2024北京順義高三一模數(shù)學(xué)（第二次統(tǒng)練）試卷含答案

2024北京順義高三一模數(shù)學(xué)

(第二次統(tǒng)練)

考1.本試卷共5頁(yè)，共兩部分，21道小題，滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。

生2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱、姓名和班級(jí)。

須3.試題答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。

知4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

⑴設(shè)集合"=卜"苗<4},A={1,2},則

(A)[-2,0](B){0}(C){-2,-1}(D){-2,-1,0}

(2)已知復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)[滿足%=2i,則zi=

(A)V2(B)1(C)2(D)4

(3)在(2x-1/的展開(kāi)式中，一的系數(shù)為

(A)-80(B)-40(C)40(D)80

(4)已知a=log42,b=,c=Q,則

(A)a>b>c(B)b>a>c(C)c>b>a(D)c>a>b

(5)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為Iga“+lg4+i=lg2",〃eN*,則S9=

(A)511(B)61(C)41(D)9

(6)已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,P為。上一點(diǎn)，直線P/與/相交于點(diǎn)。，與y

軸交于點(diǎn)若尸為PQ的中點(diǎn)，則儼河|=

(A)4(B)6(C)4不(D)8

x-l,x<0,

(7)若函數(shù)=10,X=0,貝心%+%2>°”是"/■(石)+/(%2)>°''的

x+l,x>0.

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

(8)如圖，正方體ABC。-中，P是線段3G上的動(dòng)點(diǎn)，有下列四個(gè)說(shuō)法:

①存在點(diǎn)P,使得D///平面

②對(duì)于任意點(diǎn)P,四棱錐P—4體積為定值；

③存在點(diǎn)P,使得平面GDB；

④對(duì)于任意點(diǎn)P,\\DP都是銳角三角形.

其中，不正確的是

(A)①(B)②(C)③(D)④

(9)已知在平面內(nèi)，圓+點(diǎn)尸為圓外一點(diǎn)，滿足|尸。=2,過(guò)點(diǎn)。作圓。的兩條切

線，切點(diǎn)分別為A,8.若圓。上存在異于A,5的點(diǎn)M,使得P河=24上4+(1-4)/>3,則％的值是

2111

(A)-(B)-(C)-(D)——

3242

C10)設(shè)。I”,生，…,%是L2,3,...,7的一個(gè)排列.且滿足值一4閆%-03性…上限一%|，則

I%一⑷+同一蜀+…+院―的最大值是

(A)23(B)21(C)20(D)18

第二部分(非選擇題共H0分)

二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.

(ID函數(shù)y(x)=Ji-x+工的定義域是.

2

(12)在AABC中，c=3,a+b=7,cosC=—,則△ABC面積為.

3

(13)若非零向量a,0,c滿足,卜W>|c|,且石=(2,2),則能使得(a?)c=(b-c)a成立的一組凡c可

以是〃=----------，c=------------

(14)已知雙曲線C:，—==1(。>0/〉0)的焦距為2c.若點(diǎn)尸-c,—c在雙曲線C上，則C

cib、22,

的離心率等于.

(15)已知函數(shù)八>)=三，-(日+方)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)％=0時(shí)，對(duì)任意beR,Ax)有1個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)上時(shí)，存在be火，使得“尤)存在極值點(diǎn)；

O

③當(dāng)。=0時(shí)，對(duì)任意keR,7(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)0</,<g時(shí)，存在左eR,使得有3個(gè)零點(diǎn)；

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

(16)(本小題13分)

已知函數(shù)/(x)=cos2其中則<]-

(I)若/■(())=;,求0的值;

(II)已知xe[O,機(jī)]>0)時(shí)，/(力單調(diào)遞增，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為己知,

使函數(shù)/(九)存在，求加的最大值.

條件①:

條件②:

1TT

條件③：y=/(x)的圖像與直線y的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

(17)(本小題14分)

在直三棱柱43。一4四。]中，AB=BC,分別為棱耳氏AC的中點(diǎn).

(I)求證：AC±DE；

(II)若AC=AB=—2.

(i)求平面ADE與平面445用夾角的余弦值；

BF

(ii)若平面ADE與直線BC交于點(diǎn)尸，直接寫(xiě)出下的值.

BC

(18)(本小題13分)

某學(xué)校工會(huì)組織趣味投籃比賽,每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.

