一次函數(shù)綜合題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練

一次看裁催含救

壓軸題密押

通用的解題思路：

(1)一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題

首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形,再求出面積.

(2)一次函數(shù)的優(yōu)化問題

通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到①的取值范圍,進而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前提

下求出最值.

(3)用函數(shù)圖象解決實際問題

從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達式，并解答相應(yīng)的問題.

壓軸題預(yù)測

題目1(2024-鼓樓區(qū)一模)如圖，直線y=—&+6與。。相切，切點為P,與①軸9軸分別交于A、B兩

點.0。與立軸負半軸交于點C.

(1)求。。的半徑；

(2)求圖中陰影部分的面積.

題目0(2023-宿豫區(qū)三模)如圖①，在平面直角坐標系中，直線h-.y=c+1與直線Z2：2=—2相交于點。,點

A是直線友上的動點，過點A作AB，。于點5,點C的坐標為(0,3)，連接AC,BC.設(shè)點A的縱坐標為

的面積為s.

(1)當力=2時,求點B的坐標；

(2)s關(guān)于t的函數(shù)解析式為s=[#+從—今("T或力〉5)圖象如圖②所示，結(jié)合圖①、②的信息，求

[a(t+1)(4-5)(-1<t<5)

出a與b的值；

(3)在直線12上是否存在點A,使得AACB=90°，若存在,請求出此時點A的坐標;若不存在，請說明理由.

題目0（2023-漂陽市一模）如圖1,將矩形AOBC放在平面直角坐標系中，點。是原點，點力坐標為（0,4），

點B坐標為（5,0）,點P是t軸正半軸上的動點,連接AP,^AQP是由^AOP沿AP翻折所得到的圖形.

⑴當點Q落在對角線OC上時，OP=_孚_；

（2）當直線PQ經(jīng)過點。時，求PQ所在的直線函數(shù)表達式；

（3）如圖2,點”是BC的中點，連接

①的最小值為；

②當^PMQ是以PM■為腰的等腰三角形時,請直接寫出點P的坐標.

題目（2022?啟東市模擬）我們知道一次函數(shù)沙=與夕=—7n，+?i（mW0）的圖象關(guān)于沙軸對稱，所

以我們定義：函數(shù)夕+ri與夕=—mx+n（m手0）互為"M'"函數(shù).

⑴請直接寫出函數(shù)?/=22+5的“AT函數(shù)；

（2）如果一對"M'"函數(shù)《=mx+n與v=—mx+n（mW0）的圖象交于點4且與力軸交于B,。兩點，如圖

所示，若ABAC=90°,且AABC的面積是8，求這對“AT函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點。是沙軸上的一個動點，當^ABD為等腰三角形時，請求出點D的坐標.

題目⑸（2024-新北區(qū)校級模擬）如圖①，動點P從矩形ABCD的頂點A出發(fā)，以%的速度沿折線A-B-

。向終點。運動；同時,一動點Q從點。出發(fā)，以3的速度沿DC向終點。運動,當一個點到達終點時,另

一個點也停止運動.點E為CD的中點，連接記AEPQ的面積為S,點P運動的時間為3其函數(shù)

圖象為折線MN-NF和曲線FG（圖②），已知，ON=4,NH=1,點、G的坐標為（8,0）.

⑴點P與點Q的速度之比色的值為_：_；嘿■的值為；

（2）如果OAf=15.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達式；

②求FG所在曲線的函數(shù)表達式；

③是否存在某個時刻t,使得號？若存在，求出力的取值范圍:若不存在,請說明理由.

圖①圖②

題目0（2024-梁溪區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)夕=—a/+3arE+4a的圖象與工軸交

于兩點（點A在點8的左側(cè)），與v軸正半軸交于點C,直線夕■，交于第一象限內(nèi)的。點，且

AABC的面積為10.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）點E為:E軸上一點，過點E作沙軸的平行線交線段于點F,交拋物線于點G,當GF=V5OF時，求

點G的坐標；

（3）已知點P（%0）是/軸上的點，若點P關(guān)于直線OO的對稱點Q恰好落在二次函數(shù)的圖象上，求九的值.

