微專題02 平面向量的基本定理（四大題型）（解析版）

微專題02平面向量的基本定理【題型歸納目錄】題型一：平面向量基本定理的理解題型二：利用基底表示向量題型三：平面向量坐標(biāo)化題型四：等和線【典型例題】題型一：平面向量基本定理的理解【例1】（2024·高一課時練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個向量不可以作為基底；對于B：因?yàn)?，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；對于C：設(shè)，即，則，所以無解，所以此兩個向量不共線，可以作為一組基底；對于D：設(shè)，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；故選：C.【變式1-1】（2024·江蘇蘇州·高一江蘇省震澤中學(xué)期中）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【解析】對于A，因?yàn)椋院凸簿€，則這組向量不能作為平面內(nèi)的一組基底，故A正確；對于B，假設(shè)和共線，則，故，所以共線，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，則和能作為平面內(nèi)的一組基底，故B錯誤；對于C，假設(shè)和共線，則，即，由于與不能同時為，所以共線，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，則和能作為平面內(nèi)的一組基底，故C錯誤；對于D，假設(shè)和共線，則，即，由于與不能同時為，所以共線，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，則和能作為平面內(nèi)的一組基底，故D錯誤.故選：A.【變式1-2】（2024·高一課時練習(xí)）如果是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【解析】由為不共線向量，可知與，與，與必不共線，都可作為平面向量的基底，而，故與共線，不能作為該平面所有向量的基底.故選:D.題型二：利用基底表示向量【例2】（2024·河南洛陽·高一河南省偃師高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)分的比為與相交于，設(shè)，則向量（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意三點(diǎn)共線，所以存在，使得，同理三點(diǎn)共線，所以存在，使得，由平面向量基本定理可得，解得，所以.故選：C.【變式2-1】（2024·天津·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在平行四邊形中，點(diǎn)為對角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示：因?yàn)?，則，所以，，，所以，，因此，，故選：D.【變式2-2】（2024·高一課時練習(xí)）已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋【答案】B【解析】分別為的邊上的中線,則,,由于，，所以,故解得故選：B【變式2-3】（2024·重慶萬州·高一萬州外國語學(xué)校天子湖校區(qū)?？计谥校┤鐖D，在中，，，和相交于點(diǎn)，則向量等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】過點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，已知，，，則和，則：且，即：且，所以，則：，所以，解得：，同理，和，則：且，即：且，所以，則：，即，所以，即，得：，解得：，四邊形是平行四邊形，由向量加法法則，得，所以.故選：B.題型三：平面向量坐標(biāo)化【例3】（2024·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，DC的中點(diǎn)，BE與AF交于點(diǎn)G．則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得，所以，設(shè)，則，所以，所以，故選：A【變式3-1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）若是一組基底，向量，則稱為向量在基底下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在另一組基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，得；設(shè)，即,,,,，則，解得，故選：．【變式3-2】（2024·全國·高一專題練習(xí)）若向量，是一組基底，向量，則稱為向量在基底，下的坐標(biāo)．現(xiàn)已知向量在基底，下的坐標(biāo)為，則向量在另一組基底，下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知條件知,，即，設(shè)，則，所以，解得：，向量在基底，下的坐標(biāo)為：．故選：D．題型四：等和線【例4】（2024·山西太原·高三太原五中?？茧A段練習(xí)）如圖，腰長為4的等腰三角形中，，動圓的半徑，圓心在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，為圓上及其內(nèi)部的動點(diǎn)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)點(diǎn)取圓與交線上的點(diǎn)時，由平面向量基本定理可知：，故排除，.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)取圓與的交線上最靠近的點(diǎn)時，如圖所示：，，，，故排除故選：A【變式4-1】（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃┤鐖D，在邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，是圓上及內(nèi)部的動點(diǎn)，設(shè)向量（，為實(shí)數(shù)），則的最大值是（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】由，根據(jù)題設(shè)，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，如上圖知：當(dāng)圓心在上運(yùn)動時，有，此時共線，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故．故選：C【變式4-2】（2024·福建莆田·高一仙游一中階段練習(xí)）在平行四邊形中，，，，動點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上.若,則的最大值為(

)A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】由，，，得，所以∠ABD=∠CDB=90°，故圓C與BD相切于點(diǎn)D，如圖，又，所以.所以.△ABC中，由余弦定理可得：，，據(jù)此可得，當(dāng)與方向相同時，取得最大值：，所以的最大值是3.故選：D.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·高一課時練習(xí)）已知向量不共線，則下列各對向量可以作為平面內(nèi)的一組基底的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】D【解析】只要兩向量不共線便可作為基底，故對于A選項(xiàng)，，共線，不滿足；對于B選項(xiàng)，，共線，不滿足；對于C選項(xiàng)，共線，不滿足；對于D選項(xiàng)，與不共線，故滿足.故選：D.2．（2024·福建福州·高一校聯(lián)考期中）平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，即①，，，即②，由①②得，，故選：A．3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點(diǎn).設(shè)，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，，三點(diǎn)共線，可設(shè)，則，；三點(diǎn)共線，可設(shè)，則，；，解得：，，即.故選：B.4．（2024·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）已知中，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，則向量為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】中，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，則故選：D5．（2024·四川遂寧·高一統(tǒng)考期末）在對角線相等的平行四邊形中，，，為上一點(diǎn)，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題及圖形可知，，又，則.故選：C6．（2024·山東日照·高三階段練習(xí)）一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E、F兩點(diǎn)，且交其對角線于K，其中，,，則λ的值為()