方式一：選手投籃3次.每次投中可得1分，未投中不得分，累計(jì)得分；

方式二：選手最多投3次.如第1次投中可進(jìn)行第2次投籃，如第2次投中可進(jìn)行第3次投籃.如某次未投中,

則投籃中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累計(jì)得分；

已知甲用方式一參加比賽，乙用方式二參加比賽.假設(shè)甲，乙每次投中的概率均為工，且每次投籃相互獨(dú)

2

立.

(I)求甲得分不低于2分的概率；

(II)求乙得分的分布列及期望；

(III)甲，乙誰(shuí)勝出的可能性更大？直接寫(xiě)出結(jié)論.

(19)(本小題15分)

已知橢圓E:「+4=l（a〉6〉0）的右焦點(diǎn)為尸（LO）,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2后，過(guò)尸作斜率為匕的直線交E于

ab

A,8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作斜率為42的直線交石于C。兩點(diǎn)，設(shè)AB，8的中點(diǎn)分別為M,N.

（I）求橢圓E的方程；

（H）若左]&=-1,設(shè)點(diǎn)尸到直線"N的距離為d,求d的取值范圍.

（20）（本小題15分）

設(shè)函數(shù)/（x）=ev+acos%,aeH.曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,〃0））處的切線方程為y=x+2.

（I）求a的值；

（II）求證：方程/（x）=2僅有一個(gè)實(shí)根；

（III）對(duì)任意xe（0,+oo）,有/（x）＞左sinx+2,求正數(shù)人的取值范圍.

（21）（本小題15分）

已知點(diǎn)集=｛（七,%）,（乙，%），,（%,%）｝（a23）滿足0W4y,%.+yW2（i=l,2,對(duì)于任意

點(diǎn)集若其非空子集A8滿足A5=0,A5="〃,則稱集合對(duì)（45）為河〃的一個(gè)優(yōu)劃分.對(duì)任意

點(diǎn)集及其優(yōu)劃分（A5）,記A中所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為X（A）,B中所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為丫（8）.

⑴寫(xiě)出弧=｛（1,1）,（2,0）,（0,2）｝的一個(gè)優(yōu)劃分（AB），使其滿足X（A）+r（B）=3；

（H）對(duì)于任意點(diǎn)集必，求證：存在M的一個(gè)優(yōu)劃分（A5），滿足X（A）+N（5）W3；

〃+177+]

（in）對(duì)于任意點(diǎn)集上,求證：存在吃的一個(gè)優(yōu)劃分（A,5）,滿足X（A）K；-且汽3）?丁.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.

DCADB,BCCAB

二、填空題共5小題，每題5分.

(11)(⑵2^/5(13)a//c,且卜卜20＞H即可

(14)73+1(15)①④(有錯(cuò)不得分，對(duì)1個(gè)三分)

三、解答題

(16)(本小題滿分13分)

...........1分

1+COS(P

...........3分

2

即可得tan9=

又|同＜生，所以夕=工...........5分

26

法二:/(x)=1+cos^xsin(2%-...........2分

.(c乃)1八

=sin2x-(p+—+—...........3分

I6j2

所以/(。)=5由1_0+看］+；=3即得5111e_“=0.......4分

又|。|＜彳，所以0=￡5分

2o

l+cos(2x-0)61

(H)/(%)=sin(23一0)sin(2x-+Wj+；

222

719+；，in(萬(wàn)一夕)+；

選擇②，fsinsin

因?yàn)榱?，所以sin(一°J=sin(萬(wàn)一7分

因?yàn)?⑺的最小正周期丁=年="，|同＜]

8分

兀

所以由sin

71

所以0=（,/（%）=sin|2x-—|+-10分

122

715兀

或法二：因?yàn)閒,sin（―0=sin（萬(wàn)一9)7分

所以cos0=sin0即tan°=18分

71

因?yàn)閨同＜/所以O(shè)="，〃x)=sin|2x-—|+-10分

122

l+cos（2x-°）小1

選擇③，/(%)=sin（2%一°）=sin12x_0+彳+—

222

1JT-

y=/(x)的圖像與直線y=j的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為以

71

即可得了所以sin口=08分

24

sinf2x-—71|+-

又所以?！ǎ?=10分

122

TTTCTT

法——：令----blk7i<2x------<——卜2k兀,keZ

2122

57r答77r+左乃，即“X)的單增區(qū)間為一篝+左不:+左)

