2023年安徽省合肥市廬陽區(qū)壽春中學中考數(shù)學一模試卷

2023年安徽省合肥市廬陽區(qū)壽春中學中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）

1.（4分）（2020?龍口市模擬）下列圖書館的標志中，是中心對稱圖形的是（）

A.

2.（4分）（2023?五華縣一模）將拋物線y=3/-2先向右平移3個單位長度，再向下平移

2個單位長度得到的新拋物線解析式為（）

A.y=3（x+3）2-4B.y=3（x-3）2

C.y=3（x-3）2-4D.y=3（x+3）2

3.（4分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）若雙曲線y=?的圖象的一支位于第三象限，則上的

取值范圍是（）

A.k<lB.k>\C.0<k<lD.

4.（4分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（3,1）,則

sina的值為（）

5.（4分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）制作一塊3機義2加長方形廣告牌的成本是120元，在每

平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴大為原來的3倍，那么擴大后

長方形廣告牌的成本是（）

A.360元B.1080元C.720元D.2160元

6.（4分）（2021?漢臺區(qū)一模）如圖，△ABC內(nèi)接于OO,8。是的直徑.若/DBC=

33°,則等于（）

7.（4分）（2022?梧州）如圖，OO是△ABC的外接圓，且AB=AC,ZBAC=36°,在油上

取點D（不與點A,8重合），連接AD,則NA4D+NABZ）的度數(shù)是（）

A.60°B.62°C.72°D.73°

Ak

8.（4分）（2022?包河區(qū)一模）如圖，點A在雙曲線尸“龍>0）上，點8在雙曲線產(chǎn)左（尤

>0）上，AB//xft,分別過點A、8向x軸作垂線，垂足分別為。、C,若矩形ABC。

9.（4分）（2018?定興縣二模）如圖，正六邊形螺帽的邊長是2cm,這個扳手的開口。的值

應是（）

2V3

A.25/3cmB.y[3cmC.-----cmD.\cm

3

10.（4分）（2021?蚌埠一模）如圖，半圓O的直徑AB長為4,C是弧AB的中點，連接CO、

CA、CB,點尸從A出發(fā)沿A-OfC運動至C停止，過點尸作尸ELAC于E,PFLBC

于尸?設點P運動的路程為無，則四邊形CEPF的面積y隨x變化的函數(shù)圖象大致為（）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）

11.（5分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知線段。=9,6=4,則線段a和b的比例中項為

12.（5分）（2015?貴港）如圖，已知圓錐的底面OO的直徑BC=6,高。4=4,則該圓錐

的側面展開圖的面積為

13.（5分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，AB,8c是以AC為直徑的。。的兩條弦，延長

AC至點D,使CD=BC,則當N￡>=15°時，AD與AB之間的數(shù)量關系為：AD

AB.

0D

A

B

14.（5分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，已知矩形O4BC中，點A（0,

3）,C（4,0）,點E、。分別是線段OC、AC上的動點，且四邊形OEFB也是矩形.

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

2

15.（8分）（2022?天寧區(qū)模擬）計算：2tan45°—.lno—2sin60°.

16.（8分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，A8為0O的直徑，弦于點E,若AB

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.（8分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）由于發(fā)生山體滑坡災害，武警救援隊火速趕往災區(qū)救

援，探測出某建筑物廢墟下方點C處有生命跡象.在廢墟一側地面上探測點42相距2

米，探測線與該地面的夾角分別是30°和60°（如圖所示），試確定生命所在點C的深

度.（參考數(shù)據(jù)：度-1.414,舊21.732,結果精確到0.1）

18.（8分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，在O。中，直徑為MN,正方形ABCD的四個

頂點分別在半徑OM、OP以及上，并且/尸OM=45°.

（1）若AB=2,求尸。的長度;

（2）若半徑是5,求正方形A3C。的邊長.

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）

19.（10分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，AABC

的頂點A在格點上，2是小正方形邊的中點，ZABC=50°,ZBAC=3Q°,經(jīng)過點A,

B的圓的圓心在邊AC上.

