微專題06 妙用等和線解決平面向量系數(shù)和、差、商、平方問題（六大題型）（解析版）

微專題06妙用等和線解決平面向量系數(shù)和、差、商、平方問題【題型歸納目錄】題型一：問題（系數(shù)為1）題型二：問題（系數(shù)不為1）題型三：問題題型四：問題題型五：問題題型六：問題【方法技巧與總結(jié)】（1）平面向量共線定理已知，若，則三點共線；反之亦然。（2）等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時，；②當(dāng)?shù)群途€在點和直線之間時，；③當(dāng)直線在點和等和線之間時，；④當(dāng)?shù)群途€過點時，；⑤若兩等和線關(guān)于點對稱，則定值互為相反數(shù)；【典型例題】題型一：問題（系數(shù)為1）【例1】（2024·山東濱州·統(tǒng)考一模）在中，M為BC邊上任意一點，N為線段AM上任意一點，若（，），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，設(shè)，，當(dāng)時，，所以，所以，從而有；當(dāng)時，因為（，），所以，即，因為、、三點共線，所以，即.綜上，的取值范圍是.故選：C.【變式1-1】（2024·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，為邊上的任意一點，點在線段上，且滿足，若，則的值為A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】設(shè)，將用、表示出來，即可找到和的關(guān)系，從而求出的值．設(shè)，，所以，又，所以．故選：．【變式1-2】（2024·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）在中，點是線段上任意一點，點滿足，若存在實數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，且，而，所以，即，由已知，則，選項D正確.故選：D題型二：問題（系數(shù)不為1）【例2】（2024·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)可知O為的重心；根據(jù)點M在內(nèi)，判斷出當(dāng)M與O重合時，最??；當(dāng)M與C重合時，的值最大，因不含邊界，所以取開區(qū)間即可．因為是內(nèi)一點，且所以O(shè)為的重心在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時，最小，此時所以，即當(dāng)M與C重合時，最大，此時所以，即因為在內(nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間，即所以選B【變式2-1】（2024·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰谏刃沃校?，，為弧上的一個動點，且．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，令，則，因為，則，,，又，則，則，則，又，易知為減函數(shù)，由單調(diào)性易得其值域為.故選：B.【變式2-2】（2024·遼寧沈陽·高三統(tǒng)考期末）如圖，在扇形中，，為弧上且與不重合的一個動點，且，若（）存在最大值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)射線上存在為，使，交于，由于，設(shè)，，由三點共線可知，所以，則存在最大值1，即在?。ú话ǘ它c）上存在與平行的切線，所以．故答案為題型三：問題【例3】（2024·上海徐匯·高二位育中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，OM//AB，點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線組成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，且，當(dāng)時，y的取值范圍是【答案】【解析】如圖，，點在由射線，線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，且，由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應(yīng)是以和的反向延長線為兩鄰邊，的取值范圍是；當(dāng)時，要使點落在指定區(qū)域內(nèi)，即點應(yīng)落在上，，，的取值范圍是，．故答案為：，【變式3-1】（2024·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，點P在由線段AB，AC的延長線及線段BC圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），則下列說法中正確的是．（填寫所有正確說法的序號）①存在點P，使得；②存在點P，使得；③存在點P，使得；④存在點P，使得．【答案】①④【解析】設(shè)，由圖可知：且，∴①④正確，故答案為：①④【變式3-2】（2024·高一課時練習(xí)）已知△ABC中，，若點P為四邊形AEDF內(nèi)一點(不含邊界)且，則實數(shù)x的取值范圍為.【答案】【解析】如圖所示，在線段BD上取一點G，使得，設(shè)DC=3a，則DG=a，BC=5a，BG=a；過點G作GH∥DE，分別交DF?AE于K?H，連接FH，則點K?H為臨界點；GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所以實數(shù)x的取值范圍是().故答案為：().題型四：問題【例4】（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，點是的三等分點，，過點的直線分別交直線于點，且，，若的最小值為，則正數(shù)的值為【答案】【解析】因為點是的三等分點，則，又由點三點共線，所以，所以，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最小值為，則有，即，所以，因為，所以，故答案為：.【變式4-1】（2024·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，點是的三等分點，，過點的直線分別交直線，于點，，且，(，)，若的最小值為3，則正數(shù)的值為.【答案】【解析】在中，點是的三等分點，，，，，，，，三點共線，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，的最小值為，即，，．故答案為：．【變式4-2】（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）在中，點是線段上的點，且滿足，過點的直線分別交直線于點，且，，其中且，若的最小值為.【答案】【解析】依題意，作出圖形如下，因為，，，則，所以，因為三點共線，所以，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.題型五：問題【例5】（2024·山西·高一統(tǒng)考期末）已知在中，點滿足，點在線段(不含端點，)上移動，若，則.【答案】3【解析】如圖，由題意得存在實數(shù)，使得.又，所以，又∵，且不共線，故由平面向量的分解的唯一性得所以.故答案為：3.【變式5-1】（2024·山東濰坊·高三開學(xué)考試）在中，點D滿足，當(dāng)點E在射線AD（不含點A）上移動時，若，則的最小值為．【答案】/【解析】由，得，即，因為點E在射線AD（不含點A）上移動，所以，又因為，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），所以的最小值為.故答案為：．【變式5-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀┰谥校c滿足，當(dāng)點在線段（不包含端點）上移動時，若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，△ABC中，，∴（），又點E在線段AD（不含端點）上移動，設(shè)k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上單調(diào)遞減，∴λ的取值范圍為（，+∞），故選C．題型六：問題【例6】（2024·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)階段練習(xí)）在中，點滿足，當(dāng)點在射線（不含點）上移動時，若，則的取值范圍為．【答案】【解析】因為點在射線（不含點）上，設(shè)，又，所以，所以，，故的取值范圍.

