常微分方程試題庫(kù)

常微分方程

一、填空題

1.微分方程(變)"+變-^+—=0的階數(shù)是__________

dxdx

答：1

2.若M(x,y)和N(x,y)在矩形區(qū)域R內(nèi)是(x,y)的連續(xù)函數(shù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則

方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只與y有關(guān)的積分因子的充要條件是

受dM8N-1

答：考一菽)%)="(?

3.稱(chēng)為齊次方程，

答：形如位=gg)的方程

dxx

4.如果/(x,y)，則半=/(x,y)存在

ax

唯一的解),=e(x),定義于區(qū)間k-上,連續(xù)且滿(mǎn)足初始條件為=夕(%),其中

h=?

答：在R上連續(xù)且關(guān)于y滿(mǎn)足利普希茲條件/?=min(?,-)

m

5.對(duì)于任意的(國(guó)弘)，(羽打)eR(R為某一矩形區(qū)域)，若存在常數(shù)N(N>0)使

，則稱(chēng)/(x,y)在R上關(guān)于y滿(mǎn)足利普希茲條件.

答:\f(x,Ji)-f(x,y2)|<N\yx-y2|

6.方程也=/+丁2定義在矩形區(qū)域R：_2?X?2,-2?yW2上，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)的解的

dx

存在區(qū)間是___________________

答：-<x<-

44

7.若項(xiàng)⑺(i=1,2,.....n)是齊次線性方程的n個(gè)解,w(t)為其伏朗斯基行列式，則卬⑺滿(mǎn)足

一階線性方程___________________________________

答：加+《(。卬=0

8.若王⑺(i=1,2,.....〃)為齊次線性方程的一個(gè)基本解組，又f)為非齊次線性方程的一個(gè)

特解，則非齊次線性方程的所有解可表為

_，1_

答：X=Zc/j+X

1=1

9.若e(x)為畢卡逼近序歹{%(x)}的極限，則有W

10.稱(chēng)為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解又幻，則經(jīng)過(guò)變換

___________________，可化為伯努利方程.

答：形如④=p(x)y2+g(x)y+r(x)的方程y=z+y

dx

11.一個(gè)不可延展解的存在區(qū)間一定是___________區(qū)間.

答：開(kāi)

12.方程苴=77+1滿(mǎn)足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是______________.

dx

答：O={(x,y)eR2?>0},(或不含x軸的上半平面)

13.方程苴=/sin>的所有常數(shù)解是______________.

dr

答：y-kir,左=0,±1,±2,…

14.函數(shù)組0(x),%(x),…，化(x)在區(qū)間I上線性無(wú)關(guān)的條件是它們的朗

斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零.

答：充分

15.二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y(x),%(X)為方程的基本解組充分必要條件

是.

答：線性無(wú)關(guān)(或：它們的朗斯基行列式不等于零)

16.方程y"-2y'+y=0的基本解組是.

答：e\xe

17.若y=e(x)在(-8,+8)上連續(xù)，則方程位=e(x)y的任一非零解與

dr

x軸相交.

答：不能

18.在方程y"+p(x)y'+g(x)y=0中，如果p(x),q(x)在(-oo,+8)上連續(xù),那么它的

任一非零解在刈＞平面上與X軸相切.

答：不能

19.若y=/(x),丁=外(均是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們共同

零點(diǎn).

答：沒(méi)有

20.方程曳=向丁的常數(shù)解是_______________.

dr

答：y=±1

21.向量函數(shù)組K(X),y2a),---,y?(x)在其定義區(qū)間I上線性相關(guān)的條件是

它們的朗斯基行列式W(x)=o，xe/.

答：必要

22.方程生=/+V滿(mǎn)足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是.

dx

答：xoy平面

23.方程直y—i)dx+y(d-l)dy=0所有常數(shù)解是.

答：y=±l,x=±l

24.方程y"+4y=0的基本解組是.

答：sin2x,cos2x

25.一階微分方程的通解的圖像是維空間上的一族曲線.

答：2

二、單項(xiàng)選擇題

1.〃階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是(A)個(gè).