「題目叵）（2023?祁江區(qū)校級一模）如圖1,在平面直角坐標系中，直線l-.y=-乎c+4班分別與，軸、夕軸交

于點人點和B點，過。點作，AB于。點，以。D為邊構(gòu)造等邊AEDF（F點在2軸的正半軸上）.

（1）求A、B點的坐標，以及OD的長；

（2）將等邊AEDF,從圖1的位置沿x軸的正方向以每秒1個單位的長度平移,移動的時間為t（s），同時點P

從E出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著折線ED-DF運動（如圖2所示），當P點到F點停止，ADEF也隨

之停止.

①t=（s）時，直線Z恰好經(jīng)過等邊^(qū)EDF其中一條邊的中點；

②當點P在線段DE上運動，若DM=2PM，求土的值；

③當點P在線段DF上運動時，若APMN的面積為血，求出t的值.

題目回（2023.武進區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系xOy中,對于任意兩點打（為，功）與P2{x2,納）的“非常距

離”，給出如下定義：

若＞/一統(tǒng)I，則點舄與點B的''非常距離”為E—溝;

若|的_工21V屜一加，則點一與點B的“非常距離”為。-統(tǒng)|.

例如:點R（l,2）,點馬（3,5）,因為|1一閶V|2—5],所以點R與點鳥的“非常距離”為|2-5|=3,也就是圖1

中線段P?與線段P2Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P.Q與垂直于工軸的直線P2Q交點）.

①若點A與點B的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點B的坐標；

②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值；

（2）己知C是直線y=+3上的一個動點，

①如圖2,點。的坐標是（0,1）,求點。與點D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點。的坐標；

②如圖3,H是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點。與點E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)

題目回（2023-海安市一模）對于平面直角坐標系力。沙中的圖形卬和點P,給出如下定義：F為圖形W上任

意一點，將P,F兩點間距離的最小值記為m,最大值記為河，稱“與機的差為點P到圖形W的“差距

離”,記作d（P,W）,即d（P,W）=M-m,已知點42,1）,B（-2,l）

⑴求d（O,幽;

（2）點。為直線y=—1上的一個動點,當d（C,AB）=1時，點。的橫坐標是_（2—畫）或（西—2-）_；

（3）點。為函數(shù)沙=C+b（—2W，W2）圖象上的任意一點，當d（D,AB）W2時,直接寫出b的取值范圍.

題目皿（2022-姑蘇區(qū)校級模擬）平面直角坐標系xOy中，對于任意的三個點A、5、C,給出如下定義:若

矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A,B,。三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點A,

B,。的“三點矩形”.在點A,B,。的所有“三點矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為點A,3,

。的“最佳三點矩形”.

如圖1,矩形DEFG,矩形17cH都是點A,B,。的“三點矩形"，矩形IJCH是點、A,B,。的“最佳三點矩

形”.

如圖2,已知M（4,l）,N（—2,3）,點F（m,n）.

⑴①若m=2,n=4,則點河，N,P的“最佳三點矩形”的周長為湎積為；

②若巾=2,點M,N,P的“最佳三點矩形”的面積為24,求八的值；

⑵若點P在直線y=-2x+5±.

①求點的“最佳三點矩形”面積的最小值及此時m的取值范圍；

②當點M,N,P的“最佳三點矩形”為正方形時，求點P的坐標；

（3）若點P（m,n）在拋物線y=ax2+bx+c上，當且僅當點M,N,P的“最佳三點矩形”面積為12時，—2W

機4―1或1WmW3,直接寫出拋物線的解析式.

圖1圖2備用圖

題目兀（2022-太倉市模擬）如圖①，動點P從矩形ABCD的頂點人出發(fā)，以%的速度沿折線A—B—C向

終點。運動；同時,一動點Q從點。出發(fā)，以出的速度沿DC向終點。運動，當一個點到達終點時，另一個

點也停止運動.點E為CD的中點，連接PE,PQ,記AEFQ的面積為S,點P運動的時間為其函數(shù)圖象

為折線MN-NR和曲線FG（圖②），已知，ON=3,NH=1,點、G的坐標為（6,0）.