（1）線段的長等于

（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的圓上，畫出一個點￡>,使其滿足的度數(shù)小

于/ACB的度數(shù)，并說明理由;

（3）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出一個點P,使其滿足/必C=NP8C

NPCB,并簡要說明點尸的位置是如何找到的（不要求證明）

20.（10分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于對角線AC是。O

的直徑，CE與相切于點C,連接交AC于點P.

（1）求證：ZDCE=ZDBC；

（2）若CE=V5,AD=4,求tanZABD的值.

21.（12分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，A2是半圓。的直徑，點C在半圓上，點。在

AB上，S.AC=AD,OC=8,弧BC的度數(shù)是60°.

（1）求線段OD的長；

（2）求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和TT）.

22.（12分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，拋物線y=a?+6x-3過點A（-1,0）,B（3,

0）,且與y軸交于點C,點E是拋物線對稱軸與直線的交點

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：BE=2CE；

（3）若點尸是第四象限內(nèi)拋物線上的一動點，設點P的橫坐標為X,以點2、E、P為頂

點的△2E尸的面積為S,求S關于x的函數(shù)關系式，并求S的最大值.

八、（本題滿分14分）

23.(14分)(2023?廬陽區(qū)校級一模)【問題提出】如圖1,AB為。。的一條弦，點C在弦

所對的優(yōu)弧上運動時，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道NACB的度數(shù)不變.愛動腦筋的小

芳猜想，如果平面內(nèi)線段AB的長度已知，的大小確定，那么點C是不是在某個

確定的圓上運動呢？

【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究.如圖2,若AB=4,

線段AB上方一點C滿足NAC2=45°,為了畫出點C所在的圓，小芳以AB為底邊構造

了一個再以點。為圓心，04為半徑畫圓，則點C在OO上.后來小芳通過

逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結論.即：若線段的長度已知，NACB的

大小確定，則點C一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模

型稱之為“定弦定角”模型.

【模型應用】

(1)若AB=6,平面內(nèi)一點C滿足/ACB=60°,若點C所在圓的圓心為。，貝IJ/A08

=，劣弧AB的長為.

(2)如圖3,已知正方形ABC。以A3為腰向正方形內(nèi)部作等腰△A2E,其中

過點E作EF1AB于點F,若點P是Z\AEF的內(nèi)心.

①求N3PE的度數(shù)；

②連接CP,若正方形ABCO的邊長為4,求CP的最小值.

圖1圖2圖3

2023年安徽省合肥市廬陽區(qū)壽春中學中考數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）

1.（4分）（2020?龍口市模擬）下列圖書館的標志中，是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

2、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是中心對稱圖形，故此選項正確；

D,不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：C.

2.（4分）（2023?五華縣一模）將拋物線y=3f-2先向右平移3個單位長度，再向下平移

2個單位長度得到的新拋物線解析式為（）

A.尸3（尤+3）2-4B.y=3（x-3）2

C.y=3（x-3）2-4D.y=3（x+3）2

【分析】由拋物線y=3/-2先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位可得y=3

（x-3）2-2-2.

【解答】解：將拋物線>=3/-2先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度

得到的新拋物線解析式為y=3（尤-3）2-2-2=3（x-3）2-4,

故選：C.

3.（4分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）若雙曲線>=?的圖象的一支位于第三象限，則左的

取值范圍是（）

A.k<lB.k>lC.0<%<1D.%W1

【分析】反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，當上＞0,雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,

在每一象限內(nèi)y隨X的增大而減小.

【解答】解：?.?雙曲線y=?的圖象的一支位于第三象限,

：.]-k>0,

“<1；

故選：A.

4.（4分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標系中,點A坐標為（3,1）,則

sina的值為（）

V10V103V10

A.-B.-----C.—D.-------

310310

【分析】過點A作A3,尤軸，根據(jù)點A的坐標得到。4,再根據(jù)正弦的定義可得答案.

【解答】解：過點A作軸,

???點A坐標為（3,1）,

：.AB=1,OB=3,OA=Vl2+32=V10,

..AB1y/10

??sina=ol=7^=3o--

故選：B.

