陜西省西安市鐵一中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

陜西省西安市鐵一中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．向量，，，滿足條件．，則A． B． C． D．2．已知函數(shù)，點A、B分別為圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點，O為坐標(biāo)原點，若△OAB為銳角三角形，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，若，且它的前項和有最大值，則使成立的正整數(shù)的最大值是（）A．15 B．16 C．17 D．144．如圖，中，，，用表示，正確的是()A． B．C． D．5．過點且與直線垂直的直線方程是．A． B． C． D．6．一個學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為2：3：5，若用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，則應(yīng)從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)為：A．100 B．80 C．60 D．407．三棱錐則二面角的大小為()A． B． C． D．8．函數(shù)的最小正周期為π，若其圖象向左平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象（）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于點對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱9．l：的斜率為A．﹣2 B．2 C． D．10．已知向量若為實數(shù)，則＝（）A．2 B．1 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則________.12．在等腰中，為底邊的中點，為的中點，直線與邊交于點，若，則___________．13．下列結(jié)論中正確的是______.（1）將圖像向左平移個單位，再將所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的倍，得到的圖像；（2）將圖像上所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的倍，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（3）將圖像上所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的倍，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（4）將圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮賹D像向左平移個單位，得到的圖像；（5）將圖像向左平移個單位，再將所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的倍，得到的圖像；14．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)________15．已知三個事件A，B，C兩兩互斥且，則P(A∪B∪C)=__________.16．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，若，.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求棱與平面所成角的正弦值.18．設(shè)等比數(shù)列{}的首項為，公比為q(q為正整數(shù)),且滿足是與的等差中項；數(shù)列{}滿足.(1)求數(shù)列{}的通項公式;(2)試確定的值，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列：(3)當(dāng){}為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)是，在與之間插入個2,得到一個新數(shù)列{}，設(shè)是數(shù)列{}的前項和，試求滿足的所有正整數(shù).19．已知圓.(1)過原點的直線被圓所截得的弦長為2，求直線的方程；(2)過外的一點向圓引切線，為切點，為坐標(biāo)原點，若，求使最短時的點坐標(biāo).20．?dāng)?shù)列中，，.前項和滿足.（1）求（用表示）；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）若，現(xiàn)按如下方法構(gòu)造項數(shù)為的有窮數(shù)列，當(dāng)時，；當(dāng)時，.記數(shù)列的前項和，試問：是否能取整數(shù)？若能，請求出的取值集合：若不能，請說明理由.21．已知數(shù)列的前項和為，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，數(shù)列的前項和為，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】向量，則，故解得.故答案為：C。2、B【解析】

△OAB為銳角三角形等價于,再運算即可得解.【詳解】解：由題意可得,,由△OAB為銳角三角形，則,即，解得：，即的取值范圍為，故選：B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的性質(zhì)，重點考查了向量數(shù)量積的運算，屬中檔題.3、C【解析】

由題意可得，，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得結(jié)論．【詳解】∵等差數(shù)列的前項和有最大值，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，又，∴，，∴，又，，∴成立的正整數(shù)的最大值是17，故選C．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列的求和公式，屬中檔題．4、C【解析】

由平面向量基本定理和三角形法則求解即可【詳解】由，可得，則，即.故選C.【點睛】本題考查平面向量基本定理和三角形法則,熟記定理和性質(zhì)是解題關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題5、A【解析】

根據(jù)與已知直線垂直的直線系方程可假設(shè)直線為，代入點解得直線方程.【詳解】設(shè)與直線垂直的直線為：代入可得：，解得：所求直線方程為：，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用兩條直線的垂直關(guān)系求解直線方程的問題，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)分層抽樣的方法，得到高三學(xué)生抽取的人數(shù)為，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為2：3：5，采用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，所以高三學(xué)生抽取的人數(shù)為人，故選A．【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

P在底面的射影是斜邊的中點，設(shè)AB中點為D過D作DE垂直AC，垂足為E，則∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【詳解】因為AB＝10，BC＝8，CA＝6所以底面為直角三角形又因為PA＝PB＝PC所以P在底面的射影為直角三角形ABC的外心，為AB中點．設(shè)AB中點為D過D作DE垂直AC，垂足為E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角．因為PD為三角形PAB的中線，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小為60°故答案為60°．【點睛】本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，確定出二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵．8、C【解析】

利用最小正周期為π，求出的值，根據(jù)平移得出，然后利用對稱性求解.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為π，所以，圖象向左平移個單位后得到，由得到的函數(shù)是奇函數(shù)可得，即.令得，，故A,B均不正確；令得，，時可得C正確.故選C.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換和性質(zhì).平移變換時注意平移方向和對解析式的影響，性質(zhì)求解一般利用整體換元意識來處理.9、B【解析】

先化成直線的斜截式方程即得直線的斜率.【詳解】由題得直線的方程為y=2x,所以直線的斜率為2.故選：B【點睛】本題主要考查直線斜率的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、D【解析】

