2024屆河南省頂級(jí)高三年級(jí)下冊(cè)考前全真模擬考試（一）數(shù)學(xué)含答案

2024屆河南省頂級(jí)名校高三下學(xué)期考前全真模擬考試（一）

數(shù)學(xué)含答案

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題

卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.樣本數(shù)據(jù)45,50,51,53,53,57,60的下四分位數(shù)為（

A.50B.53C.57D.45

2.已知二="D—2i,則亍=（）

1-1

A.—2+iB.-l+2iC.-2-iD.-l-2i

3.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于48兩點(diǎn)，若月B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,則

\AB\=（）

A.16B.12C.10D.8

4.直線/：x+y=l,圓。/+歹2-2工-2二2=0.則直線/被圓。所截得的弦長(zhǎng)為（）

A.2B.2>/3

C.2V7D.V14

4

5.（4-26-3c）的展開式中Q加的系數(shù)為（）

A.208B.217C.-216D.-218

6.己知x>0/>0,2x+y=xy,則2x+y的最小值為（）

A.8B.4C.8應(yīng)D.472

試卷第1頁(yè)，共5頁(yè)

7.在。中，AB=3V2,cosZB.4C=-1,JZ)UC,且力。交SC于點(diǎn)O,力。=3,則

sinC=(

A.'B.⑺

c.巫D.逑

,r

8.已知尸為橢圓C:戶+瓦=l(a>b>0)上一點(diǎn)，￡、用分別為其左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，|「。|=孝。，且|尸用￥片|=孑2,則。的離心率為()

A.—B.1C.應(yīng)尸專，D.5

4422

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.數(shù)列｛%｝滿足：q=l,S,T=3q(%N2),則下列結(jié)論中正確的是()

A.a2=-

B.｛〃”｝是等比數(shù)列

4

Ca.—an>2

3

<4Y1

D.-，心2

\/

10.已知/("=力sin(/x+。)力>0,e>0,0<夕v弓的部分圖象如圖所示則()

L)

A./(0)=l

、(47tIE、

B./(x)在區(qū)間工■，工-單調(diào)遞減

C./(x)在區(qū)間的值域?yàn)閇-1,6]

D.〃力在區(qū)間停21有3個(gè)極值點(diǎn)

1z)

試卷第2頁(yè)，共5頁(yè)

11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體力BC。-48cA中，E是棱。A上

的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，過(guò)4瓦,后三點(diǎn)的平面將正方體分為兩個(gè)部分,

則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.正方體被平面所截得的截面形狀為梯形

B.存在一點(diǎn)E,使得點(diǎn)4和點(diǎn)C到平面力后月的距離相等

41

C.若E是。R的中點(diǎn)，則三棱錐4-4與￡外接球的表面積是木〃

0

D.當(dāng)正方體被平面力￡與所截得的上部分的幾何體的體積為:時(shí)，E是的中點(diǎn)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知2=(3,-4),5=(1,2),則￡在否的方向上的投影向量是,

13.己知集合力二{x|-l《xVl},8二卜帆-14、“2團(tuán)-1}.若8=4則實(shí)數(shù)"的取值范圍

為

14.己知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,若/(x-v)=/(x)/(j)+/(l+x)/(l+y),且

102

”0)工〃2),則￡/(〃)=

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)在A48C中，內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為Q,b,c,

y/3asinB-bcosA=b.

(1)求角力的大??；

⑵若為力。邊上的中線，且60=2,求b+2c的最大值.

試卷第3頁(yè)，共5頁(yè)

16.（本小題滿分15分）己知函數(shù)〃x）=Qx+l-xlnx的圖像在x=1處的切線與直線

X-y=O平行.

⑴求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間：

⑵若%W（0,+<?）,且不>勺時(shí)，/（%）/卜2）>"（才X；）,求實(shí)數(shù)/〃的取值范圍.

17.（本小題滿分15分）己知橢圓c：*_+￡=1（?6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，F(xiàn)”

兩焦點(diǎn)45與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形點(diǎn)P（0半）在橢圓C上.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；七）

⑵過(guò)點(diǎn)￡且斜率不為0的直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，與直線x=-3交于點(diǎn)D.

設(shè).4。=4，片，BD=%BF[,證明：4+4為定值.

18.（本小題滿分17分）如圖，在三棱錐。-力8。中，AB1BC,AB=2,BC=26,

PB=PC=?BP,AP,宛的中點(diǎn)分別為D,E,0,AD=6）。，點(diǎn)尸在dC上，BF±AO.

