河北省廊坊市六校聯(lián)考2024屆高考全國統(tǒng)考預測卷數(shù)學試卷含解析

河北省廊坊市六校聯(lián)考2024屆高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.命題0：存在實數(shù)％,對任意實數(shù)X,使得sin(尤+后)=一sinx恒成立；q：/(x)=In——^為奇函數(shù),

a-x

則下列命題是真命題的是()

A.P^qB.(可)v(->q)C.p八(~>q)D.(-<p)Aq

2.1777年，法國科學家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客

人發(fā)許多等質(zhì)量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計，

發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針

落地后與直線相交的概率約為()

1321

A.----B.一C.—D.一

27r717171

3.若直線2x+y+m=0與圓/+2工+/-2丁—3=0相交所得弦長為2石，則加=()

A.1B.2C.75D.3

4.設過點P(%,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,3兩點，點。與點p關(guān)于y軸對稱，。為坐標

原點,若BP=2PA，且OQ-AB=1，則點尸的軌跡方程是()

3cc3c

A.—x2+3y2=l(x>0,y>0)B.—x2-3y2=l(x>0,y>0)

33

C.3x2--/=l(x>0,y>0)D.3%2+-y2=l(^>0,y>0)

5.已知復數(shù)ZI=cos23+zsin23和復數(shù)Z2=cos37+zsin37,貝！|21?Z2為

一顯iB,3+LC.3D.Si

22222222

6.已知向量。與a+b的夾角為60°,,=1,欠=石，則。力=()

J3少33

A.------B.0C.0或---D.-----

222

7.已知角〃的終邊經(jīng)過點。（-4冽,3加）（mw。），則2sina+cosa的值是（）

2222

A.1或一1B.二或一二C.1或一1D.T或二

8.函數(shù)〃%）=（%2一4%+1）"的大致圖象是（）

22

9.雙曲線C：土-匕=1（m>0）,左焦點到漸近線的距離為2,則雙曲線C的漸近線方程為（)

5m

A.2x±5y=0B.2》±島=0C.氐±2y=0D.氐±y=0

22

10.已知橢圓。：=+當=1的短軸長為2,焦距為2后耳、鳥分別是橢圓的左、右焦點，若點P為C上的任意一

CTb2

11

點,則布后+限7的取值范圍為（）

A.[1,2]B.C.[后,4]D.[1,4]

11.等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S,,,若％=3,$5=35,則數(shù)列｛4｝的公差為（)

A.-2B.2C.4D.7

x>l

12.已知實數(shù)x,y滿足x—yWO,則z=x2+>2的最大值等于()

x+2j-6<0

A.2B.2A/2C.4D.8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

412

13.在ABC中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別是a,b,c,^cosB=-,cosC=—,b=l,則。=.

14.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，q=2,且24%，3%成等差數(shù)列，貝！]a“=.

15.已知向量a=（l,m）,Z?=（2,l）,且a_1/?,貝!]

16.若函數(shù)/(乃=必+矣u為奇函數(shù)，則。=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/■(力=力"-1/一羽。€氏"2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若a=—e,討論了(%)的單調(diào)性；

(2)若/(九)有兩個極值點占,甚，求。的取值范圍，并證明:看々>/+%.

ax2+x+l

18.（12分）已知函數(shù)/（%）=------------1?

ex

(1)證明：當％>0時，/>?；

(2)若函數(shù)/(九)只有一個零點，求正實數(shù)。的值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=犬-mx+21nx+4.

(1)當加=5時，求/'(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)設直線/是曲線y=/(x)的切線，若/的斜率存在最小值-2,求心的值，并求取得最小斜率時切線/的方程.

(3)已知/Xx)分別在國，%處取得極值，求證：/(^)+/(%2)<2,

20.（12分）如圖，在等腰梯形ABC。中，AO〃BC,AD^AB=CD=2,BC=4,M,N,Q分別為BC,CD,

AC的中點，以AC為折痕將_ACE>折起，使點。到達點尸位置(Pe平面ABC).

(1)若〃為直線QN上任意一點，證明：〃平面A5P；

1T

(2)若直線與直線所成角為一，求二面角A-PC-5的余弦值.

4

21.(12分)已知數(shù)歹U{a〃}滿足囚=1,a〃+i=11+eN*.

(I)證明：當"22時，an>2(neN*)；

111cl

(II)證明：4+1=77%生+-(+2_R“eN*);

1-22-3幾+1)2

(Ill)證明：/<IIG-1,e為自然常數(shù).