角畢得-----\-kn<x<

2424

11分

又xe［0,同時(shí),/(%)單增

5477r

所以，［O,"!!是----+左乃,一+kn的一個(gè)子區(qū)間

L」2424

--+^<0

2475

所以，＜即可得——<k<—,又左eZ

八,7兀12424

0<m<——+K7i

24

所以左=012分

S477r77r

故［0,司是——，——的一個(gè)子區(qū)間,所以加的最大值為二.13分

L」242424

sinf2x--71|+-,

法二：因?yàn)?'(%)=xe[0,m],所以—2K2x—2?2加—C

122121212

11分

TCTCjrjrTTTT

因?yàn)閥=sin1在2kji——,2k兀+—上單增,所以2左乃---<----<2m------<2k7i+—，即可得

22212122

所以左=0..................12分

所以0?加＜女，可得加的最大值為？區(qū)...........13分

2424

（17）（本小題14分）

（I）法一：證明：連接助

因?yàn)?5=6。，E為AC中點(diǎn)，所以...........1分

因?yàn)槭侵比庵膫?cè)棱，所以5與，平面ABC.....................2分

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以

因?yàn)锽EcBB[=B,所以AC,平面BOE.....................3分

因?yàn)镈Eu平面所以ACLDE.....................4分

法二：證明：連接AD,CD

因?yàn)?耳是直三棱柱的側(cè)棱，所以8與，平面ABC.....................1分

所以BB}1BC

又AB=BC,所以AABDNACBD.....................2分

所以AD=CD.....................3分

又因?yàn)镋為AC中點(diǎn)，所以AC_LDE.....................4分

（II）解：（i）因?yàn)锳B=AC=5C=2,所以AA5C為等邊三角形

設(shè)A3中點(diǎn)為。，則OCJ_OB

因?yàn)?用，平面ABC,設(shè)44的中點(diǎn)為"，則OM1OA

以O(shè)C所在的直線為x軸，05所在的直線為丁軸，所在的直線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系............5分

則0（0,0,。），4（0,—1,0）,B（0,1,0）,C（A/3,0,0）,^（0,-1,2）,

4（0,1,2）,C（A/3,0,2）,

（n[、

因?yàn)镺,石為中點(diǎn)，所以。（0,1,1）,E―,——,0

、22,

所以4。=（0,2,—1）,AE=14，g，—2..........6分

因?yàn)镺CLOB,OC±BB,,所以O(shè)C，平面443月

所以0C=7分

設(shè)〃z=（x,y,z）是平面ADE的一個(gè)法向量，則帆—AD=O，m-A^E=0

2y-z=07百

所以《61，令y=l，可得Z=2,X=F—

——x+-y-2z=03

I22

所以〃2=9分

OC-m7

設(shè)平面ADE與平面AA34的夾角為。，貝！|cos8=

0C||m8

7

所以平面ADE與平面A.ABB,的夾角的余弦值為一.n分

8

BF1

(ii)—=-14分

BC3

（18）（本小題滿分13分）

（I）解：設(shè)甲選擇方式一參加比賽得分為X

P(X1分

p(x2分

設(shè)甲得分不低于2分為事件A3分

則P（A）=P（X=2）+P（X=3）=；

.4分

（ID設(shè)乙選擇方式二參加比賽得分為y,y的可能取值為0,2,4,6

1()

"=o)=；，pdf—卜rpy=4=—xi

2I4

p(y=6)=-x-x-=-8分

,72228

所以y的分布列為

Y0246

Pj_￡11

2488

7

所以E(y)=(10分

（III）甲獲勝的可能性更大.13分

（19）（本小題滿分15分）

（I）解：長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2。=2/，所以。=行...........1分

又焦點(diǎn)為歹（1,0）,所以c=l.....................2分

22

所以從=a-c=1

尤2

所以，橢圓E的方程為萬(wàn)+產(chǎn)=1.....................4分

（H）設(shè)）&,%）,5（孫％），直線AB的方程為y=[（工一1）

y=kl(x-l)

聯(lián)立《,消去y得(1+2婷)M—4婷x+2婷—2=0

、萬(wàn)+>=1

4"2

所以石+々=」^5分

121+2婷

72一區(qū)

又加為A3的中點(diǎn)，所以%=匕（“一1）7分

1+2勺1+26

因?yàn)樨?=—1,即公=—,，又N為的中點(diǎn)

不妨用一廠1代換匕，可得/=o/，%=小k

9分

K12+仁2+勺

討論：（1）當(dāng)雙=/時(shí)，直線的斜率不存在

2"2

此時(shí)3mf-------y,解得K=±l.