【變式6-1】（2024·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，點在線段上移動（不含端點），若，則，的最小值為.【答案】2【解析】因為在中，，所以,即.因為點在線段上移動（不含端點），所以設(shè).所以，對比可得.代入，得；代入可得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)時，.故答案為：【變式6-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，點滿足，當(dāng)點在線段上移動時，若，則的最小值為.【答案】【解析】；為邊的中點，如圖，則：；在線段上；設(shè)，；又；；即，且；；時，取最小值．故答案為：．【變式6-3】（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）在中，為邊上任意一點，為的中點，且滿足，則的最小值為.【答案】/【解析】由為邊上任意一點，則，，可得，則，即，由，可得，則，故，當(dāng)時，取得最小值為.故答案為：.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·高三課時練習(xí)）在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM中點，，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由題可設(shè)，則，N為AM中點，,又，，.故選：A.2．（2024·安徽六安·高一六安一中校考期末）如圖所示，在中，點D是邊上任意一點，M是線段的中點，若存在實數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，因為點D在線段上，所以存在，使得，因為M是線段的中點，所以：，又，所以，，所以.故選：B.3．（2024·重慶·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點為所在平面內(nèi)一點，滿足，為中點，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖：，點是的重心，點是的中點，，，當(dāng)點在內(nèi)（不含邊界），，，，，，，，.故選：A4．（2024·廣東惠州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點是線段上的點，且滿足，過點的直線分別交直線、于點、，且，，其中且，若的最小值為3，則正數(shù)的值為(

)A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】，∵E、O、F三點共線，∴，∵m>0，n>0，t>0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴．故選：B．5．（2024·江西南昌·高三階段練習(xí)）在中，點是的三等分點（靠近點B），過點的直線分別交直線，于不同兩點，若，均為正數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，由于M、O、N三點共線，可知，由于均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，故選：C二、多選題6．（2024·江蘇南京·高一南京市寧海中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，點是線段上任意一點，點是線段的中點，若存在使，則的取值可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令且，而，又，則，所以，則，且，故A、C滿足，B、D不滿足.故選：AC7．（2024·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)校考期末）已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因為是內(nèi)一點，且所以O(shè)為的重心在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時，最小，此時所以，即當(dāng)M與C重合時，最大，此時所以，即因為在內(nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間，即，結(jié)合選項可知ABC符合，D不符合故選：ABC8．（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點滿足，當(dāng)點在線段上（不含點）移動時，記，則（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BC【解析】是中點,則,又點在線段上,即三點共線,設(shè),故,.故B對A錯.,當(dāng)且僅當(dāng)時,即,故C對.在上單調(diào)遞減，當(dāng)取最小值，故D錯.故答案為：BC9．（2024·湖北武漢·高三校聯(lián)考期末）在中，點D滿足，當(dāng)點E在線段AD上移動時，記，則（