5.（4分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）制作一塊3mX2機長方形廣告牌的成本是120元，在每

平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴大為原來的3倍，那么擴大后

長方形廣告牌的成本是（）

A.360元B.1080元C.720元D.2160元

【分析】直接利用相似多邊形的性質(zhì)進而得出答案.

【解答】解：.??將此廣告牌的四邊都擴大為原來的3倍,

面積擴大為原來的9倍，

...擴大后長方形廣告牌的成本為：120X9=1080（元）.

故選：B.

6.（4分）（2021?漢臺區(qū)一模）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，8。是O。的直徑.若/DBC=

33°,則NA等于（）

A.33°B.57°C.67°D.66°

【分析】連接CD,如圖，根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角得到/BCD=90°,

則利用互余可計算出/。=57°,然后根據(jù)圓周角定理即可得到/A的度數(shù).

【解答】解：連接CD,如圖，

???8。是。。的直徑，

AZBCD=90°,

而/。BC=33°,

?.ZZ）=90°-33°=57°,

?.ZA=ZP=57°.

故選：B.

7.（4分）（2022?梧州）如圖，。。是△ABC的外接圓，S.AB=AC,ZBAC=36°,在福上

取點。（不與點A,B重合），連接BO,AD,則/BAQ+/ABD的度數(shù)是（）

A

C.72°D.73°

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得NABC=NC=72°,從而利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

可求出/。=108。，然后利用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可解答.

【解答】解：ZBAC=36°,

AZABC=ZC=72°,

"/四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，

AZD+ZC=180°,

AZD=180°-ZC=108°,

AZBAZ）+ZABr>=180°-Z￡>=72°,

故選：C.

8.（4分）（2022?包河區(qū)一模）如圖，點A在雙曲線（x>0）上，點B在雙曲線y=g（無

>0）上，AB〃x軸，分別過點A、B向x軸作垂線，垂足分別為。、C,若矩形ABC。

的面積是15,則左的值為（）

ODC

A.21B.18C.15D.9

【分析】延長BA交y軸于E,根據(jù)反比例函數(shù)上的幾何意義即可求出左的值.

【解答】解：延長54交y軸于E,如圖所示：

則有S矩形BCOE=\k\,S矩形ADOE=\6\=6,

???矩形ABC。的面積為15,

:?S矩形5cOE-S矩形AOOE=15，

即因-6=15,

??,左＞0,

：.k=21.

故選A.

9.（4分）（2018?定興縣二模）如圖，正六邊形螺帽的邊長是這個扳手的開口〃的值

【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角度數(shù)可得出/1=30°,再通過解直角三角形即可得出匕

2

的值，進而可求出。的值，此題得解.

【解答】解：,?,正六邊形的任一內(nèi)角為120。，

AZ1=30°（如圖），

.1

...—Q=2COSN1="3,

2

：,a=2W.

故選：A.

10.（4分）（2021?蚌埠一模）如圖，半圓。的直徑A3長為4,C是弧A3的中點，連接CO、

CA、CB,點尸從A出發(fā)沿A-O-C運動至C停止，過點尸作PE_LAC于E,PFLBC

于凡設點P運動的路程為x,則四邊形CEPF的面積y隨x變化的函數(shù)圖象大致為（）

【分析】根據(jù)RtZ\ABC中，ZACB=90°，AC=BC=2a,可得AB=4,根據(jù)COJ_AB

于點0.可得AO=2O=2,CO平分NACB,點尸從點A出發(fā)，沿A-O-C的路徑運動,

運動到點C停止，分兩種情況討論：根據(jù)PE_LAC,PFLBC,可得四邊形CEP尸是矩形

和正方形，設點尸運動的路程為無，四邊形C或步的面積為y,進而可得能反映y與x之

間函數(shù)關系式，從而可以得函數(shù)的圖象.

