2025年中考數(shù)學專題47 勾股定理之大樹折斷、風吹荷花專題（解析版）

考點一：勾股定理之大樹折斷模型【例1】．如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．解：由題意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，∴設BC長為x米，則AC長為（8﹣x）米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，即：x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴竹子折斷處C與根部的距離CB為3米．變式訓練【變式1-1】．在一塊平地上，張大爺家屋前9米遠處有一棵大樹．在一次強風中，這棵大樹從離地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長是10米．出門在外的張大爺擔心自己的房子被倒下的大樹砸到．大樹倒下時能砸到張大爺?shù)姆孔訂?？請你通過計算、分析后給出正確的回答（）A．一定不會B．可能會 C．一定會 D．以上答案都不對解：如圖由題意畫出大樹倒下的示意圖，大樹從點B刮斷，繞點B倒下，樹梢的軌跡為，根據(jù)題意得，AB＝6，BC＝10，AF＝9，過點F作AB的平行線交于D，E（D在E上面），∴BE＝BC＝10，∠F＝90°，過點B作BG⊥DF于G，∴∠BGF＝90°，∵∠A＝90°，∴∠A＝∠F＝∠BGF＝90°，∴四邊形ABGF是矩形，∴FG＝AB＝6，BG＝AG＝9，在Rt△BGF中，根據(jù)勾股定理得，EG＝＝＝，∴EF＝FG﹣EG＝6﹣≈6﹣4.36＝1.64米，而房屋一般高度為2.8到3米，∴1.64＜2.8，即：大樹倒下時肯定能砸到張大爺?shù)姆课?，故選：C．【變式1-2】．由于大風，山坡上的一棵樹甲被從A點處攔腰折斷，如圖所示，其樹頂端恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB＝4米，BC＝13米，兩棵樹的水平距離為12米，求這棵樹原來的高度．解：如圖所示：延長AB，過點C作CD⊥AB延長線于點D，由題意可得：BC＝13m，DC＝12m，故BD＝＝5（m），即AD＝9m，則AC＝＝＝15（m），故AC+AB＝15+4＝19（m）．答：這棵樹原來的高度是19米．考點二：勾股定理之風吹荷花模型【例2】．如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm解：根據(jù)題意可得圖形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．則這只鉛筆在筆筒外面部分長度在3cm～6cm之間．觀察選項，只有選項D符合題意．故選：D．變式訓練【變式2-1】．如圖，一架梯子AB長10米，底端離墻的距離BC為6米，當梯子下滑到DE時，AD＝2米，則BE＝2米．解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，可得：AC＝＝＝8（米），∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米），在Rt△DCE中，CE＝＝＝8（米），∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米），故答案為：2．【變式2-2】．如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，設秋千的繩索長為xm，則AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：繩索AD的長度是8.5m．1．如圖，一架25m長的云梯斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7m，如果梯子的頂端下滑4m，那么梯子的底部在水平方向上滑動了（）A．4m B．6m C．8m D．10m解：由題意知AB＝DE＝25米，BC＝7米，AD＝4米，在直角△ABC中，AC為直角邊，∴AC＝＝24（米），已知AD＝4米，則CD＝24﹣4＝20（米），在直角△CDE中，CE為直角邊，∴CE＝＝15（米），∴BE＝15﹣7＝8（米），故選：C．2．一根高9m的旗桿在離地4m高處折斷，折斷處仍相連，此時在3.9m遠處玩耍的身高為1m的小明（）A．沒有危險 B．有危險 C．可能有危險 D．無法判斷解：如圖所示：AB＝9﹣4＝5，AC＝4﹣1＝3，由勾股定理得：BC＝＝4＞3.9，∴此時在3.9m遠處耍的身高為1m的小明有危險，故選：B．3．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣3，0），點B的坐標是（0，4），點M是OB上一點，將△ABM沿AM折疊，點B恰好落在x軸上的點B'處，則點M的坐標為（）A．（，0） B．（0，） C．（，0） D．（0，）解：∵將△ABM沿AM折疊，∴AB＝AB'，又A（﹣3，0），B（0，4），∴AB＝5＝AB'，∴點B'的坐標為：（2，0），設M點坐標為（0，b），則B'M＝BM＝4﹣b，∵B'M2＝B'O2+OM2，∴（4﹣b）2＝22+b2，∴b＝，∴M（0，），故選：B．4．為了美化環(huán)境，凈化城市的天空，某市要將建在西里（城中村）的一座高50m的煙囪拆除，由于煙囪附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若煙囪折斷時，頂端下來正好砸在距煙囪底部10m的地方最安全，那么按以上要求該煙囪應從底部向上24米處折斷．解：設從底部向上x米處折斷，則另外兩邊分別為50﹣x，10故102+x2＝（50﹣x）2解得x＝24（米）故煙囪應從底部向上24米處折斷．故答案為24．5．如圖所示，某商場有一段樓梯，高BC為2米，樓梯最高點和最低點的距離AB為4米，如果在樓梯上鋪上地毯，那么要使用的地毯長度是（2+2）米．解：在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝4．∴AC＝＝2．由題意可得，樓梯所有臺階的高度之和等于BC，樓梯所有臺階的水平距離之和等于AC．∴地毯的長度為：AC+BC＝（2+2）米．故答案為：（2+2）米．6．我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何？”