四川省內(nèi)江市2024屆中考數(shù)學考前最后一卷含解析

四川省內(nèi)江市2024屆中考數(shù)學考前最后一卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0?5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上一動點（不與點B、C重合），連接AP,作射線PD,使NAPD=60。,

PD交AC于點D,已知AB=a,設CD=y,BP=x,則y與x函數(shù)關系的大致圖象是（）

2.設XI,X2是一元二次方程x2?2x-5=0的兩根，則打2+刈2的值為（）

A.6B.8C.14D.16

3.小明乘出租車去體育場，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30

千米，平均車速比走路線一時的平均車速能提高80%,因此能比走路線一少用10分鐘到達.若設走路線一時的平均

速度為x千米/小時，根據(jù)題意，得

A.2539_1CB.2530

x~（1+80%）x~6Cx~（1+80%）x-

C.3025=/CD.3025

（1+80%）x-'x=6C(1+80%)x-x

4.工信部發(fā)布《中國數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展與就業(yè)白皮書（2018）》）顯示，2017年湖北數(shù)字經(jīng)濟總量1.21萬億元，列全國第

七位、中部第一位.“1.21萬”用科學記數(shù)法表示為（）

A.1.21x1/B.12.1x1伊C.1.21X104D.0.121x10s

5,中華人民共和國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布，2016年國內(nèi)生產(chǎn)總值約為74300億元，將74300億用科學計數(shù)法可以表示

為（）

A.743xlO10B.743x10"C.7.43x10'°D.7.43x10門

6.下列說法：

①四邊相等的四邊形一定是菱形

②順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是正方形

③對角線相等的四邊形一定是矩形

④經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分

其中正確的有（）個.

A.4B.3C.2D.1

7.已知拋物線》=7+加c+c的部分圖象如圖所示，若yVO,則x的取值范圍是（）

A.-l<x<4B.-l<x<3C.xV-1或x>4D.xV-1或x>3

8.下列一元二次方程中，有兩個不相等實數(shù)根的是()

A.X2+6X+9=0B.x2=xC.x2+3=2xD.(x-1)2+l=()

9.如圖，點A、B、C、。在。。上，NAOC=120。，點8是弧AC的中點，則N。的度數(shù)是（

A.60°B.35。C.30.5°D.30°

10.某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺所需時間與原計劃生產(chǎn)450臺機器所需時間相

同.設原計劃平均每天生產(chǎn)x臺機器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）

600450600450

A.---------=------B.---------=------

x-50xx+50x

一600450600450

xx+50xx-50

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.分解因式(xy-1)2-(x+y-2xy)(2-x-y)=

12.同圓中，已知弧AB所對的圓心角是100。，則弧AB所對的圓周角是.

13.一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大4,且個位數(shù)字與十位數(shù)字的和為10,則這個兩位數(shù)為

14.把多項式好?25”分解因式的結果是

15.G）M的圓心在一次函」數(shù)y=；x+2圖象上，半徑為1.當。M與y軸相切時，點M的坐標為.

16.如圖，AB是。O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與。O相切于點D,若NC=20。，貝IjNCDA二'

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）如圖所示，在△ABC中，BO、CO是角平分線.ZABC=50°,ZACB=60°,求NBOC的度數(shù)，并說明

理由.題（1）中，如將“NABC=50。，NACB=60。”改為“NA=70。”，求NBOC的度數(shù).若NA=n。，求NBOC的

18.（8分）定義：若某拋物線上有兩點A、B關于原點對稱，則稱該拋物線為“完美拋物線”.己知二次函數(shù)y=ax2?2mx+c

（a,m,c均為常數(shù)且a#0）是“完美拋物線”：

（1）試判斷ac的符號；

（2）若c=I該二次函數(shù)圖象與y軸交于點C,且SAABC=L

①求a的值；

②當該二次函數(shù)圖象與端點為M（?1,1）、N（3,4）的線段有且只有一個交點時，求m的取值范圍.