（1）證明：EF〃平面力0。；

（2）證明：平面力。。_L平面財(cái)

（3）求二面角P—BC—力的大小.

試卷第4頁(yè)，共5頁(yè)

19.(本小題滿分17分)某種植物感染病毒7極易死亡，當(dāng)?shù)厣镅芯克鶠榇搜邪l(fā)出了一

種抗病毒7的制劑.現(xiàn)對(duì)20株感染了病毒7的該植株樣本進(jìn)行噴霧試驗(yàn)測(cè)試藥效.測(cè)試

結(jié)果分“植株死亡”和“植株存活”兩個(gè)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并對(duì)植株吸收制劑的量(單位:

毫克)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).規(guī)定植株吸收在6毫克及以上為“足量”，否則為“不足量

該20株植株樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中“植株存活”的13株，對(duì)制劑吸收量統(tǒng)計(jì)得下表.己

知“植株存活”但“制劑吸收不足量”的植株共1株.

編號(hào)2345678910

吸收量(毫克)6838956627

編號(hào)11121314151617181920

吸收量(毫克)75106788469

(1)補(bǔ)全列聯(lián)表中的空缺部分，依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“植株的存活”與

“制劑吸收足量”有關(guān)？

吸收足量吸收不足量合計(jì)

植株存活

植株死亡

合計(jì)

(2)現(xiàn)假設(shè)該植物感染病毒7后的存活日數(shù)為隨機(jī)變量X(X可取任意正整數(shù)).研究

人員統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的火€1<,存活日數(shù)為(％+1)的樣本在存活日數(shù)超過(guò)

k的樣本里的數(shù)量占比與存活日數(shù)為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于0.1,

這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無(wú)記憶性”試推導(dǎo)乂AwN)的表達(dá)式，并求該植

物感染病毒7后存活日數(shù)的期望E(X)的值.附：/=,H”)2其中

+b)(c+d\a+c)(b+d)

n=a+b+c+d；當(dāng)〃足夠大時(shí)，〃x0.9"e().

a10.010I|0.005|0.001

|6.635||7.879||10.828

試卷第5頁(yè)，共5頁(yè)

一、選擇題;

11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體力88-4片G4中，￡是棱。馬上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過(guò)

44芭三點(diǎn)的平面將正方體分為兩個(gè)部分，則下列說(shuō)法正確的是（

ac

4;~~7^1?!

娟”一火，鬼

A亞覿

A.正方體被平面力￡片所截得的截面形狀為梯形

B.存在一點(diǎn)E,使得點(diǎn)4和點(diǎn)C到平面月E片的距離相等

41

C.若E是的中點(diǎn)，則三棱錐4-彳8f外接球的表面積是丁乃

O

D.當(dāng)正方體被平面總后耳所截得的上部分的幾何體的體積為g時(shí)?￡是。。的中點(diǎn)

【答案】BCD

【詳解】選項(xiàng)A：設(shè)過(guò)44,E三點(diǎn)的平面與GA交點(diǎn)為F,連接⑸,

因?yàn)槠矫嬖?8/〃平面DCC\D、，且平面/的D平面力88/=AB,,

平面/lEgn平面。。。。尸￡尸，所以EF//AB],

由正方體性質(zhì)可知，AD〃&G，AD=B1c，所以四邊形力4G。為平行四邊形,

所以DCJ/4B1,所以小〃OC/印|x|DCj,即怛尸國(guó)力可

所以正方體被平面力￡片所截得的截面形狀為梯形，故A正確

選項(xiàng)B：由點(diǎn)4和點(diǎn)8到平面月月4的距離相等,

若點(diǎn)4和點(diǎn)C到平面力砧)的距離相等，必有8C〃平面/1E4,

又由BC//4D,可得力?！ㄆ矫?七片，與/Qc平面力七8二%矛盾，故B錯(cuò)誤;

41

選項(xiàng)c：三棱錐4-力與￡外接球的表面積是4，故C錯(cuò)誤；

716r

選項(xiàng)D:因?yàn)?f向=1x；xlxlxl=!,嚷Ng四上與+@,

正方體被平面AEB.所截得的上部分的幾何體的體積為：

—?^—(a2+a)=-^a2+a-\=Q,

66、J3

解得「=也二1.故D錯(cuò)誤：

2

故選：BCD

二、填空題

12、(-1,-2)13、(-8/14、

14.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,若/(xy)=f(x)f(y)+f(\+x)f[\+y)t且

