2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓的方程（學(xué)生版）

專題50圓的方程

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.圓的定義和圓的方程

定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓

標(biāo)圓心C〈a,一

(X—a)2+(y—Z?)2=r(r>0)

準(zhǔn)半徑為二

方

圓心(J一§

程

x+y+Ey+F=0(1^+—4F>0)

般

半徑力+萬(wàn)一4尸

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn)〃(xo,㈤與圓C：(x—a)?+(y—人尸二步之間存在著下列關(guān)系：

(1)仞7|＞X=＞〃在圓外,即(荀一a”+(%—在圓外；

(2)|MC\在圓上,即(為一a)，+(%—6)2=封臺(tái)〃在圓上；

(3)|加1＜代＞〃在圓內(nèi),即(劉一a)?+(%—方＞在圓內(nèi).

【常用結(jié)論】

1.圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程為/+/=/

2.以A(xi,yi),3{X2,㈤為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x—XI)?(x—茲)+(y—%)(y—㈤=0.

【方法技巧】

1.求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來(lái)說(shuō)，求圓的方程有兩種方法：

(1)幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在

過(guò)切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共

線；

(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.

2.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略

(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法.一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)

合求解.

(2)與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類型及解法.

①形如〃=口型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a,6)和點(diǎn)(x,y)的直線的斜率的最值問(wèn)題；

x-a

②形如(X—a)?+(y—6)2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a,6)的距離的平方的最值問(wèn)題.

3.求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：

(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；

(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；

(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；

⑷代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.

二、【題型歸類】

【題型一】圓的方程

【典例1］已知圓〃與直線3x—4y=0及3x—4y+10=0都相切，圓心在直線y=—x—4上，則圓〃的方程

為()

A.(x+3)~+(y—1)2=1B.(x—3)2+(y+1)2=1

C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(X—3)?+5—1)2=1

【典例2】已知圓的圓心在直線X—2y—3=0上，且過(guò)點(diǎn)4(2,-3),庾一2,—5),則圓的一般方程為

【典例3】已知圓￡經(jīng)過(guò)三點(diǎn)4(0,1),6(2,0),C(0,-1),則圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.|)+/=,B.0+|)+/=||

【典例1】已知〃(x,y)為圓C：V+/—4x—14y+45=0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)0(—2,3).

⑴求1嗣的最大值和最小值；

(2)求的最大值和最小值；

(3)求y—x的最大值和最小值.

【典例2】設(shè)點(diǎn)Rx,力是圓(x—3>+/=4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)力(0,2),6(0,—2),則|行+無(wú)］的最大值為

【典例3】(多選)若戶是圓C：(x+3)2+(y—3)2=1上任一點(diǎn)，則點(diǎn)戶到直線尸履一1距離的值可以為()

A.4B.6

C.3-\/2+1D.8

【題型三】與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題

【典例1】設(shè)定點(diǎn)〃(一3,4),動(dòng)點(diǎn)兒在圓f+/=4上運(yùn)動(dòng)，以。如為鄰邊作平行四邊形掰勿廬，求點(diǎn)尸

的軌跡方程.

【典例2］已知Rt4/回的斜邊為9且/(一1,0),以3,0),求:

（1）直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

（2）直角邊切的中點(diǎn)〃的軌跡方程.

【典例3】已知線段的端點(diǎn)6的坐標(biāo)為（8,6）,端點(diǎn)/在圓C：9+/+4x=0上運(yùn)動(dòng)，求線段四的中點(diǎn)

產(chǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】（2023秋?高二單元測(cè)試）已知A（2,0）,點(diǎn)戶為直線無(wú)->+5=0上的一點(diǎn)，點(diǎn)。為圓/+；/=1

上的一點(diǎn)，則|PQ|+；|AQ|的最小值為（）

.572+2口5A/2-2?1172n11點(diǎn)

2224

【訓(xùn)練二】（2024?安徽黃山?屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）圖為世界名畫(huà)《蒙娜麗莎》.假設(shè)蒙娜麗莎微笑時(shí)

的嘴唇可看作半徑為1的圓。的一段圓弧E,且弧E所對(duì)的圓周角為I.設(shè)圓C的圓心C在點(diǎn)。與弧E中點(diǎn)

的連線所在直線上.若存在圓C滿足：弧E上存在四點(diǎn)滿足過(guò)這四點(diǎn)作圓。的切線，這四條切線與圓C也相

切，則弧E上的點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為（）

A.（0,^-1]B.（0,6]

C.（0,A/5-1）D.（0,75）

【訓(xùn)練三】（多選題）（2024?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）加斯帕爾?蒙日（圖1）是18?19世紀(jì)法國(guó)著名的

幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.