19.（8分）工人師傅用一塊長為10dm,寬為6dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器，需要將四角各裁掉一個正

方形.（厚度不計）求長方體底面面積為12dm2時，裁掉的正方形邊長多大？

20.（8分）先化簡再求值：―—―4-（°-——）,其中a=2cos3（）o+l,Z?=tan45°.

aa

21.（8分）春節(jié)期間，，小麗一家乘坐高鐵前往某市旅游，計劃第二天租用新能源汽車自駕出游.

租車公司：按日收取固定租金80元，另外再按租車時間計費.

共享汽車：無固定租金，直接以租車時間（時）計費.

如圖是兩種租車方式所需費用yi（元）、y2（元）與租車時間x（時）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)以上信息，回答下列問題:

（1）分別求出力、yz與x的函數(shù)表達式；

（2）請你幫助小麗一家選擇合算的租車方案.

22.（10分）如圖，△B4O是由△8EC在平面內(nèi)繞點B旋轉60。而得，且BE=CE,連接OE.

（1）求證：ABDE義ABCE；

（2）試判斷四邊形ABE。的形狀，并說明理由.

23.（12分）如圖1,在等邊三角形ABC中，。。為中線，點。在線段CO上運動，將線段QA繞點。順時針旋轉,

使得點A的對應點E落在射線BC上，連接BQ,設N￡>AQ=a（0。va<60"且aw30"）.

AA

(1)當00<uv300時,

①在圖1中依題意畫出圖形，并求NBQE(用含a的式子表示);

②探究線段CE,AC,CQ之間的數(shù)量關系，并加以證明;

(2)當30。va<60°時，直接寫出線段CE,AC,CQ之間的數(shù)量關系.

24.問題探究

(1)如圖1,AARC和ADEC均為等腰直角三角形，且/RAC=/CDR=9。。，AR=AC=3,DR=CD=1,連接AD、RE,

,、AD4…

求TT二的值;

BE

(2)如圖2,在RSABC中，ZACB=90°,NB=30。，BC=4,過點A作AM_LAB,點P是射線AM上一動點，連

接CP,做CQ_LCP交線段AB于點Q,連接PQ,求PQ的最小值;

A

(3)李師傅準備加工一個四邊形零件，如圖3,這個零件的示意圖為四邊形ABCD,要求BC=4cm,ZBAD=135°,

ZADC=90SAD=CD,請你幫李師傅求出這個零件的對角線BD的最大值.

D

A

B

圖3

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1>C

【解題分析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出NB=NC=60。，由等角的補角相等可得出NBAP二NCPD,進而即可證出

AABP^APCD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出y=--x2+x,對照四個選項即可得出.

a

【題目詳解】

,?.△ABC為等邊三角形，

AZB=ZC=60°,BC=AB=a,PC=a-x.

VZAPD=6O°,NB=60°,

:.ZBAP+ZAPB=12O°,ZAPB+ZCPD=120°,

.\ZBAP=ZCPD,

AAABP^APCD,

—CD=—PC，y即上a=-——x，

BPABxa

y=--x2+x.

故選C.

【題目點撥】

考查了動點問題的函數(shù)圖象、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)找出y二」W+x是解題

a

的關鍵.

2、C

【解題分析】

根據(jù)根與系數(shù)的關系得到X|+X2=2,X|?X2=5再變形婷+x?2得到（Xi+X2）=x”?，然后利用代入計算即可.

【題目詳解】

二?一元二次方程X2-2X-5=0的兩根是xi、X2,

?\XI+X2=2,X|*X2=-5,

/.XI2+X22=（X1+X2）2-2XI*X2=22-2X（-5）=1.

故選C.

【題目點撥】

考查了一元二次方程a＞2+bx+c=0(a#))的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為xi,X2,則xi+X2=?2,xi*xj=—.

aa

3、A

【解題分析】

若設走路線一時的平均速度為x千米/小時，根據(jù)路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米,

平均車速比走路線一時的平均車速能提高80%,因此能比走路線一少用10分鐘到達可列出方程.

解：設走路線一時的平均速度為x千米/小時，

253010

x~(1+80%)x~60

故選A.

4、C

【解題分析】分析：科學記數(shù)法的表示形式為axl()n的形式，其中10a|VlO,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)

變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕

對值VI時，n是負數(shù).