22.(10分)設橢圓C：二+《=1(?！怠！?)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)],下頂點為A，橢圓C的離心率是且,

ab2

"4月的面積是

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)直線/與橢圓C交于3,。兩點(異于A點)，若直線A3與直線4。的斜率之和為1,證明：直線/恒過定點,

并求出該定點的坐標.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

分別判斷命題。和q的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項.

【詳解】

對于命題"，由于sin(x+?)=-sinx,所以命題”為真命題.對于命題1,由于。>0,由"*>0解得-a<x<a,

且〃—%)=111匕=111[9]--In---/(x),所以/(%)是奇函數(shù)，故4為真命題.所以。人4為真命題.

a+xa-x

(r?)v(-)a)、。A(「<?)、(「°)Aq都是假命題.

故選:A

【點睛】

本小題主要考查誘導公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計概率.

【詳解】

704?1

2212

故選:D.

【點睛】

本題以數(shù)學文化為背景，考查利用頻率估計概率，屬于基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

將圓的方程化簡成標準方程，再根據(jù)垂徑定理求解即可.

【詳解】

圓f+2x+/一2y—3=0的標準方程(x+1)?+(y—I)?=5，圓心坐標為(一1,1),半徑為亞，因為直線2x+y+m=Q

與圓好+2工+/一2丁—3=0相交所得弦長為2石,所以直線2%+丁+m=0過圓心,得2><(-1)+1+〃?=0,即m=1.

故選：A

【點睛】

本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

設A,3坐標，根據(jù)向量坐標運算表示出BP=2PA，從而可利用MV表示出。力；由坐標運算表示出AB=1,代

入a,b整理可得所求的軌跡方程.

【詳解】

設A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0

(1、z、\x=2(a-x\=—>0

BP=2PA.,Ax,y-b)=2(a-x,-y)9gp^'/2

b-b=-2y[b=3y>0

RQ關(guān)于y軸對稱.-.2(-x,y)

3

OQ-AB=(-x,-(-a,Z>)=ax+by=l-%2+3y2=l(x>0,y>0)

故選：A

【點睛】

本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數(shù)量積運算；關(guān)鍵是利用動點坐標表示出變量，根據(jù)平

面向量數(shù)量積的坐標運算可整理得軌跡方程.

5、C

【解析】

利用復數(shù)的三角形式的乘法運算法則即可得出.

【詳解】

ziZ2=(cos230+isin23°)?(cos370+/sin37°)=cos60°+isin60°=—+烏

"22

故答案為C.

【點睛】

熟練掌握復數(shù)的三角形式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵，復數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數(shù)的對應關(guān)系,

點的象限和復數(shù)的對應關(guān)系，復數(shù)的加減乘除運算，復數(shù)的模長的計算.

6、B

【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量。與的夾角為60°,再由5=卜「，/T,代入表達式中即可求出心。.

【詳解】

由向量。與4+6的夾角為60°,

得a.(.+/?)=a?+a-/?=|4z||a+Z?|cos60°,

所以+4/=；忖,(a+匕)=^-1a|sja'+2a-b+b~,

又M=1,W=VJ,a=|a|2,b=|『，

所以l+a?=\xlxJ1+2a0+3,解得。力=0.

故選：B

【點睛】

本題主要考查向量數(shù)量積的運算和向量的模長平方等于向量的平方，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得sina,cosfl后可得結(jié)論.

【詳解】

由題意得點尸與原點間的距離r=J(—4/n)2+(3.)2=5|m|.

①當zn>0時，r=5m,

.3m3—4m4

?**sin。————,cos。-----——

5m55m5

342

；?2sin。+cosa=2x------

555

②當加<0時，r——5m9

.3m3—4m4

/?sin^z------=—,cos。------——

—5m5—5m5

342

，2sina+cosa=2xH——-----

55

22

綜上可得2sina+cosa的值是不或-1.

故選B.

【點睛】

利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x,縱坐標y,

該點到原點的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.

8、A

【解析】

用0排除B,C；用x=2排除。；可得正確答案.

【詳解】

解：當了＜0時,%2—4-x+1>0,s'>0?

所以〃力＞0,故可排除3,C；

當％=2時，/（2）=-3e2＜0,故可排除D

故選：A.

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程標X-6y=0,再利用左焦點到漸近線的距離為2,列方程即可求出機，進而求

出漸近線的方程.

【詳解】

設左焦點為（-G。），一條漸近線的方程為J贏-J?y=O,由左焦點到漸近線的距離為2,可得?也1=詬=2,

2x「

所以漸近線方程為y=±7彳，即為2x土百y=0,

故選：B

【點睛】

本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點到直線的距離公式，屬于中檔題.

