2025屆山西省陵川第一中學(xué)校高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆山西省陵川第一中學(xué)校高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若直線與函數(shù)的圖象相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為1,則函數(shù)圖象的對稱中心為（）A． B． C． D．2．若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．如圖所示，在四邊形中，，，.將四邊形沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）①；②；③與平面所成的角為；④四面體的體積為.A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)4．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，若，，則下列命題正確的是A．若，，則B．若，且，則C．若，，則D．若，且，則5．某公司的班車在和三個(gè)時(shí)間點(diǎn)發(fā)車.小明在至之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過分鐘的概率是（）A． B． C． D．6．圓的半徑是，則的圓心角與圓弧圍成的扇形面積是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知不同的兩條直線m，n與不重合的兩平面，，下列說法正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則9．一個(gè)平面截一球得到直徑為6的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離為4，則這個(gè)球的體積為()A． B． C． D．10．關(guān)于的不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線的傾斜角為______．12．函數(shù)的最小正周期為________13．已知數(shù)列，其中，若數(shù)列中，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.14．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為__________．15．已知向量，，若，則__________．16．已知指數(shù)函數(shù)上的最大值與最小值之和為10，則=____________。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)請確定是否是數(shù)列中的項(xiàng)?18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，，.（1）①證明：；②證明：存在點(diǎn)P使得.并求出P的坐標(biāo)；（2）過C點(diǎn)的直線將四邊形ABCD分成周長相等的兩部分，產(chǎn)生的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求點(diǎn)E的坐標(biāo).19．為了了解某市高中學(xué)生的漢字書寫水平，在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了近千名學(xué)生參加漢字聽寫考試，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，分組區(qū)間為：，并繪制出頻率分布直方圖，如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該市高中學(xué)生的平均成績；（2）設(shè)、、、四名學(xué)生的考試成績在區(qū)間內(nèi)，、兩名學(xué)生的考試成績在區(qū)間內(nèi)，現(xiàn)從這6名學(xué)生中任選兩人參加座談會(huì)，求學(xué)生、至少有一人被選中的概率.20．已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）證明：.21．已知（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

先計(jì)算周期得到，得到函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)中心對稱公式得到答案.【詳解】直線與函數(shù)的圖象相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為1則的對稱中心橫坐標(biāo)為：對稱中心為故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的周期，對稱中心，意在考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力.2、A【解析】

根據(jù)條件可求出，，從而可求出，這樣即可求出，根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【詳解】由題得；，，所以；；又；的夾角為．故選．【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量長度的求法，向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍．3、B【解析】

根據(jù)題意，依次分析命題：對于①，可利用反證法說明真假；對于②，為等腰直角三角形，平面，得平面，根據(jù)勾股定理逆定理可知；對于③，由與平面所成的角為知真假；對于④，利用等體積法求出所求體積進(jìn)行判定即可，綜合可得答案．【詳解】在四邊形中，，，則，可得，由，若，且，可得平面，平面，，這與矛盾，故①不正確；平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，由勾股定理得，，，，故，故②正確；由②知平面，則直線與平面所成的角為，且有，，則為等腰直角三角形，且，則.故③不正確；四面體的體積為，故④不正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面所成的角，以及三棱錐的體積的計(jì)算，考查了空間想象能力，推理論證能力，解題的關(guān)鍵是須對每一個(gè)進(jìn)行逐一判定．4、D【解析】

利用面面、線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，直接判定．【詳解】解：對于A，若n∥α，m∥β，則α∥β或α與β相交，故錯(cuò)；對于B，若α∩β＝l，且m⊥l，則m與β不一定垂直，故錯(cuò)；對于C，若m∥n，m∥β，則α與β位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對于D，∵α∩β＝l，∴l(xiāng)?β，∵m∥l，則m∥β，故正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間相互關(guān)系的合理運(yùn)用．5、A【解析】

根據(jù)題意得小明等車時(shí)間不超過分鐘的總的時(shí)間段，再由比值求得.【詳解】小明等車時(shí)間不超過分鐘，則他需在至到，或至到，共計(jì)分鐘，所以概率故選A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，關(guān)鍵找到滿足條件的時(shí)間段，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

先將化為弧度數(shù)，再利用扇形面積計(jì)算公式即可得出．【詳解】所以扇形的面積為：故選：C【點(diǎn)睛】題考查了扇形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

根據(jù)題意可知方程有解即可，代入解析式化簡后，利用基本不等式得出，再利用分類討論思想即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意知，方程有解，則，化簡得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，化簡得，解得；當(dāng)時(shí)，化簡得，解得，綜上所述的取值范圍為．故答案為：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，其中解答中利用題設(shè)條件化簡，合理利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．8、C【解析】

