河南省新野縣某中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

河南省新野縣一中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬

試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼

區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效;

在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.從甲、乙、丙三人中，任選兩名代表，甲被選中的概率為（)

1112

A.-B.-C.一D.-

2343

2.下列各角中，與126。角終邊相同的角是()

A.-126B.486C.-244D.574

3.計(jì)算34+325=()

A.2B.3C.4D.10

4.若機(jī)，〃是兩條不同的直線，a,是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是

()

A.若mu0,a_Lp,則B.若acy=〃?，Pcy=〃，加,則

a〃p

C.若機(jī)，,則apD.若a，兒a，p,則Ply

5.下列函數(shù)的最小值為2的是(

,1X2+5

A.y=ig^+--B.y~~]

IgxJx2+4

10cx<g

C.y=2x+2-xD.y=smx+—_

smx

6.若存在正實(shí)數(shù)b,使得a0。+。）=匕一。，貝1（）

A.實(shí)數(shù)。的最大值為J2+1B.實(shí)數(shù)。的最小值為。l+1

C.實(shí)數(shù)a的最大值為也'-1D.實(shí)數(shù)。的最小值為

7.若角。的終邊過點(diǎn)（1，-2）,則sin2a=（）

4224

A5B-5C5

8.在等差數(shù)列中，若則

A.100B.90C.95D.20

9.已知P,A,B,C是球O的球面上四點(diǎn)，PA，面ABC,PA=2BC=6,NBAC=9Oo,

則該球的半徑為（）

A.3事B.6邪C.3^/3D.

10.在AABC中，角A,5C所對的邊分別為a,b,c,若AABC的面積

S=yj\5cosB,a=2,c=1,則8=（）

335

A.—B.2C.--D?—■

242

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.已知直線x+ay+6=°與圓％2+尸=8交于A3兩點(diǎn)，若=則a=.

12.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)

AABC的三個(gè)內(nèi)角4、B、C所對的邊分別為a、b,c,面積為S,則“三斜公式”為

。+C2-Z?2Y2TC

5=1—a2c2-----------------------------.若〃2sinC=6sinA,B=一則用“三斜公式”

rii2門3

求得A48c的面積為.

13.在.ABC中，NC=90。，"是3c邊上一點(diǎn)，且滿足CM=2MB,若

sinZBAM=1,則sinABAC=.

5-------------

14.已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)

不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

15.已知數(shù)列M卜黃足氣=2,?=v^-j-,貝［a=_____；a=______.

n1乙Cl十12n

n

16.若｛。｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)4〉°,?+?>0,a-a<0,則使前〃項(xiàng)

n12006200720062007

和s最大的自然數(shù)〃是.

n

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.渦陽縣某華為手機(jī)專賣店對市民進(jìn)行華為手機(jī)認(rèn)可度的調(diào)查，在已購買華為手機(jī)的

1000名市民中，隨機(jī)抽取100名，按年齡（單位：歲）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻數(shù)分布表和頻率

分組（歲）頻數(shù)

[25,30)

5

[30,35)X

(35,40)

35

140,45)

y

[45,50]10

合計(jì)100

（1）求頻數(shù)分布表中x、y的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；

（2）在抽取的這100名市民中，從年齡在［25,30）、bo,35）內(nèi)的市民中用分層抽樣的

方法抽取5人參加華為手機(jī)宣傳活動(dòng)，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部華為手

機(jī)，求這2人中恰有1人的年齡在Lo,35）內(nèi)的概率.

18.2019年，我國施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大

病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、

青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人

調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.

(I)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？

(II)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為

AECREI淳受情況如下表，其中表示享受，“X”表示不享受.現(xiàn)從這6人中

隨機(jī)抽取2人接受采訪.

員工

ABCDEF

項(xiàng)目

子女教育OOXOXO

繼續(xù)教育XXOXOO

大病醫(yī)療XXXOXX

住房貸款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

贍養(yǎng)老人OOXXXO

(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；

(ii)設(shè)"為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同“，求事件"發(fā)生

的概率.

19,已知向量￡=(1,—D，M=且<￡+石)6=4,

(1)求向量。與B的夾角；

(2)求|2+可的值.

20.學(xué)生會(huì)有4、B、C、D、E、廠共6名同學(xué)，其中4名男生2名女生，現(xiàn)從中隨機(jī)選

出2名代表發(fā)言.求：

(1)A同學(xué)被選中的概率；

(2)至少有1名女同學(xué)被選中的概率.

21.AABC的內(nèi)角4、B、。的對邊分別為。、b、c,且

(5/Sc-2k>)cosA+j3acosC=0.