(A)n(B)n-\(C)n+\(D)n+2

2.如果/Xx,y）,皿立都在X”平面上連續(xù)，那么方程電=f（x,y）的任一解的存在

dydr

區(qū)間（D）.

(A)必為(一8,+00)(B)必為(0,+8)

(C)必為(-8,0)（D）將因解而定

3.方程苴滿(mǎn)足初值問(wèn)題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是（D）.

dx

（A）上半平面（B）平面

（C）下半平面（D）除y軸外的全平面

4.一階線性非齊次微分方程組的任兩個(gè)非零解之差（C）.

（A）不是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解（B）是非齊次微分方程組的解

（C）是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解（D）是非齊次微分方程組的通解

5.方程曳二行于過(guò)點(diǎn)（2,1）共有（B）個(gè)解.

dx2

（A）一（B）無(wú)數(shù)（C）兩（D）三

6.方程電=6二+2（B）奇解.

dx

（A）有三個(gè)（B）無(wú)（C）有一個(gè)（D）有兩個(gè)

7.〃階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（A）線性空間.

（A）〃維（B）〃+1維（C）九一1維（D）〃+2維

8.方程曳=3T過(guò)點(diǎn)（A）.

dx

（A）有無(wú)數(shù)個(gè)解（B）只有三個(gè)解（C）只有解y=o（D）只有兩個(gè)解

9.連續(xù)是保證/（x,y）對(duì)y滿(mǎn)足李普希茲條件的（B）條件.

（A）充分（B）充分必要（C）必要（D）必要非充分

10.二階線性非齊次微分方程的所有解C）.

（A）構(gòu)成一個(gè)2維線性空間（B）構(gòu)成一個(gè)3維線性空間

（C）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間（D）構(gòu)成一個(gè)無(wú)限維線性空間

ii.方程生=77的奇解是(D).

dx

(A)y=x(B)y=l(C)y=-1(D)y=0

12.若y=/(x),y=%(x)是一階線性非齊次微分方程的兩個(gè)不同特解，則該方程的

通解可用這兩個(gè)解表示為(C).

(A)0](x)—02(“)(B)(px(x)+(p2(x)

(C)C(^((x)-(p2(x))+(px(x)(D)C(p[(x)+(p2(x)

13./v'(x,y)連續(xù)是方程位=/(x,y)初值解唯一的(D)條件?

dx

(A)必要(B)必要非充分(C)充分必要(D)充分

14.方程位=77+1(C)奇解.

dx

(A)有一個(gè)(B)有兩個(gè)(C)無(wú)(D)有無(wú)數(shù)個(gè)

15.方程電=39過(guò)點(diǎn)(0,0)有(A).

ax

(A)無(wú)數(shù)個(gè)解(B)只有一個(gè)解(C)只有兩個(gè)解(D)只有三個(gè)解

三、求下列方程的通解或通積分

1.女=3

dxx+y、

?

解：dx^_x+y_x_+y2,則x=^Jy+c)所以x=—+cy

dyyyJ-2

另外y=O也是方程的解

2.求方程包=》+產(chǎn)經(jīng)過(guò)(0,0)的第三次近似解

dx

解：%0)=0

(P\(X)=「卜+(X)W=g/

(pAx)=[[x4-2(x)kr=-X2+—x54--—X11H----/

eJoL匕'療2204400160

3.討論方程包=V,y⑴=1的解的存在區(qū)間

dx

解：當(dāng)=公

y

兩邊積分-2=x+c

y

_i

所以方程的通解為y=—

x+c

故過(guò)y⑴=1的解為y=——

x-2

通過(guò)點(diǎn)(1,1)的解向左可以延拓到-8,但向右只能延拓到2,

所以解的存在區(qū)間為(-<?,2)

4.求方程律產(chǎn)+/一1=0的奇解

dx

解：利用p判別曲線得

,/+y2_l=0消去p得y2;］即y=±l

2P=0

所以方程的通解為y=sin(x+c),所以y=±l是方程的奇解

5.(cosx+—)dx+(----7)dy-0

yyy

解:篝7dN__2箓嚶,所以方程是恰當(dāng)方程.

du1

—=cosx+一

ky得X

u=sinxd---卜p(y)

