微專(zhuān)題08 解三角形圖形類(lèi)問(wèn)題（六大題型）（解析版）

微專(zhuān)題08解三角形圖形類(lèi)問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：妙用兩次正弦定理題型二：兩角使用余弦定理題型三：張角定理與等面積法題型四：角平分線問(wèn)題題型五：中線問(wèn)題題型六：高問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】解決三角形圖形類(lèi)問(wèn)題的方法：方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.【典型例題】題型一：妙用兩次正弦定理【典例7-1】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.(1)求；(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.【解析】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，化?jiǎn)可得，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以?（2）因?yàn)?，則為銳角，所以，，因?yàn)?，所以，，所以，，設(shè)，則，在和中，由正弦定理得，，因?yàn)椋厦鎯蓚€(gè)等式相除可得，得，即，所以，.【典例7-2】（2024·廣東揭陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，求．【解析】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?；，，，則；（2），，；在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：；，即，【變式7-1】（2024·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，．(1)若，求周長(zhǎng)的最大值；(2)若，，求的值．【解析】（1）在中，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故周長(zhǎng)的最大值是．（2）設(shè)，則，．在中，，在中，．兩式相除得，，，因?yàn)?，，，故．題型二：兩角使用余弦定理【典例8-1】（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【解析】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)椋鐖D，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)椋裕韵蛄繛榛?，有．所以，即，又因?yàn)椋裕塾捎嘞叶ɡ淼?，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.【典例8-2】（2024·四川成都·高二成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，四邊形中，，．(1)求；(2)若，求．【解析】（1）中，設(shè)，則，解得，；（2）設(shè)，則設(shè)，，中，中，，，可得，化簡(jiǎn)得，即又，，即，解得【變式8-1】（2024·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并求解．問(wèn)題：如圖，在中，角所對(duì)的邊分別為是邊上一點(diǎn)，，，若_________，(1)求角A的值；(2)求的值．【解析】（1）選①：由題知；選②：，因?yàn)?，，所以；選③：由正弦定理邊化角可得：，同②可得.因?yàn)?，所以?）因?yàn)椋?，所以由解得所以所以記則，即因?yàn)椋运?，得所以因?yàn)?，所以，所以題型三：張角定理與等面積法【典例9-1】（2024·廣東·統(tǒng)考一模）已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求角的大?。?2)設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，是的角平分線，且，，求的面積.【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以（2）是的角平分線，，由可得因?yàn)?，，即有，，故【典?-2】（2024·貴州黔東南·凱里一中?？家荒＃┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)設(shè)點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，AD是△ABC的角平分線，且，，求△ABC的面積．【解析】（1）因?yàn)樗愿鶕?jù)正弦定理得：即由余弦定理得：故又所以．（2）因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，由，得：，所以故．【變式9-1】（2024·山西晉中·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)若，D為AC邊上的一點(diǎn)，，且______，求的面積．①BD是的平分線；②D為線段AC的中點(diǎn)．（從①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）．【解析】（1）由正弦定理知：又：代入上式可得：，則故有：又，則故的大小為：（2）若選①：由BD平分得：則有：，即在中，由余弦定理可得：又，則有：聯(lián)立可得：解得：（舍去）故若選②：可得：，，可得：在中，由余弦定理可得：，即聯(lián)立解得：故題型四：角平分線問(wèn)題【典例10-1】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解答下列問(wèn)題：(1)中，角所對(duì)的邊分別為若，判斷的形狀；(2)在中，角的平分線求的長(zhǎng).【解析】（1）因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，即，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以為等邊三角形；?）如圖所示：在中，由正弦定理可得：，即，解得，又因?yàn)?，所以，所以，所以，在中，，所以，由正弦定理可得，即，解?【典例10-2】（2024·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，在四邊形ABCD中，，，(1)求BC；(2)若BD為的平分線，試求BD．【解析】（1）由正弦定理得，∴＝∴.（2）由，可得，又，為的平分線，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，，由余弦定理得，即∴.【變式10-1】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知在中，M為BC上一點(diǎn)，，且．(1)若，求的值；(2)若AM為的平分線，且，求的面積．【解析】（1）因?yàn)椋?所以，因?yàn)?，所以由正弦定理知，即，因?yàn)椋裕?，在中，．?）由題意知，設(shè)，由余弦定理得，解得或．因?yàn)?，所以，因?yàn)锳M為的平分線，所以（h為底邊BC的高）所以，故，而由（1）知，所以．題型五：中線問(wèn)題【典例11-1】（2024·安徽·高一統(tǒng)考期末）已知在中，.(1)求邊的長(zhǎng)；(2)求邊上的中線的長(zhǎng).【解析】（1）由得：，正弦定理得：，即，解得：，由余弦定理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意，綜上：（2）因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以BD=2，在△BCD中，由余弦定理得：，所以.【典例11-2】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知中，為中線，，.(1)若，求邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)面積最大時(shí)，求的值.【解析】（1）在中，，，由正弦定理得：，則，；由余弦定理得：，；（2）為中點(diǎn)，；設(shè)，，由余弦定理得：，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，，，此時(shí)，，由正弦定理得：，.【變式11-1】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，若.（1）求角的大??；（2）若，求邊上的中線的最大值.【解析】（1），，又，；（2）在中，由余弦定理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），；又，在中，由余弦定理得：，，，即中線的最大值為.題型六：高問(wèn)題【典例12-1】（2024·四川廣安·高一四川省岳池中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，，的平分線交于，為邊上的高，則的面積為．【答案】/【解析】在中，由余弦定理得：，在三角形ABD中，由正弦定理得：，同理在三角形ACD中，由正弦定理可得：，因?yàn)?，又的平分線交于D，所以，，故，即，所以，而，又為邊上的高，所以，，從而，所以的面積為.故答案為：【典例12-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀┤鐖D，是邊上的高，若，則.【答案】【解析】由，設(shè)（），則，因?yàn)槭沁吷系母?，所以，，由余弦定理得，，因?yàn)?，所以，故答案為：【變?2-1】（2024·山西運(yùn)城·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）在△ABC中，AB=，AC=5，若BC邊上的高等于3，則BC邊的長(zhǎng)為.【答案】1或9【解析】當(dāng)BC邊上的高在的內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖.在中，；在中，；此時(shí)；當(dāng)BC邊上的高在的外部時(shí),過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖.在中，；在中，；此時(shí)故答案為：1或9【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）在中，若，且，邊上的高為，求角A，B，C的大小與邊a，b，c的長(zhǎng)．【解析】若，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，，且，解得或，?dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，因?yàn)檫吷系母邽?，所以，，，，所以，即，，，，，；?dāng)時(shí)，而可得，解得，因?yàn)椋?，此時(shí)，因?yàn)檫吷系母邽?，所以，，，，所?綜上所述，當(dāng)，，時(shí)，，，，當(dāng)，，時(shí)，，，．2．（2024·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，為的平分線，．

