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河南省三門峽市陜州區(qū)第一高級(jí)中學(xué)新高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測(cè)卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某校為提高新入聘教師的教學(xué)水平,實(shí)行“老帶新”的師徒結(jié)對(duì)指導(dǎo)形式,要求每位老教師都有徒弟,每位新教師都有一位老教師指導(dǎo),現(xiàn)選出3位老教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)5位新入聘教師,則不同的師徒結(jié)對(duì)方式共有()種.A.360 B.240 C.150 D.1202.下列選項(xiàng)中,說(shuō)法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件3.已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測(cè)試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等5.?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為.則“”是“為遞增數(shù)列”的()條件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要6.已知為虛數(shù)單位,實(shí)數(shù)滿足,則()A.1 B. C. D.7.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.8.已知橢圓,直線與直線相交于點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,則橢圓的離心率取值范圍為()A. B. C. D.9.設(shè)P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},則A.PQ B.QPC.Q D.Q10.設(shè)全集,集合,.則集合等于()A. B. C. D.11.已知等邊△ABC內(nèi)接于圓:x2+y2=1,且P是圓τ上一點(diǎn),則的最大值是()A. B.1 C. D.212.函數(shù)()的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在矩形中,,為的中點(diǎn),將和分別沿,翻折,使點(diǎn)與重合于點(diǎn).若,則三棱錐的外接球的表面積為_____.14.在平面五邊形中,,,,且.將五邊形沿對(duì)角線折起,使平面與平面所成的二面角為,則沿對(duì)角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.15.在直角坐標(biāo)系中,某等腰直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)該三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則的解析式為___________.16.如圖,四面體的一條棱長(zhǎng)為,其余棱長(zhǎng)均為1,記四面體的體積為,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____;最大值為____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)改革開放40年,我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí),某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各50人,進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng),所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)(Ⅰ)求的值,并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率;(Ⅱ)已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成2×2列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從交通安全意識(shí)強(qiáng)的駕駛員中隨機(jī)抽取2人,求抽到的女性人數(shù)的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82818.(12分)若數(shù)列前n項(xiàng)和為,且滿足(t為常數(shù),且)(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式:(2)設(shè),且數(shù)列為等比數(shù)列,令,.求證:.19.(12分)如圖,已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率,過(guò)右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為,記直線的斜率分別為,求證:為定值.20.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).(Ⅰ)棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面?若存在,寫出的長(zhǎng)并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(Ⅱ)求二面角的余弦值.21.(12分)如圖,四邊形為菱形,為與的交點(diǎn),平面.(1)證明:平面平面;(2)若,,三棱錐的體積為,求菱形的邊長(zhǎng).22.(10分)如圖,在正三棱柱中,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成二面角銳角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
可分成兩類,一類是3個(gè)新教師與一個(gè)老教師結(jié)對(duì),其他一新一老結(jié)對(duì),第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師,一個(gè)老教師帶一個(gè)新教師,分別計(jì)算后相加即可.【詳解】分成兩類,一類是3個(gè)新教師與同一個(gè)老教師結(jié)對(duì),有種結(jié)對(duì)結(jié)對(duì)方式,第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師,有.∴共有結(jié)對(duì)方式60+90=150種.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用.解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對(duì)這個(gè)事情,是先分類還是先分步,確定方法后再計(jì)數(shù).本題中有一個(gè)平均分組問(wèn)題.計(jì)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò).兩組中每組中人數(shù)都是2,因此方法數(shù)為.2、D【解析】
對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對(duì)于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項(xiàng)B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項(xiàng)D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡(jiǎn)單題.3、A【解析】
設(shè),由得:,由復(fù)數(shù)相等可得的值,進(jìn)而求出,即可得解.【詳解】設(shè),由得:,即,由復(fù)數(shù)相等可得:,解之得:,則,所以,在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法,考查對(duì)復(fù)數(shù)相等的理解,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn),考查運(yùn)算能力,屬于??碱}.4、B【解析】
由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結(jié)論.【詳解】對(duì)于甲,;對(duì)于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯(cuò)誤;對(duì)于甲,方差.5,對(duì)于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計(jì)算能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)遞增數(shù)列的特點(diǎn)可知,解得,由此得到若是遞增數(shù)列,則,根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)果.【詳解】若“是遞增數(shù)列”,則,即,化簡(jiǎn)得:,又,,,則是遞增數(shù)列,是遞增數(shù)列,“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷,涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】,則故選D.7、A【解析】
首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.8、A【解析】
先求得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo),判斷出直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn).然后判斷出,判斷出點(diǎn)的軌跡方程,根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式,化簡(jiǎn)后求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓的焦點(diǎn),所以.直線過(guò)點(diǎn),直線過(guò)點(diǎn),由于,所以,所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,所以橢圓的短軸大于,即,所以,所以雙曲線的離心率,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系,考查動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷,考查橢圓離心率的取值范圍的求法,屬于中檔題.9、C【解析】