⑴點P與點Q的速度之比色的值為—暮_；的值為；

。22

（2）如果OM=2.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達式；

②是否存在某個時刻t,使得S＞若存在，求出t的取值范圍;若不存在，請說明理由.

5

BC

題目叵(2022?祁江區(qū)校級一模)在平面直角坐標系加加中,對于點P和線段ST,我們定義點P關(guān)于線段

(PS

ST的線段比k=/(PSVPT)

1ST(PS>PT)

(1)已知點A(O,l),B(l,O).

①點Q(2,0)關(guān)于線段AB的線段比1fc=_空_；

②點C(O,c)關(guān)于線段AB的線段比k=",求c的值.

(2)已知點河(小,0),點N(m+2,0),直線夕=①+2與坐標軸分別交于E,F兩點,若線段EF上存在點使得

這一點關(guān)于線段AW的線段比k4十,直接寫出m的取值范圍.

題目13[(2022?泰州)定義:對于一次函數(shù)%=ax+b>y2=ex+d,我們稱函數(shù)夕=?n(a，+6)+n(cx+d)

(ma+nc^0)為函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”.

(1)若？n=3,"=1,試判斷函數(shù)y=5c+2是否為函數(shù)%=，+1、y2=2x—l的''組合函數(shù)”，并說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)明=，—p-2與y2=—x+3p的圖像相交于點P.

①若館+九>1,點P在函數(shù)明、統(tǒng)的“組合函數(shù)”圖像的上方，求p的取值范圍；

②若pWl,函數(shù)％、%的“組合函數(shù)”圖像經(jīng)過點是否存在大小確定的機值，對于不等于1的任意實數(shù)

P，都有“組合函數(shù)”圖像與，軸交點Q的位置不變？若存在，請求出m的值及此時點Q的坐標;若不存在,

請說明理由.

題目紅(2024-鐘樓區(qū)校級模擬)在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個全等三角形,我們稱

這兩個三角形叫做“共邊全等”.

(1)下列圖形中兩個三角形不是“共邊全等”是；

(2)如圖1,在邊長為6的等邊三角形ABC中，點。在AB邊上，且AD=^-AB,點E、F分別在AC、BC邊

O

上，滿足^BDF和AEDF為“共邊全等”，求CF的長；

圖2

⑶如圖2,在平面直角坐標系中，直線9=—3c+12分別與直線y=x、缶軸相交于A、B兩點，點。是OB

的中點，P、Q在^AOB的邊上，當以P、8、Q為頂點的三角形與^PCB“共邊全等”時,請直接寫出點Q

的坐標.

1題目近(2023-新北區(qū)校級二模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、點B的坐標分別為(—2,0)、(0,8).

經(jīng)過48、。三點的圓的圓心為過點取■的直線與。河的公共點是。、E,與。軸交于點F,與v軸交于

點、N,連接AE、OD、BD.已知/ODF=45°.

(1)。”的直徑為_2，行—，點M的坐標為；

(2)求直線DF所對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(3)若P是線段AF上的動點，APEA與'BDO的一個內(nèi)角相等，求OP的長度.

題目J6](2023-梁溪區(qū)模擬)如圖，以4(—9,0)、B(—2,0)為頂點作等邊AABC,點、C在第二象限.

(1)求直線BC所對應(yīng)的函數(shù)表達式.

⑵過點。(1,0)作一條直線交BC于點P,交AC于點Q,且DP：PQ=3：2.

①求點P的坐標與/.BPD的度數(shù)；

②在y軸上是否存在這樣的點”,使得點加到NBPD的兩邊所在直線的距離相等？若存在,請直接寫出

所以符合條件的點刊的坐標；若不存在，請說明理由.