（1）求；（2）若,,求．【解析】(1)因?yàn)榈钠椒志€，令在中，，由正弦定理，得所以.(2)因?yàn)?，所以，又?得，，因?yàn)?，所以所?3．（2024·江蘇揚(yáng)州·高一江蘇省邗江中學(xué)?？计谀┮阎拿娣e為，且且（1）求角的大小；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，且，的平分線交于，求線段的長(zhǎng)度．【解析】（1）

又，即又

（2）如下圖所示：在中，為中線

由（1）知：

又

，由余弦定理可得：

又，又

4．（2024·福建廈門(mén)·高一福建省廈門(mén)第二中學(xué)?？计谀┰谥?，角所對(duì)的邊分別是，.（1）求角的大??；（2）是邊上的中線，若，，求的長(zhǎng).【解析】（1）在中，，由正弦定理得，∵，∴，∴，即，∵，∴.（2）在中，，，，∴，∴，∵是的中線，∴，在中，由余弦定理得.5．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)若，求邊上的中線的長(zhǎng)．【解析】（1）∵，∴，∴，∴，即，由正弦定理可得，∵，∴，又∵，∴，∴．∴.（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴.6．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，為邊上的中線，記.（1）求證：為直角三角形；（2）若，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，求的面積.【解析】（1）在中，正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，由已知，且，故，由，，所以.又，故，所以.故為直角三角形.（2）由已知，所以，，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）.故，，.7．（2024·遼寧·統(tǒng)考一模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且，，邊上的中線的長(zhǎng)為.（1）求角和角的大??；（2）求的面積．【解析】（1）由，可得，則，由余弦定理得，，.，即,即，，，，；（2）由（1）知，且，在中，由余弦定理得，.因此，的面積為.8．（2024·吉林通化·高一梅河口市第五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在，邊上的中線為3，且，．（1）求的值；（2）求邊的長(zhǎng)【解析】（1）因?yàn)?，所以．又，所以，所以．即?）在中，由得，解得．故，從而在中，由，得．9．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中?？茧A段練習(xí)）在，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，邊上的中線，求的面積.【解析】（1）在中，因?yàn)?，又已知，所以，因?yàn)?，所以，于?所以.（2）在中，由余弦定理得，得解得或，當(dāng)時(shí)，的面積，當(dāng)時(shí)，的面積.10．（2024·山西太原·高一山西大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，.(1)若求的面積；(2)若求【解析】（1）在中，由余弦定理得,即,解得，因?yàn)?，所?則的面積.（2）在梯形中，設(shè)，而，則，，，，在中，由正弦定理得,即，在中，由正弦定理得，即，兩式相除得，整理得，即，解得或，因?yàn)?，則，即.11．（2024·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求：【解析】（1）由題設(shè)，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得證.（2）由題意知：，，∴同理，∵，∴，整理得，由余弦定理知：綜上，.12．（2024·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)在邊上，且滿(mǎn)足．(1)若，證明：；(2)若，求．【解析】（1）在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以．在中，由正弦定理得，由題意得，所以．因?yàn)?，所以由正弦定理，得，所以?）方法一：因?yàn)?，所以由正弦定理得．在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得．因?yàn)?，所?/p>