2022-2023學(xué)年云南省元江第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)．若存在實數(shù)，且，使得，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．2．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請問第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里3．若復(fù)數(shù)滿足，則()A． B． C． D．4．已知函數(shù)，對任意的，，當(dāng)時，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數(shù)在上遞增C．函數(shù)的一條對稱軸是 D．函數(shù)的一個對稱中心是5．已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再將圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，若為奇函數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．7．一個頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為，則估計樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有（）A． B． C． D．8．拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為點，過點作直線與拋物線交于、兩點，使得是的中點，則直線的斜率為（）A． B． C．1 D．9．若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．410．已知雙曲線的實軸長為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上運(yùn)動，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知變量x，y間存在線性相關(guān)關(guān)系，其數(shù)據(jù)如下表，回歸直線方程為，則表中數(shù)據(jù)m的值為（）變量x0123變量y35.57A．0.9 B．0.85 C．0.75 D．0.512．定義在上函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實數(shù)有成立，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，常數(shù)項為________.(用數(shù)字作答)14．過拋物線C：（）的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段的中點N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點M，若，則l的斜率為______.15．中，角的對邊分別為，且成等差數(shù)列，若，，則的面積為__________．16．三棱錐中，點是斜邊上一點.給出下列四個命題：①若平面，則三棱錐的四個面都是直角三角形；②若，，，平面，則三棱錐的外接球體積為；③若，，，在平面上的射影是內(nèi)心，則三棱錐的體積為2；④若，，，平面，則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號是__________．（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)已知直線與曲線交于，兩點，與軸交于點，求.18．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的周長的最小值.19．（12分）已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.（1）求曲線G的方程;（2）設(shè)直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,是坐標(biāo)原點,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.20．（12分）已知橢圓的焦距是，點是橢圓上一動點，點是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點（與不同），若直線的斜率之積為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是拋物線上兩點，且處的切線相互垂直，直線與橢圓相交于兩點，求的面積的最大值.21．（12分）已知，其中．（1）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值．（2）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．22．（10分）記拋物線的焦點為，點在拋物線上，且直線的斜率為1，當(dāng)直線過點時，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點，，求直線的斜率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

首先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，求得結(jié)果.【詳解】，令，得，．其單調(diào)性及極值情況如下：x0+0_0+極大值極小值若存在，使得，則（如圖1）或（如圖2）．（圖1）（圖2）于是可得，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識點有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，畫出圖象數(shù)形結(jié)合，屬于較難題目.2、B【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，計算，代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，則，解得，從而可得，故.故選：.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.3、C【解析】

化簡得到，，再計算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計算能力.4、D【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡，然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】，又，即，有且僅有滿足條件；又，則，，函數(shù)，對于A，，故A錯誤；對于B，由，解得，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，由，故D正確.故選：D【點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

分段求解函數(shù)零點，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數(shù)有三個零點，等價于與有三個交點，又因為，且由圖可知，當(dāng)時與有兩個交點，故只需當(dāng)時，與有一個交點即可.若當(dāng)時，時，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??，故滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點，故不滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點，故不滿足題意；時，顯然與有一個交點，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.6、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出，根據(jù)是奇函數(shù)，可得的取值，再求其最小值.【詳解】解：由題意知，將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，得，再將圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，，因為是奇函數(shù)，所以，解得，因為，所以的最小值為.故選：【點睛】本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

計算出樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)，再減去樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為，樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為，因此，樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為.故選：B.【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻數(shù)，要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，由題意得出，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合可求得的值，由此可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知點，設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，由于點是的中點，則，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得，整理得，由韋達(dá)定理得，得，，解得，因此，直線的斜率為.故選：B.【點睛】本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9、C【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)，的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算．【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為，．故選：C．【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10、A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設(shè)點在雙曲線右支上運(yùn)動，則，當(dāng)時，此時，所以，，所以；當(dāng)軸時，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.11、A【解析】

計算，代入回歸方程可得．【詳解】由題意，，∴，解得．故選：A.【點睛】本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì)：線性回歸直線一定過中心點．12、B【解析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對應(yīng)于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計算最值,即可得出答案.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

的展開式的通項為，取計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為：，取得到常數(shù)項.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力.14、【解析】