(I)求角A；

(II)若a=b,且3C邊上的中線AM的長為2』,求邊。的值.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1、D

【解題分析】

采用列舉法寫出總事件，再結(jié)合古典概型公式求解即可

【題目詳解】

2

被選出的情況具體有：甲乙、甲丙、乙丙，甲被選中有兩種，則P=g

故選：D

2、B

【解題分析】

寫出與126。的角終邊相同的角的集合，取k=l得答案.

【題目詳解】

解：與126。的角終邊相同的角的集合為｛a|a=126o+k?360。，keZ).

取k=l,可得a=486°.

...與126。的角終邊相同的角是486。.

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查終邊相同角的計(jì)算，是基礎(chǔ)題.

3、A

【解題分析】

根據(jù)對數(shù)運(yùn)算，即可求得答案.

【題目詳解】

?/lg4+lg25=lg4x25=lgl00=2

Ig4+lg25=2

故選:A.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了對數(shù)運(yùn)算,解題關(guān)鍵是掌握對數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)知識，考查了計(jì)算能力,屬于基

礎(chǔ)題.

4、C

【解題分析】

試題分析：兩個(gè)平面垂直，一個(gè)平面內(nèi)的直線不一定垂直于另一個(gè)平面，所以A不正

確；兩個(gè)相交平面內(nèi)的直線也可以平行，所以B不正確；垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平

面不一定垂直，也可能平行或相交，所以D不正確；根據(jù)面面垂直的判定定理知C正

確.

考點(diǎn)：空間直線、平面間的位置關(guān)系.

【題目詳解】

請?jiān)诖溯斎朐斀猓?/p>

5、C

【解題分析】

分析：利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤，注意“一正二定三相等”的使用法則.

詳解：A」gx<0時(shí)顯然不滿足條件；

X2+5

B.y=~i=Jx2+4+1-------?2+其最小值大于1.

-7x2+4yJX2+42

兀1

D.xe(0,—),.1.sinnxe(0,1),令szkx=/e(0,1),:.y=t+-=2,

因此不正確.

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查基本不等式，考查通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個(gè)命題不正確,

是一種簡單有效的方法.

6、C

【解題分析】

將題目所給方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于6的一元二次方程，根據(jù)此方程在匕〉0上有解列不等式組,

解不等式組求得。的取值范圍，進(jìn)而求出正確選項(xiàng).

【題目詳解】

由ab(a+b)=b—a得ab^+G2-l)b+a=0,當(dāng)a=0時(shí)，方程為一匕=0/=。不和

題意，故這是關(guān)于萬的一元二次方程，依題意可知，該方程在8〉0上有解，注意到

A=M2-1/-4^2>0

b「b,=l,所以由1〃21解得0<。<右一1,故實(shí)數(shù)。的最大值為

12U2—1Y

----->0

、2a

72-1,所以選C.

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查一元二次方程根的分布問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中

檔題.

7、D

【解題分析】

解法一：利用三角函數(shù)的定義求出sina、cosa的值，再利用二倍角公式可得出sin2a

的值；

解法二：利用三角函數(shù)的定義求出tana,再利用二倍角公式以及弦化切的思想求出

sin2a的值.

【題目詳解】

-22辨

解法一：由三角函數(shù)的定義可得smCt=]/、一

心+(一215

1J5

cosa=—=2—

#+(—245，

.CC."20x/54

sin2a=2sinacosa=2x-x2_=一一，故選D.

<5J55

-2°

解法二：由三角函數(shù)定義可得tana=7=-2,

2sinacosa

.--.2sinacosac(2tana

所以，sin2a=2sinacosa=------------=-----rns-2-----=--------

sirua+cos2asima+cos2atarua+l

cos2a

2x(-2)4

=(7-21>+15,k世4Dn

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三角函數(shù)的定義與二倍角公式，考查同角三角函數(shù)的定義，利用三角函數(shù)的定

義求值是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了同角三角函數(shù)基本思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

8、B

【解題分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，即下標(biāo)和相等對應(yīng)項(xiàng)的和相等，得到°2+as=卬+%=2a$=

【題目詳解】

數(shù)列為等差數(shù)列，，

【題目點(diǎn)撥】

考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等差中項(xiàng)，考查基本量法求數(shù)列問題.

