高考數(shù)學(xué)專題 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)講學(xué)案理數(shù)(原卷)

【2016考綱解讀】1.三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象變換，周期及單調(diào)性是高考熱點(diǎn)．2.備考時(shí)應(yīng)掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象與性質(zhì)，并熟練掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、單調(diào)性、周期性等．【重點(diǎn)知識(shí)梳理】1．任意角和弧度制(1)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(2)把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．(3)弧長(zhǎng)公式：l＝|α|r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.2．任意角的三角函數(shù)(1)設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．誘導(dǎo)公式公式一sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα公式二sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα公式五sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα公式六sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限4.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα)(cosα≠0)．5．正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx定義域RR{x|x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)最小正周期2π2ππ單調(diào)性在[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞增．在[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞減在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上遞增．在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上遞減在(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上遞增最值當(dāng)x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時(shí)，y取得最大值1.當(dāng)x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時(shí)，y取得最小值－1當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，y取得最大值1.當(dāng)x＝π＋2kπ，k∈Z時(shí)，y取得最小值－1無最值對(duì)稱性對(duì)稱中心：(kπ，0)(k∈Z)．對(duì)稱軸：x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)對(duì)稱中心：(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)．對(duì)稱軸：x＝kπ(k∈Z)對(duì)稱中心：(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)6.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)、2π，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)連線可得．【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一三角函數(shù)的性質(zhì)例1、(1)(2015·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－ω，ω)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝ω對(duì)稱，則ω的值為________．(2)已知函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o(\s\up7(),\s\do5())))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(π,4))).①求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；②求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,2)))上的值域．【規(guī)律方法】求解三角函數(shù)性質(zhì)常用結(jié)論與技巧(1)運(yùn)用整體換元法求解單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱性：類比y＝sinx的性質(zhì)，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整體代入求解．①令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得對(duì)稱軸方程；②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；(3)周期性：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|)，注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝eq\f(π,|ω|).(4)最值(或值域)：求最值(或值域)時(shí)，一般要確定u＝ωx＋φ的范圍，然后結(jié)合函數(shù)y＝sinu或y＝cosu的性質(zhì)可得函數(shù)的最值(值域)．【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋α)在x＝eq\f(π,12)時(shí)有極大值，且f(x－β)為奇函數(shù)，則α，β的一組可能值依次為()A.eq\f(π,6)，－eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)，eq\f(π,12)C.eq\f(π,3)，－eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)，eq\f(π,6)考點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象例2、將函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的圖象向左平移φ(0<φ<π)個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,ω)(ω>0)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，已知函數(shù)y＝g(x)是周期為π的偶函數(shù)，則ω，φ的值分別為()A．4，eq\f(π,3)B．4，eq\f(2π,3)C．2，eq\f(π,3)D．2，eq\f(2π,3)【變式訓(xùn)練】函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的部分圖象如圖所示．(1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))上的最大值和最小值．考點(diǎn)三函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和性質(zhì)的綜合問題例3、函數(shù)f(x)＝cos(πx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示．(1)求φ及圖中x0的值；(2)設(shè)g(x)＝f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))，求函數(shù)g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))上的最大值和最小值．【規(guī)律方法】1．解y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和性質(zhì)的綜合問題的思路先正確運(yùn)用相應(yīng)的三角公式，通過準(zhǔn)確的三角恒等變換，將所給函數(shù)f(x)化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再確定與應(yīng)用其圖象和性質(zhì)．2．圖象與性質(zhì)的幾個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A>0，ω≠0)結(jié)合函數(shù)圖象可觀察出如下幾點(diǎn)：(1)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸都經(jīng)過函數(shù)的最值點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)都是函數(shù)的零點(diǎn)．(2)相鄰兩對(duì)稱軸(對(duì)稱中心)間的距離都是半個(gè)周期．(3)圖象上相鄰兩個(gè)最大(小)值點(diǎn)之間的距離恰好等于一個(gè)周期．3．指定閉區(qū)間上三角函數(shù)圖象的作法(1)確定關(guān)鍵點(diǎn)：區(qū)間端點(diǎn)、最高(低)點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．(2)建立直角坐標(biāo)系：標(biāo)出需要的單位．(3)描點(diǎn)繪圖：描出關(guān)鍵點(diǎn)，用平滑曲線連接．【變式訓(xùn)練】已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函數(shù)f(x)＝a·b，且y＝f(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\r(3)))和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求m，n的值；(2)將y＝f(x)的圖象向左平移φ(0＜φ＜π)個(gè)單位后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1，求y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．【經(jīng)典考題精析】【2015高考新課標(biāo)1，理2】=()（A）（B）（C）（D）【2015江蘇高考，8】已知，，則的值為_______.【2015高考福建，理19】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.(Ⅰ)求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程；(Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解．（1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2)證明：【2015高考山東，理16】設(shè).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對(duì)邊分別為,若,求面積的最大值.【2015高考重慶，理9】若，則（）A、1B、2C、3D、4【2015高考山東，理3】要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）（A）向左平移個(gè)單位

（B）向右平移個(gè)單位（C）向左平移個(gè)單位

（D）向右平移個(gè)單位【2015高考新課標(biāo)1，理8】函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為()(A)(B)(C)(D)1.【2014高考湖南卷第9題】已知函數(shù)且則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是()A.B.C.D.2.【2014高考江蘇卷第5題】已知函數(shù)與函數(shù)，它們的圖像有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則的值是.3.【2014遼寧高考理第9題】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．在區(qū)間上單調(diào)遞增4.【2014四川高考理第3題】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度5.【2014全國(guó)1高考理第6題】如圖，圖O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)，則的圖像大致為（）6.【2014高考北卷理第14題】設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）.若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為.7.【2014高考安徽卷理第11題】若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值是________.8.【2014浙江高考理第4題】為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（）向右平移個(gè)單位B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位D.向左平移個(gè)單位9.【2014陜西高考理第2題】函數(shù)的最小正周期是（）10.【2014大綱高考理第16題】若函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，則的取值范圍是.11.【2014高考江西理第16題】已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值與最小值；（2）若，求的值.12.(2014·福建卷)已知函數(shù)f(x)＝2cosx(sin