詳解：1?21萬=1.21x104,

故選：C.

點睛：此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中10a|VlO,n為整數(shù)，表示時

關鍵要正確確定a的值以及n的值.

5、D

【解題分析】

科學記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中Y|a|V10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移

動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值VI時，n是負

數(shù).

【題目詳解】

解：74300億=7.43x10%

故選：D.

【題目點撥】

此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axl(r的形式，其中l(wèi)g|a|V10,n為整數(shù)，表示時關鍵要

正確確定a的值以及n的值.

6、C

【解題分析】

;四邊相等的四邊形一定是菱形，，①正確；

丁順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是菱形，.??②錯誤；

;對角線相等的平行四邊形才是矩形，，③錯誤；

???經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分，.??④正確；

其中正確的有2個，故選C.

考點：中點四邊形；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的判定.

7、B

【解題分析】

試題分析：觀察圖象可知，拋物線y=x?+bx+c與x軸的交點的橫坐標分別為(1,0),

所以當y<0時,x的取值范圍正好在兩交點之間，即

故選B.

考點：二次函數(shù)的圖象.106144

H、B

【解題分析】

分析：根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可.

詳解：A、X2+6X+9=0.

△=62-4X9=36-36=0,

方程有兩個相等實數(shù)根；

B、x2=x.

x2-x=0.

△=(-1)2-4xlx0=l>0.

方程有兩個不相等實數(shù)根；

C、x2+3=2x.

x2-2x+3=0.

A=(-2)2-4xlx3=-8<0,

方程無實根；

D、(x-1)2+1=0.

(x-1)2=-l,

則方程無實根；

故選B.

點睛：本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根與△=bL4ac有如下關系：①當

△>。時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當AV。時，方程無實數(shù)根.

9、D

【解題分析】

根據(jù)圓心角、弧、弦的關系定理得到NAOB=!ZAOC,再根據(jù)圓周角定理即可解答.

【題目詳解】

連接0B,

???點B是弧AC的中點，

：.ZAOB=-ZAOC=60°,

2

由圓周角定理得，ZD=-N4OB=30。，

2

故選D.

此題考查了圓心角、弧、弦的關系定理，解題關鍵在于利用好圓周角定理.

10、B

【解題分析】

設原計劃平均每天生產(chǎn)X臺機器，則實際平均每天生產(chǎn)(x+50)臺機器，根據(jù)題意可得：現(xiàn)在生產(chǎn)600臺所需時間與

原計劃生產(chǎn)450臺機器所需時間相同，據(jù)此列方程即可.

【題目詳解】

設原計劃平均每天生產(chǎn)x臺機器，則實際平均每天生產(chǎn)(x+50)臺機器，由題意得：-^-=—.

x+50x

故選B.

【題目點撥】

本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、(y-1)1(x-1)

【解題分析】

解：令x+y=a,xy=bt

則(xy-1)1-(x+y-Ixy)(1-x-,y)

=(Z>-1)1-(a-1Z>)(1-a)

=b'-lb+1+a，Ta-\ab+4b

=(a1-lab+眇)+lb-la+1

=(b?a)41(b-a)+1

=(b-a+1)%

即原式=Cxy-x-j+1)l=[x(yT)-(j-1)]1=[(j-1)(x-1)]l=(jT)1(x-1)

故答案為(y-D1(x-l)

點睛：因式分解的方法：(1)提取公因式法.m+/wb+mc=Ma+Z>+c).

(1)公式法:完全平方公式，平方差公式.

(3)十字相乘法.

因式分解的時候，要注意整體換元法的靈活應用，訓練將一個式子看做一個整體，利用上述方法因式分解的能力.

12、50。

【解題分析】【分析】直接利用圓周角定理進行求解即可.

【題目詳解】???弧AB所對的圓心角是100。，

工弧AB所對的圓周角為50。，

故答案為：50。.

【題目點撥】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角

的一半.

13、37

【解題分析】

根據(jù)題意列出一元一次方程即可求解.

