9XDOE

：.ED=BF,

又；ED//BF

...四邊形EBFD是平行四邊形,

EF1BD

，四邊形E8FD是菱形.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)與

判定是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】⑴見解析；（2）3

【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)求得0C=3,然后根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形分析推理；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得AOCD的面積，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)求解.

【詳解】（1）解：VDE//AC,CE//BD,

：.四邊形OCED是平行四邊形，

又?.,矩形/BCD中，OC=OD,

平行四邊形OCED是菱形；

（2）解：矩形A8CL1的面積為8C.OC=3x2=6,

13

.,*AOCD的面積為一x6=—,

42

.一3

「?菱形。的面積為2x7=3.

2

【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定，屬于中考基礎題，掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定方法，正確

推理論證是解題關(guān)鍵.

15.【答案】（1）小。8是直角三角形，理由見解析.（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得8。=[8。=4,再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得出結(jié)

論；

（2）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可求證.

【詳解】（1）解：小。3是直角三角形，理由如下：

V四邊形ABCD是平行四邊形，

BO=-BD=4,

2

,/OA2+OB2=32+42=52=AB2,

???小。5是直角三角形.

（2）證明：由（1）可得：是直角三角形，

ZAOB=90°,

即4C_L8Z),

..?四邊形/BCD是平行四邊形，

，四邊形/BCD是菱形.

【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四

邊形對角線互相平分，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

16.【答案】⑴見解析；(2)見解析

【分析】(1)直接證明也△OOC(ASA),得出3=。。，根據(jù)￡、尸分別是NO、。。的中點，即可

得證；

(2)證明四邊形BECF是平行四邊形，進而根據(jù)//=30。，推導出ABOE是等邊三角形，進而可得3C=的，

即可證明四邊形BECF是矩形.

【詳解】(1)證明：在人408與△OOC中，

NABO=ZDCO=90°

,OB=OC

AAOB=ZDOC

；.的△DOC(ASA),

OA=OD,

又,：E、下分別是NO、DO的中點，

OE=OF-

(2),：OB=OC,OF=OE,

.,?四邊形BECF是平行四邊形，BC=2OB,EF=2OE,

為/。的中點，ZABO=90°,

EB=EO=EA,

:/A=30°,

：.ZBOE=60°,

/\BOE是等邊三角形，

OB=OE,

：.BC=EF,

四邊形BE"是矩形.

【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形判定，熟練掌握以上知識

是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】（1）證明見解析；（2）4百

【分析】（1）先證再證/￡||尸C,從而四邊形/ECF是平行四邊形，又/E=W,于是四邊形/ECV

是菱形；

（2）連接AC,先求得NBAE=ZDAE=ZABC=60°,再證ACLAB,ZACB=90°-ZABC=30°=NEAC,

于是有@得4B=?AC,再證==從而根據(jù)面積公式即可求得/C=4人.

3AC3

【詳解】（1）證明：?..四邊形/BCD是平行四邊形，

/.AD/7BC,ZBAD^ZBCD,

：.ZBEA=ZDAE,

?/AE.CF分別是NB/D、4BC。的平分線，

ZBAE=ZDAE=|ZBAD,NBCF=j-NBCD,

ZDAE=ZBCF=ZBEA,

/.AE||FC,

四邊形/EC尸是平行四邊形，

*.*AE=AF,

???四邊形ZEB是菱形；

（2）解：連接NC,

?:AD〃BC,/4BC=60。,

JNBAD=180。—/ABC=120°,

???NBAE=ZDAE=NABC=60°,

???四邊形NEW是菱形，

JNEAC=|ZDAE=30°,

：.NBAC=NBAE+NEAC=90°,

AC^AB,ZACB=90°-ZABC=30°=ZEAC,

：.AE=CE,tan300=tan/4CB二坐即迫="，

AC3AC

n

???AB=JAC,

3

NBAE=NABC,

：.AE=BE=CE,

???/BE的面積等于4VL

s^-AC-AB^-AC--AC-Ad35

“ABReC2236

，平行線AB與DC間的距離AC=40.

【點撥】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角

函數(shù)的應用以及平行線間的距離，熟練掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等

腰三角形的判定，三角函數(shù)的應用以及平行線間的距離等知識是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】（1）見解析；（2）四邊形E8ED為菱形；理由見解析

【分析】（1）根據(jù)AAS證明ADOE*ABO尸即可；

（2）連接a、FD,根據(jù)ADOE以ABOB,得出ED=BF,根據(jù)尸，證明四邊形￡瓦叫為平行四邊

形，根據(jù)斯_L8。，證明四邊形E5FD為菱形即可.