題目兀(2023?海州區(qū)校級二模)問題提出：

(1)在學(xué)習幾何時，我們可以通過構(gòu)造基本圖形,將幾何“模型”化.例如在三角形全等與三角形的相似的

學(xué)習過程中，%”字形是非常重要的基本圖形.如圖1,已知：乙ADC=ZBEC=乙4cB=90°,D、C、E三

7

點共線，AC=BC,由ASA易證^ADC=kCEB；

如圖2,已知：NADC=4BEC=AACB=90,,D、C、E三點共線，若人。=6、5。=3、跳；=1,則40的

長為_42_；

圖6

問題探究：

(2)①如圖3,已知：NADC=NBEC=AACB=90°,AC=BC,D,C,E三點共線，求證：4D=BE+

DE；

②如圖4,已知點4(—3,1)，點3在直線y=-2x+4上，若ZAOB=90°,則此時點B的坐標為；

問題拓展：

⑶如圖5,正方形ABCD中，點G是BC邊上一點，AG,垂足分別為F、E.若AE=1,

四邊形ABFD的面積等于10,求正方形ABCD的面積.

(4)如圖6,正方形48co中，點E、F分別在40、48邊上，=連接EF、DF,則黑的最小值是

Ur

題目逗(2023?金壇區(qū)一模)在平面直角坐標系多。沙中,對于點4記線段。人的中點為若點

P，Q按逆時針方向排列構(gòu)成菱形⑷WPQ,其中AQAM=?°(0<?<180),則把菱形AMPQ稱為點人的

菱形”AMPQ,把菱形邊上所有點都稱為點人的“優(yōu)菱點”.已知點4(0,4).

8

(備用圖)

(1)在圖1中，用直尺和圓規(guī)作出點A的“60。菱形"AMPQ,并直接寫出點P的坐標(不寫作法，保留作圖

痕跡)；

(2)若點是點A的％。菱點”，求a的值；

(3)若一次函數(shù)y=-9+b的圖象上存在點A的菱點”，直接寫出b的取值范圍.

［題目叵］(2022?吳中區(qū)模擬)探究與應(yīng)用:在學(xué)習幾何時，我們可以通過分離和構(gòu)造基本圖形,將幾何“模

塊”化.例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”(如圖①)：

(1)請就圖①證明上述“模塊”的合理性.已知：乙4=/。=乙8。七=90°,求證：氏45。一/\。磔；

(2)請直接利用上述“模塊”的結(jié)論解決下面兩個問題：

①如圖②，已知點A(—2,1),點B在直線“=—22+3上運動，若乙4。8=90°,求此時點B的坐標；

②如圖③,過點4(—2,1)作立軸與沙軸的平行線,交直線y=—2,+3于點。,求點A關(guān)于直線CD的對

稱點石的坐標.

D

題目叵(2022?雨花臺區(qū)校級模擬)閱讀并解答下列問題;在學(xué)習完《中心對稱圖形》一章后，老師給出了以

下一個思考題:如圖1,在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,3),5(5,1),C(a,0),D(a+2,0),連接AC,

CD,DB,求AC+CD+DB最小值.

圖3

圖4圖5圖6

【思考交流】小明：如圖2,先將點A向右平移2個單位長度到點A,作點B關(guān)于①軸的對稱點5,連接4瓦

交工軸于點。，將點。向左平移2個單位長度得到點。，連接AC.BD.此時AC+CD+DB的最小值等

于AA+CD.

小穎:如圖3,先將點A向右平移2個單位長度到點4,作點4關(guān)于c軸的對稱點兒，連接A2B可以求解.

小鳧：對稱和平移還可以有不同的組合,,?.

【嘗試解決】在圖2中，AC+CD+DB的最小值是.

【靈活應(yīng)用】如圖4,在平面直角坐標系cOg中，已知點A（0,3）,B（5,l）,。（%1）,。（&+2,0）,連接47,CD,

DB,則AC+CD+DB的最小值是，此時a=，并請在圖5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD

+OB最小時CD的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）.

【拓展提升】如圖6,在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0,3）,。是一次函數(shù)y=x圖象上一點，CD與夕軸

垂直且CD=2（點。在點C右側(cè)），連接AC,CD,AD,直接寫出AC+CD+DA的最小值是，此時

點C的坐標是.

題目,（2022?濱?？h校級三模）定義:若一個函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標之和為零