（丈、尺是長度單位，1丈10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端B恰好到達池邊的水面D處．問水的深度是多少？則水深DE為12尺．解：設水深為h尺，則蘆葦長為（h+1）尺，根據(jù)勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深為12尺，故答案是：12．7．細心觀察圖形，解答問題：（1）OA2＝，OA3＝，OA4＝2，OAn＝；（2）△OA8A9的周長＝2+4；（3）若一個三角形的面積是，計算說明它是第幾個三角形？解：（1）OA2＝＝＝，OA3＝＝＝，OA4＝＝＝＝2，OAn＝＝＝．故答案為：，，2，；（2）△OA8A9的周長＝OA8+OA9+A8A9＝++1＝2+4，故答案為：2+4；（3）設它是第n個三角形，則××1＝2，∴＝4，∴n＝32，答：它是第32個三角形．8．如圖，在水池的正中央有一根蘆，池底長10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是13尺．解：設水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，蘆葦?shù)拈L度＝x+1＝12+1＝13（尺），故答案是：13尺．9．某船從港口A出發(fā)沿南偏東32°方向航行15海里到達B島，然后沿某方向航行20海里到達C島，最后沿某個方向航行了25海里回到港口A，判斷此時△ABC的形狀，該船從B島出發(fā)到C是沿哪個方向航行的，請說明理由．解：該船從B島出發(fā)到C是沿西偏南32°方向航行的．理由：由題意得：AB＝15海里，BC＝20海里，AC＝25海里，∵152+202＝252，∴△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°，由題意得∠BAD＝32°，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣32°＝58°，∴∠CBD＝90°﹣58°＝32°，故該船從B島出發(fā)到C是沿西偏南32°方向航行的．10．如圖，淇淇在離水面高度為5m的岸邊C處，用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m．（1）開始時，船距岸A的距離是12m；（2）若淇淇收繩5m后，船到達D處，則船向岸A移動（12﹣）m．解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），故答案為：12；（2）∵淇淇收繩5m后，船到達D處，∴CD＝8（m），∴AD＝（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m．故答案為：（12﹣）．11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB垂直平分線分別交AB，AC及BC的延長線于點D，E，F(xiàn)，求CE和CF的長．解：如圖，連接BE，∴E為線段AD垂直平分線上的點，∴BE＝AE＝12，設CE＝x，則BE＝AE＝12﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2+CE2＝BE2，即92+x2＝（12﹣x）2，解得x＝，即CE的長為；同理AF＝BF，設FC＝y(tǒng)，則AF＝BF＝9+y，在Rt△AFC中，由勾股定理可得AC2+FC2＝AF2，即122+y2＝（9+y）2，解得y＝3.5，即CF的長為3.5．12．如圖所示，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，（1）求BF與FC的長；（2）求EC的長．解：（1）∵四邊形ABCD是長方形，∴AD＝BC＝10cm，∵折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，∴AF＝AD＝10cm，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得，BF＝＝＝6cm，所以，F(xiàn)C＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm；（2）∵折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，∴EF＝DE，設EC＝x，則EF＝DE＝8﹣x，在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)C2+EC2＝EF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，即EC＝3cm．13．學校的一棵大樹被風吹斷了，如圖，距地面6m處折斷，折斷的樹梢頂部落在距樹干底部8m處，求此樹原高是多少米？（圖1）有兩棵大樹，一棵高8m，另一棵高2m，BC＝6，一只小鳥從一棵樹梢飛到另一棵樹梢，至少飛多少米？（圖2）一架長10m的梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面8m，現(xiàn)將梯子頂端沿墻面下滑2m，則梯子底端與墻面距離是否也增長2m？請說明理由（圖3）（1）在直角三角形ABC中，AC2＝AB2+BC2，所以AC＝＝10m；∴此樹原高＝10+6＝16m．（2）兩點之間，直線最短，所以最短距離為直接從D點飛到A點，所以最短距離為：AD＝＝m；（3）在直角三角形ABC中，AB＝8m，AC＝10m，則BC＝＝6m，現(xiàn)將梯子頂端下移至D點，則BD＝6m，DE＝10m，所以在直角三角形BDE中，BE＝＝8m，8m﹣6m＝2m，因此梯子底端與墻面的距離增加了2m．14．解答題：（1）已知x+y＝4，xy＝2，求x2+y2+3xy的值；（2）先化簡，再求值：（a+2b）2﹣（a﹣b）（a﹣4b），其中a＝，b＝2007；（3）如圖，一次“臺風”過后，一根旗桿被臺風從離地面2.8米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部9.6米處，那么這根旗桿被吹斷裂前至少有多高？（4）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊上點F處，若AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的長．解：（1）∵x+y＝4，xy＝2∴原式＝（x+y）2+xy＝16