2022-2023學(xué)年炎德英才大聯(lián)考數(shù)學(xué)高三上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析_第1頁(yè)
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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若,則的最小值為()參考數(shù)據(jù):A. B. C. D.2.已知無(wú)窮等比數(shù)列的公比為2,且,則()A. B. C. D.3.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)4.若點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),則()A. B. C. D.5.如圖,雙曲線(xiàn)的左,右焦點(diǎn)分別是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B.C. D.6.設(shè)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到軸的距離為,到直線(xiàn)的距離為,則的最小值為()A.2 B. C. D.37.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)(指標(biāo)值滿(mǎn)分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)8.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則公比()A. B.4 C. D.29.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則()A. B. C. D.10.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為()A. B.C. D.11.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù),指數(shù)值趨小,表明空氣質(zhì)量越好,下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢(shì),下列敘述錯(cuò)誤的是()A.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上(指數(shù))的天數(shù)占C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好D.總體來(lái)說(shuō),該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好12.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知直角坐標(biāo)系中起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量滿(mǎn)足,且,,,存在,對(duì)于任意的實(shí)數(shù),不等式,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14.將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個(gè)盒子里,其中甲、乙盒子均最多可放入2個(gè)球,丙、丁盒子均最多可放入1個(gè)球,且不同顏色的球不能放入同一個(gè)盒子里,共有________種不同的放法.15.函數(shù)的定義域是.16.在三棱錐中,,,兩兩垂直且,點(diǎn)為的外接球上任意一點(diǎn),則的最大值為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的參數(shù)方程是(為參數(shù),常數(shù)),曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是.(1)寫(xiě)出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程,并指出是什么曲線(xiàn);(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn),均相切且相切于同一點(diǎn),求直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程.18.(12分)已知不等式對(duì)于任意的恒成立.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若m的最大值為M,且正實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足.求證.19.(12分)某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對(duì)價(jià)格y(千克/噸)和利潤(rùn)z的影響,對(duì)近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程;(2)若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元,假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣(mài)出,預(yù)測(cè)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí),年利潤(rùn)w取到最大值?參考公式:20.(12分)曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的射線(xiàn)與曲線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的取值范圍.21.(12分)已知橢圓:()的離心率為,且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若直線(xiàn)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn),求的面積;(2)若,分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),直線(xiàn),,的斜率分別為,,,求的值.22.(10分)已知數(shù)列滿(mǎn)足,,數(shù)列滿(mǎn)足.(Ⅰ)求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

首先的單調(diào)性,由此判斷出,由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù),所以在上遞減,在上遞增.由于,,令,解得,所以,且,化簡(jiǎn)得,所以,構(gòu)造函數(shù),.構(gòu)造函數(shù),,所以在區(qū)間上遞減,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.而,所以在區(qū)間上的最小值為,也即的最小值為,所以的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.2、A【解析】

依據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列求和公式,先求出首項(xiàng),再求出,利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?!驹斀狻恳?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列的公比為2,則無(wú)窮等比數(shù)列的公比為。由有,,解得,所以,,故選A。【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。3、A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個(gè)元素,故選A.考點(diǎn):集合的運(yùn)算.4、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

易得,過(guò)B作x軸的垂線(xiàn),垂足為T(mén),在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過(guò)B作x軸的垂線(xiàn),垂足為T(mén),故,又所以,即,所以雙曲線(xiàn)的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率問(wèn)題,在作雙曲線(xiàn)離心率問(wèn)題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.6、A【解析】

分析:題設(shè)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)是相離的,可以化成,其中是點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離,也就是到焦點(diǎn)的距離,這樣我們從幾何意義得到的最小值,從而得到的最小值.詳解:由①得到,,故①無(wú)解,所以直線(xiàn)與拋物線(xiàn)是相離的.由,而為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離,故為到焦點(diǎn)的距離,從而的最小值為到直線(xiàn)的距離,故的最小值為,故選A.點(diǎn)睛:拋物線(xiàn)中與線(xiàn)段的長(zhǎng)度相關(guān)的最值問(wèn)題,可利用拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)把動(dòng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)或焦點(diǎn)的距離來(lái)求解.7、D【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對(duì)于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),故B正確;對(duì)于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對(duì)于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分,不是最強(qiáng)的,故D錯(cuò)誤;故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由得,又,兩式相除即可解出.【詳解】解:由得,又,∴,∴,或,又正項(xiàng)等比數(shù)列得,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

將雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,其漸近線(xiàn)方程為,化簡(jiǎn)整理即得漸近線(xiàn)方程.【詳解】雙曲線(xiàn)得,則其漸近線(xiàn)方程為,整理得.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.11、C【解析】