依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤得到答案.【詳解】若，，則或A錯(cuò)誤.若，，則或，B錯(cuò)誤若，，則，正確若，，則或，D錯(cuò)誤故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了線面關(guān)系，找出反例是解題的關(guān)鍵.9、C【解析】

過球心作垂直圓面于.連接與圓面上一點(diǎn)構(gòu)造出直角三角形再計(jì)算球的半徑即可.【詳解】如圖,過球心作垂直圓面于,連接與圓面上一點(diǎn).則.故球的體積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了球中構(gòu)造直角三角形求解半徑的方法等.屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

特值,利用排除法求解即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，滿足題意，所以可排除選項(xiàng)B、C、A，故選D【點(diǎn)睛】不等式恒成立問題有兩個(gè)思路：求最值，說明恒成立參變分離，再求最值。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的傾斜角.【詳解】由于直線的斜率為，故傾斜角為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由直線一般式方程求斜率，考查斜率和傾斜角的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

根據(jù)的最小正周期判斷即可.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷诰鶠?故的最小正周期為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切余切函數(shù)的周期,屬于基礎(chǔ)題型.13、【解析】

由函數(shù)（數(shù)列）單調(diào)性確定的項(xiàng)，哪些項(xiàng)取，哪些項(xiàng)取，再由是最小項(xiàng)，得不等關(guān)系．【詳解】由題意數(shù)列是遞增數(shù)列，數(shù)列是遞減數(shù)列，存在，使得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵數(shù)列中，是唯一的最小項(xiàng)，∴或，或，或，綜上．∴的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性與最值．解題時(shí)楞借助函數(shù)的單調(diào)性求解．但數(shù)列是特殊的函數(shù)，它的自變量只能取正整數(shù)，因此討論時(shí)與連續(xù)函數(shù)有一些區(qū)別．14、【解析】分析：由題意利用待定系數(shù)法求解圓的方程即可.詳解：設(shè)圓的方程為，圓經(jīng)過三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0），則：，解得：，則圓的方程為.點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．15、1【解析】由,得.即.解得.16、【解析】

根據(jù)和時(shí)的單調(diào)性可確定最大值和最小值，進(jìn)而構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：或（舍）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得：（舍）或（舍）綜上所述：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)最值求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)指數(shù)函數(shù)得單調(diào)性確定最值點(diǎn).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）是數(shù)列中的第項(xiàng)【解析】

(1)直接利用等差數(shù)列的公式計(jì)算得到通項(xiàng)公式.(2)將3998代入通項(xiàng)公式，是否有整數(shù)解.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為，由題意有，解得則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，(2)假設(shè)是數(shù)列中的項(xiàng)，有，得，故是數(shù)列中的第項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的公式，屬于簡單題.18、（1）①見解析；②見解析，；（2）.【解析】

（1）①利用夾角公式可得；②由條件知點(diǎn)為四邊形外接圓的圓心，根據(jù)，可得，四邊形外接圓的圓心為的中點(diǎn)，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)條件可得，然后設(shè)的坐標(biāo)為，根據(jù)，可得的坐標(biāo)．【詳解】（1）①，，，，，，，，，，；②由知，點(diǎn)為四邊形外接圓的圓心，，，，，四邊形外接圓的圓心為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）由兩點(diǎn)間的距離公式可得，，，，過點(diǎn)的直線將四邊形分成周長相等的兩部分，，設(shè)的坐標(biāo)為，則，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角公式、向量相等、向量的運(yùn)算性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由頻率分布直方圖能求出a．由此能估計(jì)該市高中學(xué)生的平均成績；（2）現(xiàn)從這6名學(xué)生中任選兩人參加座談會(huì)，求出基本事件總數(shù)，再學(xué)生M、N至少有一人被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出學(xué)生M、N至少有一人被選中的概率．【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，∴估計(jì)該市高中學(xué)生的平均成績?yōu)椋海?）設(shè)A、B、C、D四名學(xué)生的考試成績在區(qū)間[80，90）內(nèi)，M、N兩名學(xué)生的考試成績在區(qū)間[60，70）內(nèi)，現(xiàn)從這6名學(xué)生中任選兩人參加座談會(huì)，基本事件總數(shù)，學(xué)生M、N至少有一人被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴學(xué)生M、N至少有一人被選中的概率．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，考查了古典概型計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）證明見解析，；（Ⅲ）證明見解析.【解析】

（Ⅰ）直接給n賦值求出，的值；（Ⅱ）利用項(xiàng)和公式化簡，再利用定義法證明數(shù)列是等比數(shù)列，即得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比數(shù)列求和證明不等式.【詳解】（Ⅰ），令，得，，；令，得，即，，．證明：（Ⅱ），①，②②①得：，，，從而當(dāng)時(shí)，，④③④得：，即，，．又由（Ⅰ）知，，，．?dāng)?shù)列是以2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.于是.【點(diǎn)睛】本題