9、D

【解題分析】

根據(jù)PA上面ABC,ZBAC=9Oo,得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為

棱長得到一個(gè)長方體，且長方體的各頂點(diǎn)都在該球上，長方體的對角線的長就是該球的

直徑，從而得到答案。

【題目詳解】

；PAJ_面ABC,ZBAC=9Oo

三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱24,AB,AC兩兩垂直，

??.可以以三條側(cè)棱Q4,AB,AC為棱長得到一個(gè)長方體，且長方體的各頂點(diǎn)都在該

球上，

長方體的對角線的長就是該球的直徑，

即2R=y]PA2+AB2+AC2=JPA2+BC2=736+9=375

則該球的半徑為尺=芷

2

故答案選D

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三棱錐外接球的半徑的求法，本題解題的關(guān)鍵是以三條側(cè)棱為棱長得到一個(gè)長

方體，三棱錐的外接球，即為該長方體的外接球，利用長方體外接球的直徑為長對角線

的長，屬于基礎(chǔ)題。

10、B

【解題分析】

利用面積公式及5=灰cos8可求tan3,再利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求

cos8,最后利用余弦定理可求b的值.

【題目詳解】

因?yàn)镾=1acsinB,故Ix2xlxsin5=cosB,

所以tanB=JI5〉0,因?yàn)?e（0,7i）,故Be0,；

由余弦定理可得Z?2=tz2+c2-2accosB=5-2x2xlx2=4,故b=2.

4

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

三角形中共有七個(gè)幾何量(三邊三角以及外接圓的半徑)，一般地，知道其中的三個(gè)量

(除三個(gè)角外)，可以求得其余的四個(gè)量.

(1)如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；

(2)如果知道兩邊即一邊所對的角，用正弦定理(也可以用余弦定理求第三條邊);

(3)如果知道兩角及一邊，用正弦定理.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11,土非

【解題分析】

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式與圓的垂徑定理求解.

【題目詳解】

圓歲+尸=8的圓心為(0,0),半徑為r=2#,

圓心(0,0)到直線x+ay+6=0的距離：d=——,

J1+42

由』得般備+2,

解得a=土木.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查直線與圓的應(yīng)用.此題也可聯(lián)立圓與直線方程，消元后用弦長公式求解.

373

12、

2

【解題分析】

,n2兀

先由〃2sinC=6sinA,根據(jù)余弦定理，求出。c=6,再由5二手，結(jié)合余弦定理,

求出42+02-。2=-改=一6,再由題意即可得出結(jié)果.

【題目詳解】

因?yàn)镼2sinC=6sinA,所以42c=6〃，因此〃c=6；

c2兀八Q2+C2-Z722兀1

又5二丁，由余弦定理可得cosB=——.....=cos=-

32ac32

所以Q2+C2—匕2=-ac=-6,

e1(Q2+C2—匕2丫H——3JJ

424

VIJV2

故答案為任

2

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于?？碱}型.

J15

13、'—

5

【解題分析】

記/BAM=0，則sin。=:,則可求出cos0，設(shè)=/，得

AB=>9+,AM="+",故結(jié)合余弦定理可得"-12"+36=0,解得t的值,即可求

48,進(jìn)而求sin/BAC的值.

【題目詳解】

根據(jù)題意,不妨設(shè)BC=3,NB4"=0，則sin?=/,

因=2皿，所以5M=1,MC=25

設(shè)C4=t，由NC=90。，得AB=19+這,AM=<4+r2,

又sin。=:，所以cos?=4/^,

35

故由余弦定理可得3M2=AB2+A〃2—2A5-AMcos。，

即1=9+驍+4+/2—2J9+/2.J4+/2

整理得："一12拉+36=0,即“2—6)2=0,所以驍=6,

所以AB^9+n=5/9+6^^/15,

3后

所以sinZR4C=y='―，

7155

故答案為：半.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,

屬于中檔題.

14、(0,1)

【解題分析】

畫出函數(shù)f(x)在以及直線y=k的圖象，數(shù)形結(jié)合可得k的取值范圍.

【題目詳解】

解：畫出函數(shù)y=cosx+2lcosxl=,

以及直線y=k的圖象，如圖所示；

由f(x)的圖象與直線y=k有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，可得0<k<l.

故答案為:(0,1).

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查利用分段函數(shù)及三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

22

5---------

'54n-3

【解題分析】

a

令”=1代入\+i=才口可求得名;方程兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造出等差數(shù)列，即可得答

案.

【題目詳解】

a2

令"T，則"2=以=亍

a12。+11八1J-=2

?二a-n-----n----=-——+2=>........—

*M+12a+1aaaaa，

nn+lnnn+ln

f1、11,1_4”一3

.二數(shù)列不為等差數(shù)列?.一=—+(“-1)?d=_+(“-1)?2=---------

"aa22

2

/.a=-——-

〃4九一3

22

故答案為:

5；4n-3

【題目點(diǎn)撥】

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推

理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造新等差數(shù)列的方法.