/(0)工〃2),則Z/(〃)=

【答案】

【詳解】令x=y=o,得/(0)=1(0)了+[/(1)]2，

再令X=y=l,得/(0)=[/(1)/+[/(2)了

所以[〃0)了=[〃2)了,因?yàn)椤?)=〃2),所以〃0)=-〃2),

令三0,得/(l)=/(l)/(0)+/(2)/(l)=0

所以〃0)=[/(0)了，即"0)=0或1

若/(0)=0,則代入/(0)=[/(1)『+[/(2)『中，/(2)=0,

由〃。)工/(2),所以/(0)，0,即〃0)=1,且/⑵=7,

令」=0,得/(-刃=/(0)/。)+。(3(1+1)，

由/(0)=1，/(1)=0,所以/(—?=/()，)，

所以/(X)為偶函數(shù)：所以/(—1)=/(1)=0,/(-2)=/(2)=-1,

令/=1,得/(i-y)=/(i)/(y)+/(2)/(i+y),

所以/(1-力=-/(1+力,即/(?+/(2-?=0,<>V

因?yàn)?(一力=/(力=一/(歹+2),所以/(y+4)=/(y),

所以/(x)為周期函數(shù)，周期為4,

所以/。)=0、/(2)=L/(3)=/(-l)=/(1)=0,/(4)=/(0)=l,

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

所以Z/(〃)=25[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)+/(2)=-1

故答案為：1.

三、解答題：

15、(本小題滿分13分)在&46c中,內(nèi)角4,6,C的對(duì)邊分別為。也C,y/3as\nB-bcosA=b.

(1)求角4的大小：

(2)若8。為4c邊上的中線，且3。=2,求b+2c的最大值.

【答案】(1)A=-x(2)b+2c的最大值為8。

3

【詳解】令x=y=0,得/(0)=[，⑼了+[/(1)了，

再令…=1，得/(0)=[/(1)}[/(26

⑴在AJ8C中，內(nèi)角乩B,C的對(duì)邊分別為。也c,省asinBbcosA=b>

由正弦定理，&fsin8Acos4=b可變?yōu)镴Jsin力sin6-sin6cosH=sin8?

化簡(jiǎn)為2sinJ-y=1,又因?yàn)?w(0,乃)，所以角A=

(2)因?yàn)?Q=2,所以在A48。中，由余弦定理可得(9)+c?-2?-c.cos/=4

可化簡(jiǎn)為0+2C)2—16=66C,因?yàn)閎?2c?,所以(b+2c)2-16?3(絲生)

解得b+2c48,所以6+2c的最大值為8.

16、(本小題滿分15分)已知函數(shù)/(“5K+171nx的圖像在x=l處的切線與直線與7=0

平行.

⑴求函數(shù)/(力的單調(diào)區(qū)間；

⑵若％，we(o,y),且玉>電時(shí)，/(』)/(電)>加[：X；),求實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍.

【答案】⑴/⑺在(Oe)遞增,在(e+e

【詳解】(1)/(/)=G+l-xlnx的導(dǎo)數(shù)為廣(x)=a-l-lnx,

可得/(x)的圖象在d(L/0))處的切線斜率為0-1,

由切線與直線x-y=O平行，可得=即。=2,

/(x)=2x+l-xlnx,/r(.r)=1-In,x,

由尸(x)>0,可得0<x<e,由/")<0,可得X>e,則/。)在(0,e)遞增，在(e,+8)遞

減.

(2)因?yàn)橛?gt;、2，若必用2?0,+8),由/(?)-/(占)>嘰：-加尺，

即有/(再)一的；>/(4)一機(jī)《恒成立，設(shè)g(x)=/(x)nix2,

所以g(x)=/(x)-陽(yáng)2在(0,+8)為增函數(shù),即有g(shù)<x)=]-lnx-2mA。對(duì)x>0恒成立,

可得2加4匕譬在/>0恒成立，由〃(司=上譬的導(dǎo)數(shù)為“卜)=哼2,

當(dāng)"G)=0,可得x=e?,力。)在(Od)遞減，在遞增，

即有砧）在…處取得極小值，且為最小值/可得22去解得…止

則實(shí)數(shù)〃7的取值范圍是一*5?

17、（本小題滿分15分）已知橢圓C：馬+『l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，F(xiàn)”兩

ab

焦點(diǎn)E瑪與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形點(diǎn)P（正2）在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（2）過(guò)點(diǎn)四且斜率不為0的直線/與橢圓C交于43兩點(diǎn)，與直線x=-3交于點(diǎn)。.

設(shè)力。=4/石，證明：4+4為定值.

【答案】⑴《+2

43

2）證明見解析

26,

7+^=,

"-2

【詳解】（1）由題意得:a=2c解得

b=\/3

222

a=b+c

，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是-4-^=1.