【題目詳解】

解：設十位上的數(shù)字為a,則個位上的數(shù)為(a+4),依題意得：

a+a+4=10,

解得：a=3,

，這個兩位數(shù)為：37

【題目點撥】

本題考查了一元一次方程的實際應用，屬于簡單題，找到等量關系是解題關鍵.

14、x(x+5)(x-5).

【解題分析】

分析：苜先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可.

詳解：X3-25X

=x(X2-25)

=x(x+5)(x-5).

故答案為x(x+5)(x-5).

點睛：此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵.

53

15、(1,二)或(?1,-)

22

【解題分析】

設當。M與y軸相切時圓心M的坐標為(x,gx+2),再根據(jù)。M的半徑為1即可得出y的值.

【題目詳解】

解：?.?OM的圓心在一次函數(shù)y=；x+2的圖象上運動，

，設當。M與y軸相切時圓心M的坐標為(x,Jx+2),

TOM的半徑為1,

Ax=l或x=-l,

當x=l時,y=g,

當x=-1時產(chǎn)I*.

53

???P點坐標為：(1,-)^(-1,-).

22

53

故答案為(1,￡)或(T,4).

【題目點撥】

本題考查了切線的性質(zhì)與一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是熟練的掌握切線的性質(zhì)與一次函數(shù)圖象上點的

坐標特征.

16、1.

【解題分析】

連接OD,根據(jù)圓的切線定理和等腰三角形的性質(zhì)可得出答案.

【題目詳解】

連接OD,

D

則NODC=90。，ZCOD=70°,

VOA=OD,

/.ZODA=ZA=-ZCOD=35°,

2

:.ZCDA=ZCDO+ZODA=900+35°=1°,

故答案為L

考點：切線的性質(zhì).

三、解答題(共8題，共72分)

17、(1)125°；(2)125°；(3)ZBOC=90°+-n°.

2

【解題分析】

如圖，由BO、CO是角平分線得NABC=2NLZACB=2Z2,再利用三角形內(nèi)角和得到NABC+NACB+NA=180。,

則2N1+2N2+NA=18O。，接著再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到N1+N2+NBOC=180。，利用等式的性質(zhì)進行變換可得

ZBOC=90+^-ZA,然后根據(jù)此結論分別解決(IX(2)、(3).

2

【題目詳解】

如圖,

???BO、CO是角平分線，

AZABC=2Z1,ZACB=2Z2,

VZABC+ZACB+ZA=180°,

A2Z1+2Z2+ZA=18O°,

VZ1+Z2+ZBOC=180°,

.\2Z1+2Z2+2ZBOC=360°,

Z.2ZBOC-ZA=180°,

AZBOC=90°+-ZA,

2

(1)VZABC=50°,ZACB=60°,

:.ZA=180°-50°-60°=70°,

:.ZBOC=90°+-x70°=125°；

2

(2)ZBOC=90°+-ZA=125°；

2

(3)ZBOC=90°+-n°.

2

【題目點撥】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.主要用在求三角形中角的度數(shù)：①直接根據(jù)兩已知角求第三個

角；②依據(jù)三角形中角的關系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

21

18、(l)ac<3；(3)①a=l；②m>—或mV-.

32

【解題分析】

(1)設A(p,q).則B(-p,-q),把A、B坐標代入解析式可得方程組即可得到結論；

(3)由c=.l,得到p3=_l,a>3,且C(3,.1),求得P=±口，①根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結果；

a

37

②由①可知：拋物線解析式為y=x3?3mx?l,根據(jù)M(?1,1)、N(3,4).得到這些MN的解析式y(tǒng)=—x+—(-l<x<3),

44

37311

聯(lián)立方程組得到xL3mx?仁一x+一，故問題轉化為：方程XL(3m+—)x?一二3在?1士$3內(nèi)只有一個解，建立新的二

4444

311

次函數(shù)：(3m+-)X--,根據(jù)題意得到(I)若?1WXIV3且總>3,(H)若xiV/且<心03：列方程組即可

44

得到結論.