A． B． C． D．【答案】A【解析】過點(diǎn)作交于，則是的中點(diǎn)，且，所以則的值為，故選：.7．（2024·河北衡水·校考一模）一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且交其對角線AC于點(diǎn)M，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由平行四邊形法則得以及題設(shè)條件化簡得，由E，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，得出2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即可求解的值.因?yàn)镋，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1即2λ－5μ＝1，.故選：A8．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是與軸、軸方向相同的單位向量，已知，，，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．1 C．3 D．2【答案】A【解析】根據(jù)題意，，，；，；與共線；；解得．故選：A．9．（2024·安徽安慶·高一統(tǒng)考期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，記向量，則等于

A．－ B．－＋C．－＋ D．＋【答案】B【解析】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，由題意，得∠ACD＝90°，CF＝BE＝FD＝，∴＝＋(－)＝－＋，故選B.10．（2024·山西·統(tǒng)考一模）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，BE與AC的交點(diǎn)為F，設(shè)，，則向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-【答案】C【解析】平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，BE與AC的交點(diǎn)為F，則有，如圖，所以＝＝(＋)＝＝-＋.故選：C11．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，.若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓的半徑為，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，由，得，所以，，解得，因此，.故選：B.二、多選題12．（2024·河南洛陽·高一欒川縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如果是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么選項(xiàng)中正確的是（

）A．可以表示平面內(nèi)的所有向量B．對于平面內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對有無窮多個C．兩向量共線，則有且只有一個實(shí)數(shù)，使得D．若存在實(shí)數(shù)使得，則【答案】AD【解析】由平面向量基本定理可知，AD是正確的．對于B，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的．對于C，當(dāng)時，不存在這樣的，故選A，D.故選：AD.13．（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列說法中正確的有（

）A．已知是平面內(nèi)兩個非零向量，對于實(shí)數(shù)，，一定在該平面內(nèi)B．已知，是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)，使，則C．已知是平面內(nèi)兩個非零向量，若實(shí)數(shù)，，，使，則，D．已知，是平面內(nèi)的一組基底，對平面內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)，有且只有一對【答案】ABD【解析】對于，是平面內(nèi)兩個非零向量，對于實(shí)數(shù)，，由向量運(yùn)算法則得一定在該平面內(nèi)，故正確；對于，，是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)，使，則由基底的定義得，故正確；對于，是平面內(nèi)兩個非零向量，若實(shí)數(shù)，，，使，則由向量相等的定義得，不一定成立，故錯誤；對于，已知，是平面內(nèi)的一組基底，對平面內(nèi)任一向量，由共面向量基本定理得使的實(shí)數(shù)，有且只有一對，故正確．故選：．14．（2024·高一課時練習(xí)）已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（

）A．若實(shí)數(shù)m，n使，則B．平面內(nèi)任意一個向量都可以表示成，其中m，n為實(shí)數(shù)C．對于m，，不一定在該平面內(nèi)D．對平面內(nèi)的某一個向量，存在兩對以上實(shí)數(shù)m，n，使【答案】AB【解析】根據(jù)基底的定義知AB正確；對于C，對于m，，在該平面內(nèi)，故C錯誤；對于D，m，n是唯一的，故D錯誤.故選:AB.15．（2024·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以A正確；對于B，因?yàn)?，而，代入可得，，所以B正確；對于C，因?yàn)?，而，代入得，，C正確；對于D，因?yàn)椋?，所以，所以D不正確；故選：ABC．16．（2024·山東威?！じ呷？计谥校┧倪呅沃?，，則下列表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A：，故A不正確；對于B：故B正確；對于C：，故C不正確，對于D：，故D正確；故選：BD17．（2024·江蘇蘇州·高一蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，“六芒星”是由兩個全等正三角形組成，中心重合于點(diǎn)且三組對邊分別平行，點(diǎn)，是“六芒星”（如圖2）的兩個頂點(diǎn)，動點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），若，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】如下圖所示，求的最大值，只需考慮下圖中以為起點(diǎn)，個頂點(diǎn)為終點(diǎn)向量即可，討論如下：當(dāng)，此時；當(dāng)，此時；當(dāng)，此時；當(dāng)，此時；當(dāng)，此時；當(dāng)，此時；所以的最大值為，根據(jù)其對稱性，可知的最小值為，則的取值范圍為，由選項(xiàng)判斷可知，選項(xiàng)BC正確，故選：BC.三、填空題18．（2024·河南·高一校聯(lián)考期中）已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則．【答案】【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，

記小正方形的邊長為1，則，，．因?yàn)椋?，解得．故答案為?19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若是一組基底，向量(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量在基底下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量在基底，下的坐標(biāo)為(－2，2)，則在另一組基底下的坐標(biāo)為．【答案】(0，2)【解析】先求出的坐標(biāo)，再設(shè)，即可建立方程組求出.因?yàn)樵诨紫碌淖鴺?biāo)為(－2，2)，即，令，所以，即，所以在基底下的坐標(biāo)為(0，2)．故答案為：(0，2).20．（2024·湖北荊州·高三階段練習(xí)）在平行四邊形中,點(diǎn)是的中點(diǎn),與相交于點(diǎn),若,則的值為；【答案】【解析】平行四邊形中考點(diǎn)：向量加減法點(diǎn)評：向量加法減法可利用三角形法則求加法，有向線段首尾相接，由最初的起點(diǎn)指向最后的中點(diǎn)，減法，起點(diǎn)放在一起連接中點(diǎn)，方向指向被減向量21．（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，P是圓Q上及其內(nèi)部的動點(diǎn)，設(shè)向量