【詳解】（1）證明：???點。為對角線8D的中點，

BO=DO,

'：AD//BC,

：.ZODE=ZOBF,ZOED=ZOFB,

在A￡>OE和ABO尸中，

ZODE=ZOBF

<ZOED=ZOFB,

BO=DO

：.ADOE%BOF（AAS）；

（2）解：四邊形班即為菱形，理由如下：

連接匹、FD,如圖所示：

/.ED=BF,

*/ED//BF,

???四邊形助FD為平行四邊形，

?：11BD,BPEFVBD,

，四邊形助FD為菱形.

【點撥】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

三角形全等的判定方法和菱形的判定方法.

19.【答案】(1)證明見解析；(2)60°

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)的三角形全等即可證明/E=4尸.

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可推出/氏4。度數(shù)，再根據(jù)第一問的三角形全等和直角三角形的性質(zhì)可求

出/氏4E和/CM/度數(shù)，從而求出/E4/度數(shù)，證明了等邊三角形/跖，即可求出防的度數(shù).

【詳解】(1)證明：?.?菱形45cD,

/.AB=AD,NB=ND,

又???AELBC,AFLCD,

/.ZAEB=NAFD=90°.

在44座和△4FZ)中，

ZAEB=ZAFD

<ZB=ZD,

AB=AD

:AABE也9(AAS).

AE=AF.

(2)解：?.?菱形/BC。，

ZB+ZBAD=1S00,

???4=60。，

ZBAD=120o.

又???/AEB=90°,ZB=60°,

/BAE=30。.

由（1）知"BE均ADF,

ZBAE=ZDAF=30°.

...ZEAF=120。一30°-30°=60°.

AE=AF,

.?.△/￡廠等邊三角形.

ZAEF=60°.

【點撥】本題考查了三角形全等、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等的方法

和菱形的性質(zhì).

20.【答案】（1）見解析；（2）四邊形是菱形，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出ND4尸=乙4在，結(jié)合角平分線的定義可得=尸，則

AE=EF,然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖所示：

(2)四邊形4EFD是菱形；

理由：???矩形45CZ)中，AD//BC,

：.ZDAF=ZAFE,

?/AF平分NDAE,

：.ZDAF=ZEAF,

：.ZEFA=ZEAF,

AE=EF,

?.?AE=AD,

：.AD=EF,

?:AD〃EF,

???四邊形AEFD是平行四邊形,

又：AE=AD,

，平行四邊形NEED是菱形.

【點撥】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形

的判定以及菱形的判定等知識，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】⑴見解析；(2)18

【分析】(1)由題意可知之易得尸，/。＜8=/咒0￡=30。即/?！?。尸，依據(jù)一組對

邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；

(2)如圖，在中，由30。角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得

4B=2BC=12cm,ZABC=60°；由菱形得對角線平分對角得NCZM=/。切=30。，再由三角形外角和易

證ZBCD=ZCDA即可得3C=B。=6cm,最后由ND=+BD求解即可.

【詳解】(1)證明：由題意可知△/C80,

:.AC=DF,NCAB=NFDE=30°,

\AC//DF,

二四邊形NFDC地平行四邊形；

(2)如圖，在RtZ\/CB中，ZACB=90°,ZCAB=30°,5C=6cm,

AB=2BC=l2cm,ZABC=60°,

四邊形NEDC是菱形，

.:AD平分NCDF,

ZCDA=ZFDA=30°,

---ZABC=ZCDA+NBCD,

/BCD=NABC-NCDA=60°-30°=30°,

/BCD=ZCDA,

BC=BD=6cm,

:.AD=AB+BD=18cm,

故答案為：18.

【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，30。角所對的直角邊等于斜邊的

一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對等邊；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識綜合求解.

22.【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)題意得出=再由全等三角形的判定和性質(zhì)及平行線的判定證明即可；

(2)方法一：利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出DE=C尸，又EC=DF,再由菱形的判定證明即可；方法

二：利用(1)中結(jié)論得出=結(jié)合菱形的判定證明即可.