【題目詳解】

(1)設A(p,q).則B(-p,-q),

把A、B坐標代入解析式可得：

，2

cip--2mp+c=q

40,

ap~+2mp+c=-q

/.3ap3+3c=3.即p3=-￡,

a

A-->3,

a

Va#3,

:.---->3,

**.ac<3；

(3)Vc=-1,

.??p3=—,a>3,且C(3,-1),

a

/.a=l；

②由①可知：拋物線解析式為y=x3?3mx”,

VM(-1,IXN(3,4).

37

/.MN：y=—x+—(-l<x<3),

*44

y=x"-2nix—1

依題，只需聯(lián)立37在?13W3內(nèi)只有一個解即可,

y=—x+—

311

故問題轉化為：方程'3.(3m+—)x--=3在?1金53內(nèi)只有一個解,

44

311

建立新的二次函數(shù)：尸3.(3m+-)x-7,

311

?/△=(3m+—)3+“>3且?=?一V3,

44

311

‘拋物線y=-3m+jL］與'軸有兩個交點，且交y軸于負半軸.

311

不妨設方程x3-(3m+：)x--7=3的兩根分別為xi,xj.(xi<X3)

44

貝11xi+x3=3m+—,xiX3=-----

44

311

???方程x3-(3m+-)x--=3在?15爛3內(nèi)只有一個解.

44

故分兩種情況討論:

(I)若?10xiV3且X3>3：則

(X,-3)(A2-3)<0卜］々一3(*+々)+9<。

(為十1)(%+1)20e?IXQ+X+Q+INO

rm2

可得：m>—.

3

(口)若xi<-lK-l<xj<3：則

(X,-3)(A2-3)>0即.卜9-3&+占)+9之0

+l)(x,+1)<0+x,+x2+1<0

可得：m<—,

2

綜上所述，01>|>或111<1.

32

【題目點撥】

本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一元一次方程根與系數(shù)的關系，三角形面積公式，正確的理解題意是解

題的關鍵.

19、裁掉的正方形的邊長為2dm,底面積為12dm乙

【解題分析】

試題分析：設裁掉的正方形的邊長為xdm,則制作無蓋的長方體容器的長為(10-2x)dm,寬為(6-2x)dm,根據(jù)長

方體底面面積為12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形邊長.

試題解析：

設裁掉的正方形的邊長為xdm,

由題意可得(10-2x)(6-2x)=12,

即X2-8X+12=0,解得x=2或x=6(舍去)，

答：裁掉的正方形的邊長為2dm,底面積為12dm2.

【解題分析】

先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再由特殊銳角的三角函數(shù)值得出。和力的值，代入計算可得.

【題目詳解】

a-ba2lab-b2

原式=----+(-z---------)x

aaa

_a-ba2-lab+b2

a

_a_-__b?____a____

a(a-

]

a-b'

當a=2cos30°+1=2x+1=百+1,b=tan45°=l時，

2

原式=A=昱,

V3+11-1?3

【題目點撥】

本題主要考查分式的化簡求值，在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結果分子、分母要進行約

分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式，也考查了特殊銳角的三角函數(shù)值.

21、(1)yi=kx+80,y2=30x；(2)見解析.

【解題分析】

(1)設丁尸Ax+80,將(2,H0)代入求解即可；設m二〃a，將(5,150)代入求解即可；

(2)分》可2,yi<yi,三種情況分析即可.

【題目詳解】

解：(1)由題意，設yi=kx+80,

將(2,110)代入，得110=2k+80,解得k=15,

則yi與x的函數(shù)表達式為yi=15x+80；

設y2=mx,

將(5,150)代入，得150=5m,解得m=30,J

則丫2與x的函數(shù)表達式為y2=30x：

(2)由y產(chǎn)yz得，15x+80=30x,解得、=竿；

由”Vy2得，15x+80V30x,解得x>竽；

由”>y2得，15x+80>30x,解得x

故當租車時間為學小時時，兩種選擇一樣；

當租車時間大于學小時時，選擇租車公司合算；

當租車時間小于竽小時時，選擇共享汽車合算.

【題目點撥】

本題考查了一次函數(shù)的應用及分類討論的數(shù)學思想，解答本題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法.