—dv—-1----xy

辦yy2

du./、

—=2+*(y)所以0(y)=ln|y|

0y

故原方程的解為sinx+-+lny=c

6.y+y2-2ysinx=cosx-sin2x

解：y=-/+2ysinx+cosx-sin2X故方程為黎卡提方程.它的一個(gè)特解為

（舊1

y=sinx，令y=z+sinx,則方程可化為一=-z2,z=----

dxx+c

B|Jy-sinx=----,故y=sinxd——--

x+cx+c

7.（2孫2一3丁3Mx+（7-3孫2）力=o

解：兩邊同除以V得

7

2xdx-3ycbc+—dy-3xdy=0

y

7

dx2-d3xy-d—=0

y

所以/_3孫_'7=c,另外y=0也是方程的解

y

8dy=xy

dxl+x2

解當(dāng)丁聲0時(shí)，分離變量得

等式兩端積分得

ln|)；|=^ln(l+x2)+ln|C|

即通解為

y=cjl+%2

9.—+3y=e2x

dr

解齊次方程的通解為

y=Ce』

令非齊次方程的特解為

y=C(x)e⑶

代入原方程，確定出C(x)=-e5x+C

5

原方程的通解為

y^Ce-3x+-elx

5

10.-=y+xy5

dx

解方程兩端同乘以尸5,得

yT—=y-4+x

-dx'

令yY=z,則一4y-5包=生，代入上式，得

dxdx

1dz

--------------Z=X

4dx

通解為

z=Ce4x-x+-

4

原方程通解為

4=Ce-4.r_%+l

4

11.2xydx+(x2-y~)dy=0

解因?yàn)?L=2x=竺，所以原方程是全微分方程.

dydx

?。?，為）=（。，0），原方程的通積分為

J；2x_ydx-J（>2dy=C

即x2y-^>,3-C

12.?=>lny

dx

解：當(dāng)ywO,ywl時(shí)，分離變量取不定積分，得

fdx+C通積分為

JyinyJ

Iny=Cer

13.W+(y')2+3/=0

解原方程可化為

（?'+/），=（）

dy

于是y—+x2=G

dx

積分得通積分為

121,

Gx-qT+c2

則出=“+x%,代入原方程，得

解：令y=w,

dxdx

du八2

x——=71-u~

dx

分離變量，取不定積分，得

duf—+lnC(C/0)

1-M2JX

通積分為：arcsin—=InCx

x

15.空==taH

(lxXX

解令2="，則包=“+x也，代入原方程，得

xdxdx

dudu

u+x——=〃+tanu，x——=tanu

dxdx

當(dāng)tan”wO時(shí)，分離變量，再積分，得

(旦=隹+叩|

JtanwJx11

ln|sinw|=1B|A*|+ln|Cj

即通積分為：sin^=Cx

x

16.曳=2+1

drx

解：齊次方程的通解為

y=Cx

令非齊次方程的特解為

y=C(x)x

代入原方程，確定出C(x)=lnW+C

原方程的通解為

y=Cr+xln|x|

17.(x%，-y)dr+xdy=0

解積分因子為

/、1

〃(x)=—

X

原方程的通積分為

J：e—，)dx+「dy=G

即e，+)=C,C=e+C,

x

18.yy"+(y')2=0

解：原方程為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程，可改寫(xiě)為

(?')'=0

即

W=G

分離變量得

)dy=Cjdx

積分得通積分

=C,x+C2

19.yz(x-lnyr)=1

解令y，=p,則原方程的參數(shù)形式為

,1,

x=一+Inp

,P

y=P

由基本關(guān)系式包=/，有

dx

dy=y'dx=p?(V+—)dp

P~P

=(1--)dp

P

積分得y=〃-ln〃+C

得原方程參數(shù)形式通解為

1,

x-——I-Inp

,P

y=p-lnp+C

20.yy"+y'2+2x^0

解原方程可化為

(亞+號(hào)，=0

于是y-+x2

dx

積分得通積分為

3

(丁=CjX-^x+c2

21.(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0

解：由于跑=2孫=竺，所以原方程是全微分方程.

dydx

取(/，為)=(。，0)，原方程的通積分為

￡'(x3+Ay2)dr+[:y3dy=C,

即x4+2x2y2+y4=C

四、計(jì)算題

1.求方程y"-y=ge，的通解.