22

我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A（圖2）.已知橢圓C：工+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為月，4，點(diǎn)P，

43

。均在。的蒙日?qǐng)A。上，PA,依分別與。相切于A,B,則下列說(shuō)法正確的是（

A.C的蒙日?qǐng)A方程是f+y2=4

B.設(shè)N（l,l）,則|4V|+|A閭的取值范圍為［4-上,4+君］

C.若點(diǎn)尸在第一象限的角平分線上，貝I直線A8的方程為3g+4而y-24=0

D.若直線尸。過(guò)原點(diǎn)。，且與C的一個(gè)交點(diǎn)為G,|G耳卜仁耳|=3,則|GH-|GQ|=4

UUU

【訓(xùn)練四】（多選題）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知向量。4,O8,OP滿足|。4|=1,|。8|=2，

OA-OB=0，。尸=404+〃。反則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若點(diǎn)尸在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)初取得最大值時(shí)，|。尸|的值為行

B.若點(diǎn)尸在直線四上運(yùn)動(dòng)，在。尸上的投影的數(shù)量的取值范圍是（-

C.若點(diǎn)尸在以r=手為半徑且與直線46相切的圓上，|。門(mén)取得最大值時(shí)，幾+〃的值為3

D.若點(diǎn)尸在以r=半為半徑且與直線相切的圓上，力+〃的范圍是［-1,3］

【訓(xùn)練五】（2023?江蘇無(wú)錫?輔仁高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知A8,r＞三點(diǎn)在圓C:（x+2）2+y2=36上，△ABD

的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，則△ABD周長(zhǎng)的最大值為.

【訓(xùn)練六】（2023?重慶萬(wàn)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線ay2=2px（p＞。）的焦點(diǎn)為尸,點(diǎn)尸（。,4）在拋物

線。上，POF（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4.

（1）求LPOF外接圓的方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)（1,0）的直線/與拋物線。交于4B兩點(diǎn),延長(zhǎng)力片即分別與拋物線。交于〃，“兩點(diǎn)，證明：直

線腑過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

一、單選題

1.（2023?北京?模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)圓。:f+丫2-4彳+6丫一3=0的圓心到直線/:癖+y+加一1=0的距離最大時(shí),

m=（）

A.-B.-C.--D.--

4343

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知4（-2,0）,3（2,0）,點(diǎn)戶滿足|巳4「+忸砰=16,直線

Z:（/w+l）x-y+l-3/n=0（meR）,當(dāng)點(diǎn)戶到直線/的距離最大時(shí)，此時(shí)加的值為（）

4173

A.-B.-C.——D.——

3344

3.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)”（1,3）在圓C:/+y2=〃7上，過(guò)M作圓C的切線/,貝心的傾斜

角為（）

A.30B.60C.120D.150

4.（2023?江西?校聯(lián)考一模）古希臘亞歷山大時(shí)期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus,公元3世

紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問(wèn)題：即到兩條已知直線距離的乘積與到第三條直

線距離的平方之比等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓錐曲線.今有平面內(nèi)三條給定的直線4,4,4,且4,4均與4垂

直.若動(dòng)點(diǎn)〃到44的距離的乘積與到4的距離的平方相等，則動(dòng)點(diǎn)〃在直線44之間的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（3,O）,3（0,。（”0）,若該平面中不存在

點(diǎn)尸，同時(shí)滿足兩個(gè)條件|以『+2|PO|2=12與歸。|=夜|冏，則f的取值范圍是（）

6.（2023春?四川宜賓?高二?？茧A段練習(xí)）已知圓q：（x+3『+y2=i,圓Q：（x-l）2+/=1,過(guò)動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)

分別作圓。I、圓的切線為,PB（A,8為切點(diǎn)），使得|PA|=0|PB|,則動(dòng)點(diǎn)戶的軌跡方程為（）.