22、證明見解析.

【解題分析】

(1)根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得DB=CB,ZABD=ZEBC,ZABE=60°,然后根據(jù)垂直可得出NDBE=NCBE=30。，繼而可

根據(jù)SAS證明△BDE^ABCE；

(2)根據(jù)(1)以及旋轉的性質(zhì)可得，△BDEg^BCEgABDA,繼而得出四條棱相等，證得四邊形ABED為菱形.

【題目詳解】

(1)證明：??,△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點B旋轉60。而得，

ADB=CB,ZABD=ZEBC,ZABE=60°,

VAB±EC,

.\ZABC=90°,

.\ZDBE=ZCBE=30°,

在ARDF和ABCE中,

DB=CB

vjzDBE=ZCBE,

BE=BE

AABDE^ABCE；

(2)四邊形ABED為菱形；

由(1)得4BDE^ABCE,

VABAD是由△BEC旋轉而得，

/.△BAD^ABEC,

ABA=BE,AD=EC=ED,

XVBE=CE,

/.BA=BE=ED=AD

，四邊形ABED為菱形.

考點：旋轉的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.

23、(1)①600+2a;?CE+AC=43CQ；(2)AC-CE=y/3CQ

【解題分析】

(D①先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)的0A=Q8,進而得出。8=最后用三角形的內(nèi)角和定理即可得出結論；②先

判斷出AQA尸二AOEC,得出=QC,再判斷出AQCF是底角為30度的等腰三角形，再構造出直角三角形即可

得出結論；(2)同②的方法即可得出結論.

【題目詳解】

（1）當0。＜。＜30"時，

①畫出的圖形如圖1所示，

???A4BC為等邊三角形，

AZABC=60?

???8為等邊三角形的中線

???8是的垂直平分線，

???Q為線段C。上的點，

：.QA=QB.

?：ZDAQ=at

：.ZABQ=ZDAQ=afNQ3E=60°-a.

???線段QE為線段QA繞點。順時針旋轉所得,

：.QE=QA.

?，.QB=QE.

?,.ZQEB=/QBE=60°-af

：.ZBQE=1800-2ZQBE=180°-2（60°-a）=60。+2a;

圖I

@CE+AC=y/3CQ；

如圖2,延長C4到點”，使得A/=CE,連接。/，作Q”_LAC于點”.

???/BQE=6（T+2a,煎E在BC上,

：.ZQEC=ZBQE+NQBE=（60°+2?）+（60°-a）=120°+a.

?

??點產(chǎn)在C4的延長線上，^DAQ=at

：.ZQAF=NBAF+ZDAQ=120°+a.

：.ZQAF=ZQEC.

又?:AF=CE,QA=QE,

:.AQAF=AQEC.

：.QF=QC.

???QHLAC于點H,

:?FH=CH,CF=2CH.

???在等邊三角形ABC中，CD為中線，點Q在CD上,

：.ZACQ=^ZACB=30°,

即AQC/為底角為30的等腰三角形.

:.CH=CQ?cosZQCH=CQ-cos30°=與CQ.

：.CE+AC=AF+AC=CF=2CH=辰。.

(2)如圖3,當30°vav60°時,

在AC上取一點/使A尸=CE,

???AA8C為等邊三角形，

，ZA8C=60?

VC。為等邊三角形的中線，

???Q為線段。。上的點,

???CO是AB的垂直平分線,

???QA=QB.

?：ZDAQ=at

：.ZABQ=ZDAQ=af/Q5E=6(T-a.

丁線段QE為線段QA繞點。順時針旋轉所得，

：.QE=QA.

:.QB=QE.

：./QEB=/QBE=60°-a=ZQAF,

又?：AF=CE,QA=QEt

???\QAF二LQEC.

/.QF=QC.

???Q“，4。于點”，

：.FH=CH,CF=2CH.

???在等邊三角形ABC中，。。為中線，點。在。。上,

AZACe=^ZACB=30°,

:.CH=CQ-cosZHCQ=Cficos30°=與CQ.

AAC-CE=AC-AF=CF=2CH=辰。.

【題目點撥】

此題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形