【解答】解：:?在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=2A/2,

：.AB=4,ZA=45°,

：CO_L43于點O,

：.AO=BO=2,

,JPELAC,PFLBC,

，四邊形CERF是矩形,

：.CE=PF,PE=CF,

???點尸運動的路程為x,

???當點P從點A出發(fā)，沿A一。路徑運動時，

即0<xV2時，

AP=x,

則AE=P石=搭％,

，CE=AC-AE=2V2-^x,

,/四邊形CEPF的面積為y,

:.y=PE，CE=%）=—qx?+2尤=一］（久一2）2+2,

.?.當0<x<2時，拋物線開口向下；

當點尸沿0-C路徑運動時，

即2W尤<4時，

：C0是NAC3的平分線，

：.PE=PF,

四邊形CEPF是正方形，

\"AO=2,PO=x-2,

；.CP=4-x,

1c1

.*.y=2（久一鏟=（4—%）2,

.?.當2W尤<4時，拋物線開口向上，

綜上所述：能反映了與x之間函數(shù)關系的圖象是：A.

故選：A.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）

11.（5分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知線段a=9,6=4,則線段a和b的比例中項為6.

【分析】根據(jù)比例中項的概念，當兩個比例內(nèi)項相同時，就叫比例中項，再列出比例式

即可得出結果.

【解答】解：設線段a和b的比例中項為c,

"."a=9,6=4,

.ac

??一——,

cb

.??C2=QA=4X9=36,

解得：c=±6,

又：線段不能是負數(shù),

-6舍去，

??c=6,

故答案為：6.

12.（5分）（2015?貴港）如圖，已知圓錐的底面的直徑BC=6,高。4=4,則該圓錐

的側面展開圖的面積為15Tt.

【分析】根據(jù)已知和勾股定理求出AB的長，根據(jù)扇形面積公式求出側面展開圖的面積.

1

【解答】解：：。8=扣。=3,。4=4,

由勾股定理，AB=VOB2+OA2=432+42=5,

側面展開圖的面積S=TT”=3TTX5=15TT.

故答案為：15TT.

13.（5分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，AB.8c是以AC為直徑的。。的兩條弦，延長

AC至點D,使CD=2C,則當ND=15°時,AD與A3之間的數(shù)量關系為:AD=（2+百）

AB.

B

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NCBD=ND=15°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出/

ACB=/D+/CBD=30°,根據(jù)圓周角定理得出/ABC=90°,解直角三角形求出AC

=2AB,BC=y/3AB,再求出答案即可.

【解答】解：?.?/￡>=15°,CD=BC,

：.ZCBD=ZD=15°,

/.ZACB=ZD+ZCBD=30°,

：AC是。。的直徑，

AZABC=90°,

：.AC=2AB,BC=V3AB,

?；BC=CD,

：.CD=WAB,

：.AD^AC+CD=2AB+y/3AB=(2+符AB,

故答案為：（2+g）.

14.（5分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，已知矩形OABC中，點A（0,

3）,C（4,0）,點E、。分別是線段OC、AC上的動點，且四邊形。EFB也是矩形.

【分析】（1）通過證明點3點C,點、E,點D四點共圓，可得NBED=/ACB,由銳角

三角函數(shù)可求解；

（2）通過證明可得。尸=裂。，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)

可求解.

【解答】解：（1）連接8E,

:矩形OABC中，點A(0,3),C(4,0),

：.AO=BC=3,AB=OC=4,

：.AC=7Ao2+。：2=V9+16=5,

VZBDE=90°=NBCO,

??.點、B,點、C,點、E,點。四點共圓，

???/BED=/ACB,

tanZBEZ)=tanZACB=器=器，

.DB4

??,

DE3

、4

故答案為：

3

DB4

(2)—=一，

DE3

.DB4AB

??BF-3一BC'

VZABC=ZDBF=90°,

???ZABD=ZCBF,

：.△ABDsMBF,

eABAD4

??BC-CF-3’

：.CF=^AD,

當BC=CD=3時，則AO=2,

3

：.CF=^,

當時，則點。在5C的中垂線上，即點。是AC的中點,

>\AD=

15

：.CF=~8f

當時，如圖，過點B作8H_LAC于",

：.DH=CH,

../口「口CHBC

.cos/BCH=~^=怎,

.CH3

??~—f

35

9

:?CH=W

：.CD=^-,

?\AD=F，

21

.力加，

31521

綜上所述：。尸的長為;或引或或，

2820

、31521

故答案為：；或"7"或

2820

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

15.（8分）（2022?天寧區(qū)模擬）計算：2tan45°-^^-2sin260°.