10、D

【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到歸用+|桃|=4,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求以助氏乃歸4,從而可得

11

西+西的取值范圍.

【詳解】

lr2

由題設有b=l,c=G，故a=2,故橢圓C:—+y2=i,

4'

因為點P為C上的任意一點，故怛制+怛囚=4.

1_____1團+=閭=4_4

又西+西=阿阿=河西一西阡W'

因為2—6制<2+6,故娟（4-|P&K4,

,11,

所以1<1--------\+1-------r—4

所以戶耳|\PF2\-

故選：D.

【點睛】

22

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓。：彳+2=1（?！怠！?）的左、右焦點分別是耳、F2,點p為C上的

任意一點，則有制+怛閭=2。，我們常用這個性質(zhì)來考慮與焦點三角形有關(guān)的問題，本題屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標和的性質(zhì)求得生，再由等差數(shù)列通項公式求得公差.

【詳解】

在等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為s“，則S5==5/=35n4=7

貝!|4=q+2d=3+2d=7=>d=2

故選：B

【點睛】

本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

畫出可行域，計算出原點到可行域上的點的最大距離，由此求得z的最大值.

【詳解】

畫出可行域如下圖所示，其中A，,￡|,C（2,2）,由于［0川=，2+［：=g,Qq=2夜,所以

所以原點到可行域上的點的最大距離為2亞.

所以z的最大值為（20）2=8.

本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

56

【解析】

先求得sinB,sinC的值，由此求得sinA的值，再利用正弦定理求得?的值.

【詳解】

由于COSB=±COSC=L,所以sin5=-cos?3=，,sinC=Jl-cos2c=2,所以

513513

2A〈＜久

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=—x1——x—=——.由正弦定理得

51351365

56

a_b_b?sinA_65_56

sinA-sinB-sinB-。-39

5

故答案為：—

39

【點睛】

本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內(nèi)角和

定理，屬于中檔題.

14、2"

【解析】

利用等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式得到關(guān)于q的方程，解方程求出q代入等比數(shù)列通項公式即可.

【詳解】

因為2%%，3%成等差數(shù)列,

所以2a3=2%+3%，

由等比數(shù)列通項公式得，

%==2q',a2=a]q=2q,

所以2x2/=2x2+6q,

解得q=2或q=-3，

因為〉0,所以q=2,

所以等比數(shù)列｛4｝的通項公式為

%=弓產(chǎn)=2X2”T=2".

故答案為：2"

【點睛】

本題考查等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式；考查運算求解能力和知識綜合運用能力；熟練掌握等差中項和等比數(shù)

列通項公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.

15、-2

【解析】

根據(jù)垂直向量的坐標表示可得出關(guān)于實數(shù)的等式，即可求得實數(shù)機的值.

【詳解】

fl=(l,m),人=(2,1)且”_L6，則a-b=2+加=0，解得力=一2.

故答案為：—2.

【點睛】

本題考查利用向量垂直求參數(shù)，涉及垂直向量的坐標表示，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、-2

【解析】

由f。)是定義在R上的奇函數(shù),可知對任意的x,/(-%)=-/(%)都成立，代入函數(shù)式可求得a的值.

【詳解】

由題意,f(x)的定義域為R,/(%)=%2+-^―=x2(l+-^-1

2+1I2+1J

是奇函數(shù)，則/(-%)=-/(%)，即對任意的x,(―x)211+5看，-x2+WJ］都成立，

a(a\

ttl+—=-1+^7，整理得。+2=0,解得a=-2.

2+1I2+1J

故答案為：-2.

【點睛】

本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)減區(qū)間是［o,J),增區(qū)間是',+<!；(2)證明見解析.

【解析】

(1)當。=一e時，求得函數(shù)/(%)的導函數(shù)/'(尤)以及二階導函數(shù)/'⑺，由此求得了(%)的單調(diào)區(qū)間.

1nYInv

(2)令f(x)=0求得a=——，構(gòu)造函數(shù)g(x)=——，利用導數(shù)求得g(x)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，結(jié)合/(%)

XX

ln&+%)Jn/_。_如(石々)證得

有兩個極值點，求得。的取值范圍.將為,々代入/'(》)=加?依列方程組，由

%+x?x2石+%

XxX2>%1+%2.

【詳解】

(1)f\x)=lnx-ax=lnx+ex,

--f'-0,

X/"(x)=-+e>0,所以,(x)在(0,+電)單增,

從而當工￡0,：

時,/。)<0,/(同遞減,

當時，〃尤)遞增.