【詳解】(1)證明：：NO=BC,

AD+DC^BC+DC,

即AC=BD

在△/EC和△人明中，

AC=BD

<AE=BF,

CE=DF

AAEC，BFD〈SSS)

：.AE//BF

(2)方法一：在V/DE和△BC/中，

AE=BF

<ZA=/B,

AD=BC

/.AADEWBCF(SAS)

:.DE=CF,又EC=DF,

...四邊形DECF是平行四邊形

DF=FC,

：.口OECF是菱形；

方法二：?/AAECABFD,

：.ZECA=ZFDB

：.EC//DF,

又EC=DF,

11?四邊形DECF是平行四邊形

DF=FC,

nDEC尸是菱形.

【點撥】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運用這些知識

點是解題關(guān)鍵.

23?【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作圖方法進行作圖即可；

（2）設E尸與/C交于點。，證明尸（ASA）,得到OE=O尸，得到四邊形/FCE為平行四邊形,

根據(jù)即可得證.

【詳解】（1）解：如圖所示，兒W即為所求；

（2）?.?四邊形/BCD是平行四邊形

AD〃BC

NCAE=NACF

如圖：設E尸與/C交于點。

???￡尸是/C的垂直平分線,

AO=OC,EF1AC,

'：NAOE=ZCOF，

：.△力O￡之△COF(ASA),

OE=OF,

，四邊形/FCE為平行四邊形，

EF1AC,

，四邊形/FCE為菱形.

【點撥】本題考查基本作圖一作垂線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定.熟

練掌握菱形的判定定理，是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】（1）平行四邊形，見解析；（2）/C=3。且/C28。

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到8尸=!』。=。仁8=[8。=。8,根據(jù)兩組對邊分別相等的四

邊形是平行四邊形判定即可.

（2）根據(jù)對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形判定即可.

【詳解】（1）四邊形BPCO是平行四邊形.理由如下：

VYABCD的對角線/C,AD交于點O,

AO-OC,BO=OD,

..?以點3,C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，

22

/.BP=-AC=OC,CP=-BD=OB

22

...四邊形BPCO是平行四邊形.

（2）?.?對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，

=且/C/8D時，四邊形BPCO是正方形.

【點撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】（1）見解析;（2）見解析;

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出N/F￡=NZ）CE,然后利用“角角邊”證明三角形全等，再由

全等三角形的性質(zhì)容易得出結(jié)論；

（2）先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形/必。是平行四邊形，再根據(jù)一個角是

直角的平行四邊形是矩形判定即可.

【詳解】（1）證明：尸〃8C,

ZAFE=ZDCE,

:點E為/。的中點，

，AE=DE,

在和△EDC中,

ZAFE=ZDCE

<ZAEF=/DEC,

AE=DE

；.AEAF迫AEDC(AAS);

：.AF=CD,

'：CD=BD,

：.AF=BD；

(2)證明：-,?AF//BD,AF=BD,

，四邊形AFBD是平行四邊形，

,/AB=AC,BD=CD,

：.AADB=90°,

平行四邊形AFBD是矩形.

【點撥】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎題，明確有一個

角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵.

26?【答案】(1)答案不唯一，①或②；(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行選??；

(2)通過證明且△DCM可得乙4=〃，然后結(jié)合平行線的性質(zhì)求得//=90。，從而得出Y/BCD

為矩形.

【詳解】(1)解：①或②

(2)添加條件①，YN3CD為矩形，理由如下：

在Y4BCD中4B=CD,AB//CD,

AB=CD

在AABM和ADCM中｛/I=N2,

BM=CM

AABM絲△DCM

：.ZA=ZD,

又,：AB“CD,

：.//+ZD=180。，

N4=ND=90°,

；.YABC。為矩形；

添加條件②，Y/BCD為矩形，理由如下：

在YN3C。中/B=CD,AB//CD,

AB=CD

在“BM和4DCM中\(zhòng)AM=DM,

BM=CM

AABM公ADCM

：.AA=AD,

又,：AB"CD,

：.N/+/D=180。，

NA=ND=90°,

，YN3CD為矩形

【點撥】本題考查矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定方法（有

一個角是直角的平行四邊形是矩形）是解題關(guān)鍵.

27.【答案】⑴見解析；（2）1V5

【分析】⑴利用平行線的性質(zhì)證明NCED=ZCFD=90。，再利用四邊形內(nèi)角和為360。，證明