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入，進而化簡得出答案.

【解答】解：原式=2X1-左1一2X（A―/3）2

22

3

=2-2-2x-rq

=2-2-1

_3

-2-

16.（8分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，AB為。0的直徑，弦CD_LAB于點E,若AB

=26,EB=8,求弦CD的長.

c

AB

【分析】連接OG根據(jù)垂徑定理得到CE=E0,根據(jù)A5=26求出OC、05的長，根據(jù)

EB=8求出OE的長，利用勾股定理求出CE,即可得到CD的長.

【解答】解：連接OC,如圖所示:

〈AB為。。的直徑，CD_LA8,

11

..CE=DE=CD,Of=。8==13,

：.OE=OB-EB=13-8=5,

在RtAOCE中，由勾股定理得：CE=yJOC2-OE2=12,

；.CD=2CE=24.

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.（8分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）由于發(fā)生山體滑坡災害，武警救援隊火速趕往災區(qū)救

援，探測出某建筑物廢墟下方點C處有生命跡象.在廢墟一側地面上探測點A、3相距2

米，探測線與該地面的夾角分別是30°和60°（如圖所示），試確定生命所在點C的深

度.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,V3?1.732,結果精確到0.1）

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得點C到地面的距離，從而可以解答本題.

【解答】解：如圖所示，過點C作COLAB,交AB的延長線于點D,

由題意可知，ZCAD=30°,ZCBD=60°,

設CD=尤米，

則）AD=+

tan60tan30

???A8=2米，AD=AB+BD,

：?AD=2+BD,

-\x=x

??2十tcm60°tan30Q,

解得,尤F.7

即生命所在點C的深度是1.7米.

18.（8分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，在OO中，直徑為MN,正方形ABC。的四個

頂點分別在半徑OM、O尸以及O。上，并且/尸0M=45°.

（1）若AB=2,求PD的長度；

（2）若半徑是5,求正方形ABC。的邊長.

【分析】（1）由四邊形ABCD為正方形，得DC=BC=AB=\,則ZDCO=ZABC=90°,

又/尸0M=45°,CO=DC=1,求出0D,再連接。4,構造直角三角形，求出AB和

BO的長，然后利用勾股定理即可求出圓的半徑，可得尸D.

（2）證出△OCO是等腰直角三角形，得出DC=CO,求出30=242,連接AO,得出

40=5,再根據(jù)勾股定理求出AB的長即可.

【解答】解：（1）,??四邊形A8C。為正方形，

：.DC=BC=AB=2,ZDCO=ZABC=90°,

VZPOM=45°,

：.CO=DC=2,

：.0D=V2C0=2V2,

連接AO,則△ABO為直角三角形，

：.A0=7AB2+BO2=V22+42=2V5,

即OO的半徑為2遮，

：.PD=OP-OD=2V5-2V2；

(2):四邊形ABC。是正方形，

AZABC=ZBCD=90°,AB=BC=CD,

工/DCO=90°,

VZPOM=45°,

：.ZCDO=45°,

:?CD=CO,

：.BO=BC+CO=BC+CD,

???BO=2AB,

■:M0=N0=5,

：.AO=5,

在Rt^ABO中，AB2+BO2=AO2,

即A82+(2AB)2=52,

解得：AB=V5f

則正方形ABC。的邊長為遮.

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）

19.（10分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，AABC

的頂點A在格點上，8是小正方形邊的中點，ZABC=50°,NB4c=30°,經(jīng)過點A,

B的圓的圓心在邊AC上.