）A． B．C．的最小值為2 D．的最小值為【答案】BD【解析】由得，又點E在線段AD上移動，，，故A錯誤，B正確；，當(dāng)時，有最小值，故C錯誤，D正確.故選：BD.三、填空題10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點，若，則2x＋2y的最大值為

【答案】【解析】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設(shè)，則，等邊三角形邊長為2，則外接圓半徑為，當(dāng)點P為切點時,，∵，∴設(shè)，則，當(dāng)點P為切點時,有最大值,，，∴，，∴.即2x＋2y的最大值為.故答案為：11．（2024·福建三明·高二三明一中校考開學(xué)考試）如圖，在扇形中，，C為弧AB上的一個動點，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】如圖所示，以為原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)題意可知，，，設(shè)，．由，得，，，點在弧上由運動，在，上逐漸變大，變小，逐漸變大，當(dāng)時取得最大值4，當(dāng)時取得最小值．的取值范圍是，．故答案為：．12．（2024·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）在扇形中，，為弧上的一動點，若，則的取值范圍是．【答案】【解析】以O(shè)為原點，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.則.不妨設(shè).因為，所以，解得：，所以.因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時最大；當(dāng)時最小.所以的取值范圍是.故答案為：.13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在扇形中，，，C為弧上的一個動點，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，由得從而則，易知，故在上單調(diào)遞增，∴，.故.故答案為：14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）扇形中，，為上的一個動點，且，其中.（1）的取值范圍為；（2）的取值范圍為.【答案】【解析】（1）解法一：（等和線）設(shè)與相交于點，，，.解法二：（坐標(biāo)法），，，，，，.解法三：設(shè)，，即∴.（2）解法一：（等和線）解法二：，其中先增后減.15．（2024·吉林·高一階段練習(xí)）如圖，在中，分別為上的點，且，，.設(shè)為四邊形內(nèi)一點（點不在邊界上），若，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【解析】取BD中點M,過M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,如圖：則由可知,P點在線段GH上運動（不包括端點）當(dāng)與重合時，根據(jù),可知，當(dāng)與重合時,由共線可知，即，結(jié)合圖形可知.16．（2024·重慶萬州·高一萬州外國語學(xué)校天子湖校區(qū)?？计谀┤鐖D，在中，，點在線段上移動（不含端點），若，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題可知，，設(shè)，則，所以，而，可得：，所以，設(shè)，由雙鉤函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，則，所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17．（2024·高一課時練習(xí)）在學(xué)習(xí)向量三點共線定理時，我們知道當(dāng)P、A、B三點共線，O為直線外一點，且時，（如圖1），小明同學(xué)提出了如下兩個問題，請同學(xué)們幫助小明解答．(1)當(dāng)或時，O、P兩點的位置與AB所在直線之間存在什么關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并說明理由；(2)如圖2，射線，點P在由射線OM、線段OA及BA的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，且，求實數(shù)x的取值范圍，并求當(dāng)時，實數(shù)y的取值范圍．【解析】（1）若，則，在直線AB異側(cè)；若，則，在直線AB同側(cè)．理由如下：設(shè)，則由，得：，則在直線上有一點，使得，如下圖所示：則，即，當(dāng)時，則與同向，且，由平面共線定理可得，，在直線AB異側(cè)；當(dāng)時，與反向，如下圖所示，且，由平面共線定理可得，，在直線AB同側(cè)．（2）射線，點P在由射線OM、線段OA及BA的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動如圖所示，陰影部分為點P的運動區(qū)域（不含邊界），由（1）可知，，在直線同側(cè)，由于，則．過點作交射線于，過點作交射線的延長線于,由平行四邊形法則可得，又與方向相同，則，且，與方向相反，則，且，則，故，即實數(shù)的取值范圍是，當(dāng)時，此時為中點，過作直線平行與交于，交射線于，則點運動軌跡為線段（不含端點），如下圖：