解:因?yàn)镻={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此選C10、A【解析】
先算出集合,再與集合B求交集即可.【詳解】因?yàn)榛?所以,又因?yàn)?所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的基本運(yùn)算,涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式,是一道容易題.11、D【解析】
如圖所示建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),則.當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算,建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.12、C【解析】
對(duì)x分類討論,去掉絕對(duì)值,即可作出圖象.【詳解】故選C.【點(diǎn)睛】識(shí)圖常用的方法(1)定性分析法:通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性的分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì),利用這一特征分析解決問(wèn)題;(2)定量計(jì)算法:通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決問(wèn)題;(3)函數(shù)模型法:由所提供的圖象特征,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來(lái)分析解決問(wèn)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】
計(jì)算外接圓的半徑,并假設(shè)外接球的半徑為R,可得球心在過(guò)外接圓圓心且垂直圓面的垂線上,然后根據(jù)面,即可得解.【詳解】由題意可知,,所以可得面,設(shè)外接圓的半徑為,由正弦定理可得,即,,設(shè)三棱錐外接球的半徑,因?yàn)橥饨忧虻那蛐臑檫^(guò)底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn),則,所以外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用,屬于中檔題.14、【解析】
設(shè)的中心為,矩形的中心為,過(guò)作垂直于平面的直線,過(guò)作垂直于平面的直線,得到直線與的交點(diǎn)為幾何體外接球的球心,結(jié)合三角形的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】設(shè)的中心為,矩形的中心為,過(guò)作垂直于平面的直線,過(guò)作垂直于平面的直線,則由球的性質(zhì)可知,直線與的交點(diǎn)為幾何體外接球的球心,取的中點(diǎn),連接,,由條件得,,連接,因?yàn)?,從而,連接,則為所得幾何體外接球的半徑,在直角中,由,,可得,即外接球的半徑為,故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及多面體的外接球的表面積的計(jì)算,其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔試題.15、【解析】
結(jié)合題意先畫出直角坐標(biāo)系,點(diǎn)出所有可能組成等腰直角三角形的點(diǎn),采用排除法最終可確定為點(diǎn),再由函數(shù)性質(zhì)進(jìn)一步求解參數(shù)即可【詳解】等腰直角三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)可能的位置如下圖中的點(diǎn),其中點(diǎn)與已有的兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)重復(fù),舍去;若為點(diǎn)則點(diǎn)與點(diǎn)的中間位置的點(diǎn)的縱坐標(biāo)必然大于或小于,不可能為,因此點(diǎn)也舍去,只有點(diǎn)滿足題意.此時(shí)點(diǎn)為最大值點(diǎn),所以,又,則,所以點(diǎn),之間的圖像單調(diào),將,代入的表達(dá)式有由知,因此.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題16、(或?qū)懗?【解析】試題分析:設(shè),取中點(diǎn)則,因此,所以,因?yàn)樵趩握{(diào)遞增,最大值為所以單調(diào)增區(qū)間是,最大值為考點(diǎn):函數(shù)最值,函數(shù)單調(diào)區(qū)間三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ).0.2(Ⅱ)見解析,有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)(Ⅲ)見解析,【解析】
(Ⅰ)直接根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到答案.(Ⅱ)完善列聯(lián)表,計(jì)算,對(duì)比臨界值表得到答案.(Ⅲ)的取值為,計(jì)算概率得到分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(Ⅰ),解得.所以該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率.(Ⅱ)安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性163450女性44650合計(jì)2080100,所以有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)(Ⅲ)的取值為所以的分布列為期望.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn),分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)利用可得的遞推關(guān)系,從而可求其通項(xiàng).(2)由為等比數(shù)列可得,從而可得的通項(xiàng),利用錯(cuò)位相減法可得的前項(xiàng)和,利用不等式的性質(zhì)可證.【詳解】(1)由題意,得:(t為常數(shù),且),當(dāng)時(shí),得,得.由,故,,故.(2)由,由為等比數(shù)列可知:,又,故,化簡(jiǎn)得到,所以或(舍).所以,,則.設(shè)的前n項(xiàng)和為.則,相減可得【點(diǎn)睛】數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系式,我們常利用這個(gè)關(guān)系式實(shí)現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式,如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和,則用分組求和法;如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,則用錯(cuò)位相減法;如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差,那么用裂項(xiàng)相消法;如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn),則用并項(xiàng)求和法.19、(1);(2)詳見解析.【解析】
(1)由橢圓離心率、系數(shù)關(guān)系和已知點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建方程組,求得,代入標(biāo)準(zhǔn)方程中即可;(2)依題意,直線的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線的方程為,設(shè),,通過(guò)聯(lián)立直線方程與橢圓方程化簡(jiǎn)整理和中點(diǎn)的坐標(biāo)表示用含k的表達(dá)式表示,,進(jìn)而表示;由韋達(dá)定理表示根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)而表示用含k的表達(dá)式表示,最后做比即得證.【詳解】(1)設(shè)橢圓的焦距為,則,即,所以.依題意,,即,解得,所以,.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明:依題意,直線的斜率存在,且不為0,設(shè)其為,則直線的方程為,設(shè),.與橢圓聯(lián)立整理得,故所以,,所以.又,所以為定值,得證.【點(diǎn)睛】本題考查由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,還考查了橢圓中的定值問(wèn)題,屬于較難題.20、(Ⅰ)存在點(diǎn)滿足題意,且,證明詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)可考慮采用補(bǔ)形法,取的中點(diǎn)為,連接,可結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì),先證平面,即,若能證明,則可得證,可通過(guò)我們反推出點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置應(yīng)在處,進(jìn)而得證;(Ⅱ)采用建系法,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出兩平面對(duì)應(yīng)法向量,再結(jié)合向量夾角公式即可求解;【詳解】(Ⅰ)存在點(diǎn)滿足題意,且.證明如下:取的中點(diǎn)為,連接.則,所以平面.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以.在直三棱柱中,平面平面,且交線為,所以平面,所以.在平面內(nèi),,,所以,從而可得.又因?yàn)?,所以平?因?yàn)槠矫?,所以平面平?(Ⅱ)如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),
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