]nY

(2)/'(%)=/加一雙,令/(％)=0=>〃=--

JC

令g(x)=g，則g'(x)=1-lnx

Xx2

故g(x)在(O,e)遞增，在(e,+8)遞減,

所以g(x)mx=g(e)=f注意到當X>1時g(x)>0.

所以當。<0時，/(%)有一個極值點,

當0<a<,時，/(九)有兩個極值點,

e

當a24時,/(九)沒有極值點,

e

綜上

因為為,X?是/(%)的兩個極值點,

In玉一町=0In%=axx

所以=><

Inx2-ax2=0In%2=以2

不妨設%v9，得1<玉<e<x?9

因為g(x)在(e,+oo)遞減,且再+々＞々，

所以如(芯+%2)＜生玉ln(x+羽)

=>————"~<a

%+%2%%+%2

又1nxi+ln%2=〃(再+%2)

玉

ln(x+x9)ln(x,x9)

所以----------<--------=>玉%>玉+%

%+%2%+%2

【點睛】

本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，考查利用導數(shù)證明不等式，考查化

歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于難題.

18、(1)證明見解析；(2)

2

【解析】

⑴把二八9轉(zhuǎn)化成"glnx，令g(x)=x-glnx,由題意得，即證明g(%)而U＞0恒成立，通過導數(shù)求證即可

(2)直接求導可得，，“、"Car，令/(%)=0,得x=2——或x=0,故根據(jù)0與2+—的大小關(guān)

J(x)=----------；---------aa

系來進行分類討論即可

【詳解】

<<。<

證明：(1)令g(九)二九——Inx,貝!)g'(犬)=1-----=———?

22%2%

分析知，函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(1,+co),減區(qū)間為［,|

^r^^xe(O,+co)0vr,g(x)mm=g^=|-|ln|=|^l-ln|J|^l-ln|^>0

所以x>0nx,即Qin-，

所以p%、r2?

所以當X>0時，揖、1.

解：(2)因為/(》)=竺±±1—1,所以—以2+(2。一1.一a

e',⑺-一

討論：

i/(尤2、

①當。=時，/'(%)=---—<0,此時函數(shù)/(x)在區(qū)間(-*口)上單調(diào)遞減.

又/(0)=0,

故此時函數(shù)/(x)僅有一個零點為0；

②當0<a<!時，令/''(x)>。，得2a_l<x<0,故函數(shù)/(%)的增區(qū)間為［9」,o］,減區(qū)間為Jo,2")

2a\a)\a)

(0,+8).

又極大值/(0)=0,所以極小值

當x<一工時，有0<《<1.

a

又ax?+x+l>改N+%>o，此時/(x)>。，

故當0<。<：時，函數(shù)/(X)還有一個零點，不符合題意；

③當a〉工時，令/'(X)>0得0<_￥<幺」，故函數(shù)/(%)的增區(qū)間為［0,牝」］,減區(qū)間為(一00,0),\2a\+00

2a\ciJ\a

又極小值/(0)=0,所以極大值/［號口］>0.

若x>2,則(a+1)￡—(內(nèi)^+x+1)=*—1—1,得++%+］,

所以/(X)="+1+1—1

ex

(a+l)x2

<--------1

ex

(a+l)x2-ex

ex

5

<(〃+l)%2-x2

x~[(a+1)-

一

所以當x>2且無〉(a+l)2時，/(x)<0,故此時函數(shù)/(x)還有一個零點，不符合題意.

綜上，所求實數(shù)。的值為1.

【點睛】

本題考查不等式的恒成立問題和函數(shù)的零點問題，本題的難點在于把導數(shù)化成因式分解的形式，如

(2a-1)

，八一"廠―一1廠，進而分類討論，本題屬于難題

f(%)=-------;-----

e

19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(2,a)；單調(diào)遞減區(qū)間為1;,2,(2)m=6,2x+y—1=0；(3)證明見解析.

【解析】

(1)由/'(x)的正負可確定/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)利用基本不等式可求得％=1時，/'(%)取得最小值4-m，由導數(shù)的幾何意義可知4-加=-2,從而求得加，

求得切點坐標(1,7(1))后，可得到切線方程；

(3)由極值點的定義可知外,9是2/—〃忒+2=0的兩個不等正根，由判別式大于零得到機的取值范圍，同時得到

2

韋達定理的形式；化簡/(內(nèi))+/(9)為-?+6,結(jié)合加的范圍可證得結(jié)論.