解對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為：

A2-1=0

特征根為：4=1,丸2=-1

故齊次方程的通解為：y=Ge*+C2e-

因?yàn)閍=1是單特征根.所以，設(shè)非齊次方程的特解為

必(x)=Are"

代入原方程，有24e*+Axe*-Ajce'=」e*,可解出A=-.

24

故原方程的通解為y=Ge*++&e'

2.求下列方程組的通解

也

了=*2>

電=3x+4y

Id/

解方程組的特征方程為

-1-;-2

…U3=0

4-2

即下_34+2=0

特征根為4=1,4=2

4=1對(duì)應(yīng)的解為

*]=%

一口」[仇一

其中《，仿是4=1對(duì)應(yīng)的特征向量的分量，滿(mǎn)足

-1-1一26710

仿

34Tl0

可解得q=l,d=-1.

同樣可算出4=2對(duì)應(yīng)的特征向量分量為a2=2,仇=-3.

所以，原方程組的通解為

3.求方程胃-5)，'=5山5%的通解.

解：方程的特征根為4=0,4=5

齊次方程的通解為y=G+Ge5-t

因?yàn)閍±"=±5i不是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為

y(x)=Asin5x+Bcos5x

代入原方程，比較系數(shù)得

-25A+258=1

[-25A-258=0

確定出A=-—,B=—

5050

原方程的通解為y=G+Ge”+*(cos5x-sin5x)

4.求方程y"-5y=-5〉的通解.

解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為十—54=0,

特征根為4=0,丸2=5,

齊次方程的通解為y=G+Ge5-"

因?yàn)椤?0是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為

%(x)=x(Ax2+Bx+C)

代入原方程，比較系數(shù)確定出

A=-,B=-,C=—

3525

原方程的通解為

y—C.+C,e"+—x3+—x2+--x

■3525

五、證明題

1.在方程業(yè)=/(y)°(y)中，已知/(>),“(X)在(-8,+8)上連續(xù)，且4±1)=0.求

dx

證：對(duì)任意X。和帆|<1,滿(mǎn)足初值條件y(x°)=y°的解yM的存在區(qū)間必為(-哈+8).

證明：由已知條件，該方程在整個(gè)xoy平面上滿(mǎn)足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件.

顯然y=±l是方程的兩個(gè)常數(shù)解.

任取初值(入0，凡)，其中X。6(-00,+8),|%|<1.記過(guò)該點(diǎn)的解為丁=y(x),由

上面分析可知，一方面y=y(x)可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)限延展；另一方面又上方不能穿

過(guò)y=l,下方不能穿過(guò)y=-l,否則與惟一性矛盾.故該解的存在區(qū)間必為(-8,+8).

2.設(shè)y=/(x)和y=Q(x)是方程y"+q(x?=O的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行

列式W(x)三C,其中C為常數(shù).

證明：如果y=叼(x)和y=%(九)是二階線性齊次方程

/+pMy'+q(x)y=0

的解，那么由劉維爾公式有

-fXpU)也

W(x)=W(Xo)eJ>0

現(xiàn)在，p(x)三0故有

-fbd,

W(x)=W(x0)e=W(x0)=C

3.在方程y"+p(x)y+q(x)y=0中,已知p(x),q(x)在(-oo,+8)上連續(xù).求證：該方

程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切.

證明：由已知條件可知，該方程滿(mǎn)足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件，且任一解的存

在區(qū)間都是(-00,+00).

顯然，該方程有零解y(x)三0.

假設(shè)該方程的任一非零解必(x)在x軸上某點(diǎn)4處與x軸相切，即有

%(入0)=乂(%)=0，那么由解的惟一性及該方程有零解y(x)=0可知

M(x)三0,xe(YO,+8),這是因?yàn)榱憬庖矟M(mǎn)足初值條件x(Xo)=乂(%)=0,于是由解的

惟一性，有y(x)三y(x)三0,