2+k：

當(dāng)左=1時(shí)，”||，—￡|，N|t，￡],此時(shí)肱V的方程為x=g

所以，點(diǎn)廠（1,0）到直線MN的距離d為:

同理，當(dāng)左1=-1,d=—.....................11分

3

y-y_3k

（2）當(dāng)尢7±1時(shí),XMXN,止匕時(shí)^MN~MNt

XM~XN2-2k：

所以直線MN的方程為y—-J3k.(2)

2+k、2-2婷(2+k^J

化簡(jiǎn)可得3&x+（2婷一2）y—2匕=0.....................12分

法一：點(diǎn)b(1,0)到直線MN的距離d=1同——-=.同

“3。+Q婷—2『「婷+婷+4

又女尸0,所以d=—『1..........13分

J1+4婷+(

因?yàn)樨?/1,所以4左：+：>24

?—y=8..........14分

攵]

所以0<1<!

3

綜上可知，..........15分

3

法二：直線MN的方程為弘/+(2婷_2)y_26=0..........12分

令>=0,可得x=g,綜上可知，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)||,o]..........14分

故點(diǎn)廠(1,0)到直線MN的距離d的最大值為;,此時(shí)直線MN的斜率不存在

又直線MN的斜率一定不為0

所以0<d「...........15分

3

(20)(本小題滿分15分)

(I)解:因?yàn)?(x)=e*+acosx,所以/(0)=e°+a=a+l........1分

又點(diǎn)(0,7(0))在切線y=x+2上，所以/(0)=2..........2分

所以。+1=2即。=1..........4分

(H)證明：欲證方程/(%)=2僅有一個(gè)實(shí)根只需證明e，+cosx_2=0僅有一個(gè)零點(diǎn)

令g(x)=e*+cosx-2,貝g'(x)=e*—sinx..........6分

令丸⑴=g'(x)="—sinx,則〃(%)=ex-cosx

討論：(1)當(dāng)x>0時(shí)，h1(x)=ex-cosx>e°-cosx?1-cosx>0

所以h(x)在(0,抬)上單調(diào)遞增，所以>/i⑼=1

即g'(x)=/-sinx>1>0

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0,即此時(shí)無(wú)零點(diǎn)..........7分

(2)當(dāng)尤=0時(shí)，g(0)=0,即此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)...........8分

(3)當(dāng)尤<0時(shí)，=+cosx-2<g°+cosx-2=-l+cosx<0

所以，當(dāng)x<0時(shí)，g(%)<0，即此時(shí)無(wú)零點(diǎn)...........9分

綜上可得，g(x)=e*+cosx-2僅有一個(gè)零點(diǎn)，得證.

(III)當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，e*+cosx>左sinx+2即e*+cosx—左sinx—2>0恒成立

令歹(%)=e*+cosx—女sin2

則F'(x)=ex-sinx-左cosx

由(II)可知，xe(O,+<R)時(shí)/—sinx>l..........11分

所以F,(x)=el-sinx-Zrcosx>l-^cosx

討論：(1)當(dāng)0(女W1時(shí)，因?yàn)橐籰WcosxWl,所以一女WkcosxW左

即1一左W1—左cosx<l+k

所以T7'(九)>1一Zcosx'l—％NO..........12分

即當(dāng)0〈kW1時(shí)，F(xiàn),(x)>0,所以歹(%)=/+85%—左sinx-2在xe(0,+oo)時(shí)單增

所以網(wǎng)光)>_F(0)=0恒成立，即滿足條件/+cosx—左sin尤—2>0........13分

(2)當(dāng)左>1時(shí)，由—左cosx可知/'(Ojul-ZvO

又歹'(〃)=6"+左>0,所以存在/e(0,1),使得歹'(%)=0

所以,當(dāng)xe(0,飛)時(shí),F(x)<0,網(wǎng)x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(如”)時(shí)，尸(x)>0,歹(龍)單調(diào)遞增

所以歹(％)(歹(0)=0