（1）線段AB的長等于—；

—2—

（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的圓上，畫出一個點D使其滿足/AOB的度數(shù)小

于/ACB的度數(shù)，并說明理由；

（3）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出一個點尸，使其滿足

=ZPCB,并簡要說明點尸的位置是如何找到的（不要求證明）取圓與網(wǎng)格線的交點

E,F,連接與AC交于一點，則這一點是圓心O,網(wǎng)格線相交于連接。O

并延長交。。于點。，連接。C并延長，與點B,。的連線相交于點P,連接AP,

則點尸滿足/B4C=/P8C=/PC8.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理即可得到結論；

(2)在直線AC上方的弧上找一點Z),使得點C在△A3。內(nèi)，連接AD,BD,延長AC,

與BD交于E,根據(jù)外角的性質(zhì)可得大小；

(3)取圓與網(wǎng)格的交點E,F,連接EE與AC交于一點，則這一點是圓心O,與網(wǎng)

格線相交于D，連接。。并延長交O。于點。，連接QC并延長，與B,。的連線相交于

點P,連接AP,于是得到結論.

【解答】解：(1)由勾股定理可得：=卜+(》2=孚;

故答案為：-1~;

(2)如圖，點。即為所求；

連接AD,BD,延長AC,與BD交于E,

'：ZACB=ZCBE+ZCEB,

：.ZACB>ZCEB,

,：ZCEB=ZDAE+ZD,

：.ZACB>ZCEB>ZD；

(3)如圖，取圓與網(wǎng)格線的交點E,F,連接E尸與AC交于一點，則這一點是圓心O,

A3與網(wǎng)格線相交于。，連接并延長交O。于點。，連接QC并延長，與點B,。的

連線相交于點P,連接AP,

則點P滿足/E4C=ZPBC=ZPCB.

理由：第一步：連接EE得圓心，因為/EAF=90°,所以EP是直徑.

第二步：￡＞點根據(jù)網(wǎng)格相似比，可以知道。為的中點，所以QD是垂徑.

第三步：連接QC并延長，交0B于P,是半徑等于所以/O8A=NBAC=30°,

AZPBC=20°,ZAOB=ZAOQ=ZBOQ=120°,

：.ZCOQ=60a=ZBOC,y.OB=OQ,OC=OC,

:.△OCQLOCB(SAS),

：.ZQ=ZPBC=2Q°,

：.ZOPQ=18Q°-120°-20°=40°,

：.ZPCB=40°-20°=20°,

又：OA=。。，OP=OP,ZAOP=ZPOQ=nQ0,

：./\OPQ^/\OPA(SAS),

/.ZPAC=ZQ=20°,

/.ZE4C=ZPBC=ZPCB.

故答案為：取圓與網(wǎng)格線的交點E,F,連接EF與AC交于一點，則這一點是圓心O,

AB與網(wǎng)格線相交于。，連接并延長交。。于點Q,連接QC并延長，與點B,。的

連線相交于點P,連接AP,

則點尸滿足NE4C=NP2C=NPCB.

四邊形ABCD內(nèi)接于。0,對角線AC是OO

的直徑，CE與OO相切于點C,連接BD交AC于點P.

(1)求證：/DCE=/DBC；

求tanZABD的值.

【分析】⑴根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到乙M>C=90°,根據(jù)切線的性質(zhì)得到/

ACE=9Q°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到NDCE=NCW,根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得/

DBC=ZCAD,從而證明；

24cAE

(2)證明△ACEs得到一=一，設DE=x,得到AC2=4(4+x)=42+4.r=

4AC

AD2+CD2,從而可得CZ)2=4無，利用勾股定理列出方程，求出X值，得到DE,求出CD,

-AD

最后根據(jù)tcmNABD=tanZ.ACD=配可得結果.

【解答】(1)證明：YAC是。。的直徑，

ZADC=90°,

：.ZCAD+ZACD=90°,

???CE與。。相切，

AZACE=90°,

AZDCE+ZACD=90°,

：.ZDCE=ZCAD,

ZDBC=ZCAD,

，ZDCE=ZDBC；

(2)解：'：ZCAE+ZE=9Q°,ZCAE+ZACD^90°，

；./￡■=ZACD,

又/ACE=NADC=90°，

：.AACE^AADC,

ACAECEACAE

----=-----=-----，即—=--，

ADACCD4AC

AC4+x

設DE=x,則一=——

4AC

AAC2=4(4+x)=42+4X=AD2+CD2,

2

.'.CD=4xf

t：CD1+DE1=CE1,

??.4%+/=5,

解得：x=l或x=-5（舍），

：.DE=1,

：.CD=y/CE2-DE2=2,

ATJ4

tanZ.ABD=tanZ-ACD=瓦=^=2.