16、4012

【解題分析】

由已知條件推導(dǎo)出。＞0,a＜0,由此能求出使前〃項(xiàng)和S＞0成立的最大自然

20062007n

數(shù)"的值.

【題目詳解】

解：?.,等差數(shù)列{a},首項(xiàng)。＞°,a+a＞。，a-a＜。，

n12006200720062007

/.a>0,a<0.

20062007

如若不然,a<0<a,則d>0,

20062007

而。＞0,得〃=a+2005d＞0,矛盾，故不可能.

120061

(a+a)x4012(a+a)x4012

S=—14012---------------------=-2006---------2003---------------------->0

401222

(〃+〃)x4013

二.S=—J-------------------=4013〃<0

401322007

,使前〃項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)〃為

sn>04012.

故答案為：4012.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和取最大值時(shí)〃的值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題,

注意等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的合理運(yùn)用.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

x=202

17、（1）\②八，頻率分布直方圖見解析；（2）

y=305

【解題分析】

（1）根據(jù)分布直方圖計(jì)算出第二個(gè)矩形的面積，乘以10?？傻贸鰔的值，再由頻數(shù)之

和為io。得出y的值，利用頻數(shù)除以樣本容量得出第四個(gè)矩形的面積，并計(jì)算出第四個(gè)

矩形的高，于此可補(bǔ)全頻率分布直方圖；

（2）先計(jì)算出5人中年齡在L5,30）、[30,35）內(nèi)的市民人數(shù)分別為1、4,將年齡在

B

[25,30）的1位市民記為A1，年齡在bo,35）的4位市民記為色、4、e記事

件恰有1人的年齡在（30,35）內(nèi)，列舉出所有的基本事件，并確定事件"所包含的

基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可計(jì)算出事件M的概率.

【題目詳解】

5+x+35+y+10=100[x=20

（1）由頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖可知彳八八/<,解得J2八.

0.04x5x100=%[y=30

頻率分布直方圖中年齡在【40,45）內(nèi)的人數(shù)為30人，對應(yīng)的盤零為?=0.06,

(2)由頻數(shù)分布表知，在抽取的5人中，年齡在卜5,30)內(nèi)的市民的人數(shù)為5x^=1,

記為可，年齡在b0，35)內(nèi)的市民的人數(shù)為5x?=4,分別記為8B、BB

從這5人中任取2人的所有基本事件為：{A］，BJ、{A］,q}、{A「q}、{A］，/}、

{8,8}、{8,8}、{8,8}、{8,8}、{8,8}、{8,8},共10個(gè)基本事件.

121314232434

記“恰有1人的年齡在卜0,35)內(nèi)，，為事件"，則"所包含的基本事件有4個(gè)：

{A,B}、{A,B}、{A,B}、{A,B},

11121314

所以這2人中恰有1人的年齡在卜。,35)內(nèi)的概率為P(M)=A=|.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查頻率分布直方圖和頻率分布表的應(yīng)用，同時(shí)也考查了古典概型概率公式計(jì)算概

率，在列舉基本事件時(shí)要遵循不重不漏的基本原則，常用的是列舉法，也可以利用樹狀

圖來輔助理解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

18、(I)6人，9人,10人；

11

(II)(i)見解析；(ii)—.

【解題分析】

(I)根據(jù)題中所給的老、中、青員工人數(shù)，求得人數(shù)比，利用分層抽樣要求每個(gè)個(gè)體

被抽到的概率是相等的，結(jié)合樣本容量求得結(jié)果；

(ID(I)根據(jù)6人中隨機(jī)抽取2人，將所有的結(jié)果一一列出；

(ii)根據(jù)題意，找出滿足條件的基本事件，利用公式求得概率.

【題目詳解】

(I)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6:9:10,

由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工，

因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人.

(ID(i)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為

{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F}^{B,C},{B,D},{B,E},{B,F}9

{c,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,b}，共15種；

(ii)由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為

{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,E},{C,尸},

抽廠},{E,尸}，共11種，

所以，事件M發(fā)生的概率P（M）=F.

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型即其概

率計(jì)算公式等基本知識，考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力.

19、（I）60（II）《

【解題分析】

（I）利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡Qa+石）石=4,進(jìn)而求出向量。與B的

夾角；

（II）利用+￥=+,對其化簡，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果.

【題目詳解】

解：（I）由a=（1,—1）得卜|=

因代卜盧

6方+5)萬=2方?6+b2=2p||/?|

cos2=4cos(a,b\+2=4

.?.cos9,〃）=!，向量a與〃的夾角為