分別過A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，根據(jù)拋物線定義和求得，從而求得直線l的傾斜角.【詳解】分別過A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，由拋物線的定義知，，，因為，所以，所以，即直線的傾斜角為，又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為，.故答案為：【點睛】此題考查拋物線的定義，根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關(guān)系即可求解，屬于較易題目.15、.【解析】

由A，B，C成等差數(shù)列得出B＝60°，利用正弦定理得進(jìn)而得代入三角形的面積公式即可得出．【詳解】∵A，B，C成等差數(shù)列，∴A+C＝2B，又A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．故由正弦定理，故所以S△ABC，故答案為：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的面積公式，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、①②③【解析】

對①，由線面平行的性質(zhì)可判斷正確；對②，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結(jié)合外接球半徑公式即可求解；對③，結(jié)合題意作出圖形，由勾股定理和內(nèi)接圓對應(yīng)面積公式求出錐體的高，則可求解；對④，由動點分析可知，當(dāng)點與點重合時，直線與平面所成的角最大，結(jié)合幾何關(guān)系可判斷錯誤；【詳解】對于①，因為平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四個面都是直角三角形，∴①正確；對于②，若，，，平面，∴三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球，∴，，∴體積為，∴②正確；對于③，設(shè)內(nèi)心是，則平面，連接，則有，又內(nèi)切圓半徑，所以，，故，∴三棱錐的體積為，∴③正確；對于④，∵若，平面，則直線與平面所成的角最大時，點與點重合，在中，，∴，即直線與平面所成的最大角為，∴④不正確，故答案為：①②③.【點睛】本題考查立體幾何基本關(guān)系的應(yīng)用，線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）(x－1)2＋y2＝4,直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0；（2）3.【解析】

(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線的直角坐標(biāo)方程；(2)先得到直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程代入到圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(α為參數(shù))(α為參數(shù))，兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝4；由直線l的極坐標(biāo)方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0.(2)由題意可得P(2，0)，則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，將(t為參數(shù))代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，則Δ>0，由韋達(dá)定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.18、（1）（2）【解析】

（1）因為，所以，由余弦定理得，化簡得，可得，解得，又因為，所以.（6分）（2）因為，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）.由（1）得（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號），解得.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號），所以的周長的最小值為.19、（1）.（2）四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得，由此判斷出點的軌跡為橢圓，并由此求得曲線的方程.（2）將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況，求出平行四邊形的面積，兩種情況下四邊形的面積都為，由此證得四邊形的面積為定值.【詳解】（1）因為圓E為△ABC的內(nèi)切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以點C的軌跡為以點A和點B為焦點的橢圓（點不在軸上）,所以c,a=2,b,所以曲線G的方程為,（2）因為，故四邊形為平行四邊形.當(dāng)直線l的斜率不存在時，則四邊形為為菱形，故直線MN的方程為x=﹣1或x=1,此時可求得四邊形OMDN的面積為.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|點O到直線MN的距離d,由,得xD,yD，∵點D在曲線C上,所以將D點坐標(biāo)代入橢圓方程得1+2k2=2m2,由題意四邊形OMDN為平行四邊形,∴OMDN的面積為S,由1+2k2=2m2得S,故四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【點睛】本小題主要考查用定義法求軌跡方程，考查橢圓中四邊形面積的計算，考查橢圓中的定值問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)點的坐標(biāo),表達(dá)出直線的斜率之積,再根據(jù)三點均在橢圓上,根據(jù)橢圓的方程代入斜率之積的表達(dá)式列式求解即可.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為,根據(jù)直線的斜率之積為可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,表達(dá)出面積公式,再換元利用基本不等式求解即可.【詳解】（Ⅰ）設(shè),,則,又,,故,即,故,又,故.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為,,由,故,又,故,因為處的切線相互垂直故.故直線的方程為.聯(lián)立故.故,代入韋達(dá)定理有設(shè),則.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故的面積的最大值為.【點睛】本題主要考查了根據(jù)橢圓上的點坐標(biāo)滿足的關(guān)系式求解橢圓基本量求方程的方法,同時也考查了拋物線的切線問題以及橢圓中面積的最值問題,需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線