六、（本題滿分12分）

21.（12分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，A2是半圓。的直徑，點C在半圓上，點D在

AB±,S.AC=AD,0c=8,弧3c的度數(shù)是60°.

（1）求線段OD的長；

（2）求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和TT）.

【分析】（1）過C作CELAD于￡,根據(jù)已知得到NCa>=60°,根據(jù)直角三角形的性

質(zhì)得到CE,求得AC根據(jù)線段的和差即可得到結論；

（2）根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式即可得到結論.

【解答】解：（1）過C作CELA。于￡,

:弧BC的度數(shù)是60°,

/.ZBOC=60°，XOA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=3G°,

OC=8,

：.OE=4：.CE=A/82-42=4V3,

：.AC=8V3,

'：AD=XC=8V3,OA=OC=8,

：.OD=AD-OA=8y/3-8；

(2)S陰影=S扇形BOC—SAOCD=-|X(8V3-8)X4V3=^-48+16V3.

七、(本題滿分12分)

22.(12分)(2023?廬陽區(qū)校級一模)如圖，拋物線y=a?+bx-3過點A(-1,0),B(3,

0),且與y軸交于點C,點E是拋物線對稱軸與直線BC的交點

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：BE=2CE；

(3)若點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一動點，設點尸的橫坐標為x,以點8、E、P為頂

點的△2EP的面積為S,求S關于x的函數(shù)關系式，并求S的最大值.

【分析】(1)將點A、3坐標代入y=o?+6x-3列方程求出小6即可得；

BEBD

(2)由。0=1、8。=2且。E〃OC,利用平行線分線段成比例定理可得一=—=2；

CEOD

(3)利用待定系數(shù)法求得直線BC解析式，從而求得點E的坐標，作尸尸,了軸于點F,

EGLy軸于點G,設點P(x,?-2x-3)(0<x<3),根據(jù)△2砂的面積為S=S梯形BOFP

-S梯形BOGE-S梯形EGFP列出函數(shù)解析式，配方成頂點式可得答案.

【解答】解：(1)將點A(-b0)、B(3,0)代入丫=取2+a-3,

彳曰-b-3=0

何：l9a+3b-3=O'

解得:長=1），

3=—2

則拋物線的解析式為y=7-2x-3；

(2)?.?y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

:?拋物線的對稱軸為直線x=l,

U：DE//OC,

BEBD

—=----=2,BPBE=2CE：

CEOD

(3)?:點、B(3,0)、C(0,-3),

??.設直線BC解析式為y=mx+n,

則{:"「°,

解得:{:二)3，

'?y—x-3；

當x=l時，y=-2,

：.E(1,-2),

如圖，作軸于點REGLy軸于點G,

設點尸(x,?-2x-3)(0<x<3),

則石尸的面積為S—S梯形80尸尸-S梯形50GE-S梯形EGFP

=1x(x+3)(-/+2x+3)-1x(1+3)X2-1x(1+x)(-X2+2X+3-2)

=-f+3x

If,

Z4

■39

當x=即S取得最大值,最大值為丁

八、（本題滿分14分）

23.（14分）（2023?廬陽區(qū)校級一模）【問題提出】如圖1,為的一條弦，點C在弦

所對的優(yōu)弧上運動時，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道/ACB的度數(shù)不變.愛動腦筋的小

芳猜想，如果平面內(nèi)線段的長度已知，的大小確定，那么點C是不是在某個

確定的圓上運動呢？

【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究.如圖2,若48=4,

線段AB上方一點C滿足/ACB=45°,為了畫出點C所在的圓，小芳以AB為底邊構造

了一個Rt2\AO8,再以點。為圓心，為半徑畫圓，則點C在。。上.后來小芳通過

逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結論.即：若線段AB的長度已知，ZACB的

大小確定，則點C一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模

型稱之為“定弦定角”模型.

【模型應用】

（1）若AB=6,平面內(nèi)一點C滿足NAC3=60°,若點C所在圓的圓心為