結(jié)合題意,根據(jù)題目中的天的指數(shù)值,判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.【詳解】對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中有個(gè)低于,個(gè)高于,其中第個(gè)接近,第個(gè)高于,所以中位數(shù)略高于,故正確.對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的,故正確.對(duì)于,由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來(lái)越好,從第天到第天空氣質(zhì)量越來(lái)越差,故錯(cuò)誤.對(duì)于,由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下,中旬大部分指數(shù)在以上,所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好,故正確.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)折線(xiàn)圖數(shù)據(jù)的分析,讀懂題意是解題關(guān)鍵,并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)命題進(jìn)行判斷,本題較為基礎(chǔ).12、B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐,且是有三條棱互相垂直的三棱錐,根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積.【詳解】解:分析題意可知,如下圖所示,該幾何體為一個(gè)正方體中的三棱錐,最大面的表面邊長(zhǎng)為的等邊三角形,故其面積為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體,從而解決問(wèn)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題意可設(shè),,,由向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以及恒成立思想可設(shè),的最小值即為點(diǎn),到直線(xiàn)的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設(shè),,,,可得,可得的終點(diǎn)均在直線(xiàn)上,由于為任意實(shí)數(shù),可得時(shí),的最小值即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,可得,對(duì)于任意的實(shí)數(shù),不等式,可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模的求法,以及兩點(diǎn)的距離的運(yùn)用,考查直線(xiàn)方程的運(yùn)用,以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.14、【解析】

討論裝球盒子的個(gè)數(shù),計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)四個(gè)盒子有球時(shí):種;當(dāng)三個(gè)盒子有球時(shí):種;當(dāng)兩個(gè)盒子有球時(shí):種.故共有種,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.15、【解析】解:因?yàn)椋识x域?yàn)?6、【解析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì),求出外接球的半徑,結(jié)合向量的運(yùn)算,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點(diǎn)到外心距離最大的問(wèn)題,即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮蓛纱怪鼻遥嗜忮F的外接球就是對(duì)應(yīng)棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn),如下圖所示:容易知外接球半徑為.設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為,故可得,故當(dāng)取得最大值時(shí),取得最大值.而當(dāng)在同一個(gè)大圓上,且,點(diǎn)與線(xiàn)段在球心的異側(cè)時(shí),取得最大值,如圖所示:此時(shí),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查球體的幾何性質(zhì),幾何體的外接球問(wèn)題,涉及向量的線(xiàn)性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算,屬綜合性困難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),,表示以為圓心為半徑的圓;為拋物線(xiàn);(2)【解析】

(1)消去參數(shù)的直角坐標(biāo)方程,利用,即得的直角坐標(biāo)方程;(2)由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切,求導(dǎo)可得切線(xiàn)斜率,再由直線(xiàn)與圓相切,故切線(xiàn)與圓心與切點(diǎn)連線(xiàn)垂直,可求解得到切點(diǎn)坐標(biāo),即得解.【詳解】(1)消去參數(shù)的直角坐標(biāo)方程為:.的極坐標(biāo)方程.∵,.當(dāng)時(shí)表示以為圓心為半徑的圓;為拋物線(xiàn).(2)設(shè)切點(diǎn)為,由于,則切線(xiàn)斜率為,由于直線(xiàn)與圓相切,故切線(xiàn)與圓心與切點(diǎn)連線(xiàn)垂直,故有,直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為,所以的極坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo),參數(shù)方程綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.18、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)法一:,,得,則,由此可得答案;法二:由題意,令,易知是偶函數(shù),且時(shí)為增函數(shù),由此可得出答案;(2)由(1)知,,即,結(jié)合“1”的代換,利用基本不等式即可證明結(jié)論.【詳解】解:(1)法一:(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),又(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),由題意得,則,解得,故的取值范圍是;法二:因?yàn)閷?duì)于任意恒有成立,即,令,易知是偶函數(shù),且時(shí)為增函數(shù),所以,即,則,解得,故的取值范圍是;(2)由(1)知,,即,∴,故不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題,考查基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)(2)當(dāng)時(shí),年利潤(rùn)最大.【解析】

(1)方法一:令,先求得關(guān)于的回歸直線(xiàn)方程,由此求得關(guān)于的回歸直線(xiàn)方程.方法二:根據(jù)回歸直線(xiàn)方程計(jì)算公式,計(jì)算出回歸直線(xiàn)方程.方法一的好處在計(jì)算的數(shù)值較小.(2)求得w的表達(dá)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預(yù)測(cè).【詳解】(1)方法一:取,則得與的數(shù)據(jù)關(guān)系如下123457.06.55.53.82.2,,,.,,關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程是即,故關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程是.方法二:因?yàn)?,,,,,所以,故關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程是,(2)年利潤(rùn),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)時(shí),年利潤(rùn)最大.【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線(xiàn)方程的求法,考查利用回歸直線(xiàn)方程進(jìn)行預(yù)測(cè),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20、(1),;(2).【解析】

(1)先將曲線(xiàn)化為普通方程,再由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系:,可得極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)由已知可得出射線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立和的極坐標(biāo)方程可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo),從而得出,由的范圍可求得的取值范圍.【詳解】(1)曲線(xiàn)的普通方程為,即,其極坐標(biāo)方程為;曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,即,其直角坐標(biāo)方程為;(2)射線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立,聯(lián)立,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程互化,圓,拋物線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,以及在極坐標(biāo)下

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