【詳解】

(1)由題意得：/(九)的定義域為(0,+。)，

當m=5時，/(x)=x2-5x+21nx+4,

<22X2-5X+2a")—),

f(x)=2x-5+-=----------=-------------

xxx

二當了4°[]和(2，+8)時，/'(X)>0；當xe'：]時，/'(x)<0,

.?./(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+s)；單調(diào)遞減區(qū)間為

7/?2

(2)x>0,所以，/'(x)=2XH---m>2j2x-----m=4-m(當且僅當2%=—，即x=l時取等號)，

XyJCX

切線/的斜率存在最小值-2,二4-m=—2,解得：7九=6,

.-./(1)=1-6+4=-1,即切點為(1,—1),

從而切線方程/：y+l=-2(%—1),即：2x+y-l=0.

2x2mX+2

(3)f(x)=2x+--m=~,

XX

/(x)分別在再，9(%wW)處取得極值，

.?/，W&)是方程2廠—"a+2=0,即2爐—如+2=0的兩個不等正根.

m

A=m2—16>0>解得：m2>16>且石+%2=］〉0，xix2~■

2

；?/(%)+/(x2)=Af+xf-m(jq+A2)+8+21n(xlx2)=(^+x2)-2xtx2-+x2)+8+21n)

=f—-2X1-/71X—+8+21nl=--+6,

⑴24

加2

m2>16，-----F6<2,

4

即不等式/(西)+/(%)<2成立.

【點睛】

本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導數(shù)幾何意義的應用、利用導數(shù)證明不等

式等知識；本題中證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過極值點的定義將問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉畏匠谈姆植紗栴}.

20、(1)見解析(2)巨

7

【解析】

⑴根據(jù)中位線證明平面"NQ平面R43,即可證明MH〃平面A5P；(2)以QM,QC,QP為x,y,z軸建立

空間直角坐標系，找到點的坐標代入公式即可計算二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：連接QM,

'：M,N,Q分別為BC,CD,AC的中點,

...QMAB,

又：QM(Z平面IB,ABi平面

AQM,：平面ELB,

同理，QN〃平面R4B,

；QMu平面MAQ,QNu平面腦VQ,QMQN=Q,

二平面"NQ平面孔IB,

平面MNQ,

:.MH〃平面ABP.

(2)連接PQ,在ABC和ACD中，由余弦定理可得，

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC

AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC'

由NABC與/ADC互補，AD^AB^CD=2,BC=4,可解得4。=26，

于是5c2=AB2+AC2,

：.AB±AC,QMLAC,

TT

?：QMAB,直線AB與直線MN所成角為:，

4

TT

：.ZQMN=-,又QM=QN=1,

4

71

?\ZMQN=-,即QMLQN,

QAf，平面APC,

平面ABC_L平面APC,

?.?。為AC中點，PQ^AC,

.?.P。，平面ABC,

如圖所示，分別以QM,QC,QP為X,y,Z軸建立空間直角坐標系，則8(2,-百,0),C(0,V3,0),P(0,0,l),

PB=(2,-A-1)?PC=(0,V3,-l).

A

設平面PBC的法向量為〃=(x,yz),

2x-6y-z=0

nPB=O,即《

n-PC=O6y-z=0

令y=l,則％=指，z=5可得平面尸的一個法向量為〃=(g,l,6).

又平面APC的一個法向量為根=(1,0,0),

.m-nV21

??cos<m,n>=----------=------,

\m\-\n\7

二面角A—PC—6的余弦值為叵.

7

【點睛】

此題考查線面平行，建系通過坐標求二面角等知識點，屬于一般性題目.

21、(I)見解析(II)見解析(III)見解析

【解析】

(1)運用數(shù)學歸納法證明即可得到結(jié)果

(2)化簡aJ”+1+L運用累加法得出結(jié)果

n+1n+n2"

(3)運用放縮法和累加法進行求證

【詳解】

(I)數(shù)學歸納法證明，：：?時，八二3

①當"一：時，%=二4+!=」孑一成立；

②當壽一分時，假設422成立，則看—尢+1時

/+々+1,111j21o

+后72+產(chǎn)+百。尹>2

所以8=k+l時，”>2成立

綜上①②可知，"22時，人」】

,n+月+1111

Z⑺TTX由2KT%+-=a.+---------a.+—

2,忒力+D2”

得-=，a+之

?(?+1)2"

所以%-%=—4+-X；11

2i12氣?

111,1

-4=--7?0?+M

?(?+!)2

“111111

故一°】=---/+----%+-------+二.-74+—7，又％=1

1121232成〃+1)2122-1

1,如受

所以幺4|=tfi+----tfo+

*“12^2