2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題24 輔助圓系列最值專(zhuān)題（原卷版）

模型介紹模型介紹【點(diǎn)睛1】觸發(fā)隱圓模型的條件（1）動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長(zhǎng)（2）直角圓周角模型固定線(xiàn)段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90°原理：圓O中，圓周角為90°所對(duì)弦是直徑則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑備注：常通過(guò)互余轉(zhuǎn)換等證明出動(dòng)角恒為直角（3）定弦定角模型固定線(xiàn)段AB所對(duì)動(dòng)角∠P為定值原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動(dòng)皆可（4）四點(diǎn)共圓模型①若動(dòng)角∠A+動(dòng)角∠C=180°原理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)則A、B、C、D四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)A與點(diǎn)C在線(xiàn)段AB異側(cè)（5）四點(diǎn)共圓模型②固定線(xiàn)段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等則A、B、C、P四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)P與點(diǎn)C需在線(xiàn)段AB同側(cè)【點(diǎn)睛2】圓中旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題條件：線(xiàn)段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是定點(diǎn)（1）求CM最小值與最大值（2）求線(xiàn)段AB掃過(guò)的面積（3）求最大值與最小值作法：如圖建立三個(gè)同心圓，作OM⊥AB，B、A、M運(yùn)動(dòng)路徑分別為大圓、中圓、小圓結(jié)論：①CM1最小，CM3最大②線(xiàn)段AB掃過(guò)面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積③最小值以AB為底，CM1為高；最大值以AB為底，CM2為高例題精講例題精講考點(diǎn)一：定點(diǎn)定長(zhǎng)構(gòu)造隱圓【例1】．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【變式1-2】．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，點(diǎn)M為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，連接OM，OM的最大值為．考點(diǎn)二：定弦定角構(gòu)造隱圓【例2】．如圖，在△ABC中，BC＝2，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終有∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，則當(dāng)線(xiàn)段DP最短時(shí)，CP＝．【變式2-2】．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD外有一點(diǎn)E，∠AEB＝90°，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接CF，則CF的最大值為．考點(diǎn)三：對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造隱圓【例3】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E在對(duì)角線(xiàn)AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線(xiàn)EF交線(xiàn)段DC于點(diǎn)F，則＝__________.變式訓(xùn)練【變式3-1】．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，則線(xiàn)段DE長(zhǎng)度的最小值為．【變式3-2】．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且CE＝DF，AF、DE相交于點(diǎn)O，BO＝BA，則OC的值為．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交x軸上點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（5，0） B．（2，0） C．（﹣8，0） D．（2，0）或（﹣8，0）2．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，則線(xiàn)段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣44．如圖所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，當(dāng)A、B分別在射線(xiàn)OM、ON上滑動(dòng)時(shí)，OC的最大值為（）A．12 B．14 C．16 D．145．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為．6．如圖示，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），點(diǎn)C在y軸上，且∠ACB＝45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．7．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠PAB+∠PBA＝90°，則線(xiàn)段CP長(zhǎng)的最小值為．8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，則AC+BC的最大值為．9．如圖，等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在BC和AC上，且BD＝CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F，則CF的最小值為．10．如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段AF、BE相交于點(diǎn)P，則線(xiàn)段DP的最小值為．11．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面積為8，則BC長(zhǎng)為．12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E為BC上一點(diǎn)，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，則AD的長(zhǎng)．13．如圖，在正方形ABCD中，AD＝6，點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，連接DF交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM．連接DM．交EF于點(diǎn)N．若AF＝2．則△EMN的面積是．14．如圖，在正方形ABCD中，AD＝8，點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，則FM＝，＝．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．16．如圖，將兩張等腰直角三角形紙片OAB和OCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），A（0，4）．將Rt△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AC，BD，直線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)P．（1）求證：AP⊥BP；（2）若點(diǎn)Q為OA的中點(diǎn)，求PQ的最小值．17．（1）【學(xué)習(xí)心得】于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問(wèn)題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．（3）【問(wèn)題拓展】如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線(xiàn)段DH長(zhǎng)度的最小值是．18．如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖①，連接BC，點(diǎn)P是線(xiàn)段BC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，若△PBC的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖②，已知⊙B的半徑為2，點(diǎn)Q是⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AQ，DQ，求DQ+AQ的最小值．19．模型分析如圖在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，其中∠BAC為定角，AD為定值，我們稱(chēng)該模型為定角定高模型．問(wèn)題：隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，探究BC的最小值（△ABC面積的最小值）．（1）當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)（如圖①）：第一步：作△ABC的外接圈⊙O；第二步：連接OA；第三步：由圖知AO≥AD，當(dāng)AO＝AD時(shí)，BC取得最小值．（2）當(dāng)∠BAC＜90°時(shí)（如圖②）：第一步：作△ABC的外接圓⊙O；第二步：連接OA，OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E：第三步：由圖知AO+OE≥AD，當(dāng)AO+OE＝AD時(shí)，BC取得最小值．那么∠BAC＞90°呢？結(jié)論：當(dāng)AD過(guò)△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時(shí)，BC取得最小值，此時(shí)△ABC的面積最小當(dāng)∠BAC＜90°時(shí)，請(qǐng)根據(jù)【模型分析】（2）中的做法將下面證明過(guò)程補(bǔ)充完整．求證：當(dāng)AD過(guò)△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時(shí)，BC取得最小值，此時(shí)△ABC的面積最?。C明：如解圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)⊙O的半徑為r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，∴BC＝2BE＝2OB?sinα＝2r?sinα，∵sinα為定值，∴要使BC最小，只需…自主探究：我們知道了當(dāng)AD過(guò)△ABC的外接圓圓心O（即A