求出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量的平行得到所求值．【詳解】∵，∴．又，∴，解得．故選D．【點睛】本題考查向量的運算和向量共線的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由可得，然后用正弦的和差公式展開，然后將條件代入即可求出原式的值【詳解】因為所以故答案為：【點睛】本題考查的三角恒等變換，解決此類問題時要善于發(fā)現(xiàn)角之間的關(guān)系.12、；【解析】

題中已知等腰中，為底邊的中點，不妨于為軸，垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，這樣，我們能求出點坐標(biāo)，根據(jù)直線與求出交點，求向量的數(shù)量積即可.【詳解】如上圖，建立直角坐標(biāo)系，我們可以得出直線，聯(lián)立方程求出,,即填寫【點睛】本題中因為已知底邊及高的長度，所有我們建立直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點坐標(biāo)，而作為F點的坐標(biāo)我們可以通過直線交點求出，把向量數(shù)量積通過向量坐標(biāo)運算來的更加直觀.13、（1）（3）【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像伸縮變換與平移變換的原則，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）將圖像向左平移個單位，得到的圖像，再將所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的倍，得到的圖像；（1）正確；（2）將圖像上所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的倍，得到的圖像，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（2）錯；（3）將圖像上所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的倍，得到的圖像，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（3）正確；（4）將圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖像，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（4）錯；（5）將圖像向左平移個單位，得到的圖像，再將所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的倍，得到的圖像；（5）錯；故答案為（1）（3）【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.14、【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【詳解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案為1﹣2i．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查共軛復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．15、0.9【解析】

先計算，再計算【詳解】故答案為0.9【點睛】本題考查了互斥事件的概率計算，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】

由圖可得，即可求得：，再由圖可得：當(dāng)時，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），結(jié)合即可得解.【詳解】由圖可得：，所以，解得：由圖可得：當(dāng)時，取得最大值，即：整理得：，所以（）又，所以【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的性質(zhì)及觀察能力，還考查了轉(zhuǎn)化思想及計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）先證明平面，再證明平面平面.（Ⅱ）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求棱與平面所成角的正弦值.【詳解】解：（Ⅰ）∵平面，∴，∵，，，∴，∴，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，于是，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，解得，∴，設(shè)與平面所成角為，則.【點睛】本題主要考查空間垂直關(guān)系的證明，考查線面角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由已知可求出的值，從而可求數(shù)列的通項公式；（2）由已知可求，從而可依次寫出，，若數(shù)列為等差數(shù)列，則有，從而可確定的值；（3）因為，，，檢驗知，3，4不合題意，適合題意．當(dāng)時，若后添入的數(shù)則一定不適合題意，從而必定是數(shù)列中的某一項，設(shè)則誤解，即有都不合題意．故滿足題意的正整數(shù)只有．【詳解】解（1）因為，所以，解得或（舍），則又，所以（2）由，得，所以，，，則由，得而當(dāng)時，，由（常數(shù)）知此時數(shù)列為等差數(shù)列（3）因為，易知不合題意，適合題意當(dāng)時，若后添入的數(shù)，則一定不適合題意，從而必是數(shù)列中的某一項，則.整理得，等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，所以無解。綜上：符合題意的正整數(shù).【點睛】本題主要考察了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考察了函數(shù)單調(diào)性的證明，屬于中檔題．19、(1)或;(2)【解析】

(1)利用垂徑定理求出圓心到直線的距離,再分過原點的直線的斜率不存在與存在兩種情況,分別根據(jù)點到線的距離公式求解即可.(2)設(shè),再根據(jù)圓的切線長公式以及求出關(guān)于關(guān)于的關(guān)系,再代入的表達(dá)式求取得最小值時的即可.【詳解】(1)圓圓心為,半徑為.當(dāng)直線的斜率不存在時,圓心到直線的距離,故不存在.當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)的方程：,即.則圓心到的距離,由垂徑定理得,即,即,解得.故的方程為或(2)如圖,設(shè),因為,故,則,即,化簡得,即.此時,故當(dāng),即時最短.此時【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,包括垂徑定理以及設(shè)點根據(jù)距離公式求距離最值的問題.需要根據(jù)題意列出關(guān)系式化簡,并用二次函數(shù)在對稱軸處取最值的方法.屬于中檔題.20、（1）（2）證明見詳解.（3）能取整數(shù),此時的取值集合為.【解析】

（1）利用遞推關(guān)系式,令,通過,求出即可.（2）遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：,化簡推出數(shù)列是等比數(shù)列.（3）由,求出,求出,得到通項公式,然后求解的分母與分子,討論要使取整數(shù),需為整數(shù),推出的取值集合為時,取整數(shù)【詳解】解：（1）令,則,將,代入,有.解得：.（2）由得,化簡得,又,是等比數(shù)列.（3）由,,又是等比數(shù)列,,,①當(dāng)時,依次為,.②當(dāng)時,,,,要使取整數(shù),需為整數(shù),令,,,要么都為整數(shù),要么都不是整數(shù)