22

A.土+二=1B.爐=4〉

95

r2

C.D.（x-5）+/=33

7.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知直線y+l=%（%-2）與圓（％—l）2+（y_i）2=9相交于必N兩點(diǎn).則|MN|

的最小值為（）

A.#B.2&C.4D.6

8.（2023?河北邢臺(tái)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P（0,4）,圓M:（x-4）2+y2=i6,過(guò)點(diǎn)N（2,0）的直線/與

圓M交于A,3兩點(diǎn)，則|總+尸耳的最大值為（）

A.80B.12C.6也D.9近

二、多選題

9.（2023春?江西新余?高二新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C:f=4y的焦點(diǎn)為尸，直線乙，

4過(guò)點(diǎn)/與圓E：（x-2y+y2=l分別切于A,B,兩點(diǎn)，交C于點(diǎn)M,N和P,Q,貝U（）

A.C與E沒(méi)有公共點(diǎn)

B.經(jīng)過(guò)尸，A,3三點(diǎn)的圓的方程為尤2+y2-2x-y=0

C.網(wǎng)=￥

D.\MN\+\PQ\=^

10.（2023春?江蘇南京?高二金陵中學(xué)?？计谥校┮阎獔AC過(guò)點(diǎn)A（l,3）,3（2,2）,直線位3x-2y=O平

分圓C的面積，過(guò)點(diǎn)。（0,1）且斜率為A的直線/與圓。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)弘兒則（）

A.圓心的坐標(biāo)為C（2,3）

B.圓C的方程為（x-2y+（y_3）2=l

C.A的取值范圍為、,g]

D.當(dāng)A=g時(shí)，弦腑的長(zhǎng)為乎

11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知圓C:（x—2）2+[y—|）=/，點(diǎn)A（O,1）,5（4,4）,點(diǎn)〃在x軸上，則

（）

A.6不在圓C上B.y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為3

C.A,B,。三點(diǎn)共線D.N/UWB的最大值為g

12.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為/+丁-2卜-1=0,若直線y=xT上存

在一點(diǎn)弘使過(guò)點(diǎn)〃所作的圓的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)〃的縱坐標(biāo)為（）

A.1B.百C.-1D.-如

三、填空題

13.(2023春?上海閔行?高三上海?？茧A段練習(xí))已知?jiǎng)訄AN經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-6,0)及原點(diǎn)0,點(diǎn)尸是

圓N與圓M:V+(,-4)2=4的一個(gè)公共點(diǎn),則當(dāng)/OPA最小時(shí)，圓N的半徑為.

14.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?校聯(lián)考一模)己知圓的圓心在直線x—2y—3=0上，且過(guò)點(diǎn)/(2,—3),6(—2,

-5),則圓的一般方程為.

15.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))過(guò)點(diǎn)尸(4,5)作圓C:(x-l)2+(y-2)2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A8,

則AB的直線方程為.

16.(2023春?江蘇南京?高二?？计谀?直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-3),與圓C:Y+y2+2x+2y-i4=0相交截得

的弦長(zhǎng)為2近，則直線/的方程為.

四、解答題

17.(2023秋?山東臨沂?高二山東省臨沂第一中學(xué)校考期末)已知直線/經(jīng)過(guò)兩條直線2彳-〉-3=0和

4x-3y-5=0的交點(diǎn)，且與直線x+y-2=0垂直.

(1)求直線/的一般式方程；

(2)若圓C的圓心為點(diǎn)(3,0),直線/被該圓所截得的弦長(zhǎng)為2應(yīng)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))點(diǎn)N(%,%)是曲線「小+外2=1上任一點(diǎn)，已知曲線「在點(diǎn)處

的切線方程為"°x+Z%y=l.如圖，點(diǎn)戶是橢圓C:5+y2=l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)戶作橢圓C的切線/交圓

。:/+丁2=4于點(diǎn)4B,過(guò)/、6作圓。的切線交于點(diǎn)”.

⑴求點(diǎn)〃的軌跡方程；

⑵