43

（2）由（1）知耳由條件可知/的斜率存在且不為0,

設(shè)/的方程為x=〃"—1,則mwO,令x=-3可得

?:;；）12=0,得（3療+4）/-6叩-9=0,A>0,

聯(lián)立方程

設(shè)場(chǎng),凹）,8（再,必

3m2+43M+4

—2

由力。=乙巧可得（-3-------目）=4（一1”一乂）,

m

則有一，乂二一4%，解得4=1+需同理4="^^

=2+1^^、2.6m3m2+4.

...4+4=2+—=2+（-；——x--------）

m加、M必w3m2+4-9

.222

=2+—x§.故4+&為定值,.

nt

⑶(本小題滿分15分)如圖，在三楂錐尸-/BC中，AB1BC,AB-2,8c=2"，

PB=PC=6BP,4P,BC的中點(diǎn)分別為。，￡0,AD=y/5D0>點(diǎn)F在4C上，BF1A0.

(1)證明：E尸〃平面400;

(2)證明：平面平面BEE

(3)求二面角P-8C—力的大小.

【詳解】(1)連接。旦。尸，設(shè)為FRC,則而=或+萬(wàn)=(一廊+南己而=-而+g而,

■,■?■I1?2I

BF1AO,則8/?力0=[(1-/)BJ-tBC](-BA+^BC)=(t-\)BA+-tBC2=4(/-1)+4/=0,

解得z=g,則F為/C的中點(diǎn)，由O,￡O,F分別為尸民尸48C,4C的中點(diǎn)，

于是DE//AB.DE=LAB.OF//AB,OF=；AB,即。E〃OF、Q￡=OF,則四邊形00￡尸為

平行四邊形，EF/IDO,EF=DO,又EF0平面彳。0,。。u平面力。。，所以EF〃平面

ADO

(2)由(1)可知EF//OD,則力0=#,。0=手，得力。=限)。=叵，因此

OD2+AO2=AD2=y,則OQJ,4。，有E/J.4。，又力尸=/，BF,EFu

平面BE/,則有月。_1平面8環(huán)，又40u平面月O。，所以平面力。。1平面8EE

(3)\PAB+,可以解得"二J14,記二面角尸一8。一力的平面角為。

因?yàn)榱Α?力8+80+00，

222

所以而2=(前+而+而『=JB+B3+5P+2^BB3+2B3-5P+2JB-5P

因?yàn)閆B=2,BO=N/2,尸。=2,PA=

V142=22+V22+22+2.2.2-COS(^-^)?解得COS"-]

所以二面角尸一8。一力的大小為爭(zhēng).

19.（木小題滿分17分）某種植物感染病毒y極易死亡，當(dāng)?shù)厣镅芯克鶠榇搜邪l(fā)出了一種

抗病毒7的制劑.現(xiàn)對(duì)20株感染了病毒7的該植株樣本進(jìn)行噴霧試驗(yàn)測(cè)試藥效.測(cè)試結(jié)果

分“植株死亡”和“植株存活”兩個(gè)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并對(duì)植株吸收制劑的量（單位：亳克）

進(jìn)行統(tǒng)計(jì).規(guī)定植株吸收在6亳克及以上為“足量”，否則為“不足量”.現(xiàn)對(duì)該20株植株

樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中“植株存活”的13株，對(duì)制劑吸收量統(tǒng)計(jì)得下表.已知“植株存活”

但“制劑吸收不足量”的植株共1株.

編號(hào)2345678910

吸收量（亳克）6833956627

編號(hào)11121314151617181920

§

吸收量（亳克）7510788469

（1）補(bǔ)全列聯(lián)表中的空缺部分，依據(jù)。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“植株的存活”與“制

劑吸收足量”有關(guān)？

吸收足量吸收不足量合計(jì)

植株存活

植株死亡

合計(jì)20

（2）現(xiàn)假設(shè)該植物感染病毒產(chǎn)后的存活日數(shù)為隨機(jī)變量X（X可取任意正整數(shù)）.研究人員

統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的AwN.,存活日數(shù)為（％+1）的樣本在存活日數(shù)超過(guò)A的樣

本里的數(shù)量占比與存活日數(shù)為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于0.1,這種現(xiàn)

象被稱為''幾何分布的無(wú)記憶性”試推導(dǎo)P（X=Q（AcN）的表達(dá)式，并求該植物感染病

毒/后存活日數(shù)的期望E(X)的值.

2

a,2n(ad-be)

附：Z=