中考數(shù)學-二次函數(shù)面積相關(guān)綜合問題(函數(shù))(含解析)

2019-2020全國各地中考數(shù)學壓軸大題函數(shù)綜合

二次函數(shù)面積相關(guān)綜合問題

1.(2019?黃石)如圖，已知拋物線>=工2+法+。經(jīng)過點A(-1,0)、B(5,0).

.3

(1)求拋物線的解析式，并寫出頂點M的坐標;

(2)若點C在拋物線上，且點C的橫坐標為8,求四邊形AM3C的面積;

(3)定點。(0,m)在y軸上，若將拋物線的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到一條

新的拋物線，點P在新的拋物線上運動，求定點。與動點P之間距離的最小值d(用含機的代數(shù)式表示)

—(x2-4x-5)=^x2-Ax--.

3333

點M坐標為(2,-3)；

(2)當x=8時，y=L(x+1)(x-5)=9,即點C(8,9),

,3

S四邊形1AB(yc?)=L<6X(9+3)=36；

22

(3)y——(x+1)(x-5)—(x2-4%-5)(x-2)2-3,

333

拋物線的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到一條新的拋物線,

則新拋物線表達式為：>=天

3

則定點D與動點P之間距離PDx2+(mVx2)2=得.)

?；L〉o,尸。有最小值，當幺=3加-2時,

92

1

即最小值4匹1=粵1

2.(2019?武漢)已知拋物線G：y=(x-1)2-4和。2：>=，

(1)如何將拋物線G平移得到拋物線G?

(2)如圖1,拋物線Ci與x軸正半軸交于點A,直線y=經(jīng)過點A,交拋物線Ci于另一點8.請

3

你在線段上取點尸，過點P作直線尸。〃y軸交拋物線Ci于點。，連接A。.

①若AP=AQf求點P的橫坐標；

②若鞏=尸。直接寫出點尸的橫坐標.

(3)如圖2,ZiMNE的頂點M、N在拋物線。2上，點M在點N右邊，兩條直線ME、N￡與拋物線。2

均有唯一公共點，ME、NE均與y軸不平行.若△拉NE的面積為2,設M、N兩點的橫坐標分別為小

n,求相與〃的數(shù)量關(guān)系.

解：(l)y=(X-1)2-4向左評移1個單位長度，再向上平移4個單位長度即可得到y(tǒng)=f；

(2)y=(x-1)2-4與x軸正半軸的交點A(3,0),

直線y=-經(jīng)過點A,

3

；?。=4,

,?.y=-￡+4,

3

y=--x+4與y=(x-1)2-4的交點為-￡+4=(x-1)2-4的解,

33

?\%=3或x=——,

3

：.B(-工，旦)，

39

設尸0,-鄉(xiāng)+4),且-2</V3,

33

?；尸?！ǘ≥S，

2

：.Q(t,產(chǎn)-2f-3),

①當AP=A。時，

|4-魚|=|產(chǎn)-2t-3\,

3

貝！|有-4+￡=P-2f-3,

3

???l1一1—,

3

點橫坐標為L；

3

②當4P=P。時，

PQ=-產(chǎn)+Z+7,PA=^.(3-t),

33

-尸+Z?+7=3(3_t),

33

'.t=-—■

3

；.尸點橫坐標為-Z；

3

(3)設經(jīng)過M與N的直線解析式為(x-m)+m2,

r-2

.y=x

y=k(x-m)+in2

則有x2-kx+km-川=0,

△=F-4^m+4m2=Qk-2m)2=0,

??k=2m,

直線ME的解析式為y=2mx-m2,直線NE的解析式為y=2nx-n2,

...E(亞蛆_,mn),

2

222(m2-mn)x(m-業(yè)也)

/.—[(n-mn)+(m-mn)]x(m-n)--(n-mn)x(肘n_n)--L

22222

=2,

/.(m-n)3-11rl~"n)”=%

2

/.(m-n)3=8,

Am-〃=2；

3.(2019?十堰)已知拋物線(x-2)2+c經(jīng)過點A(-2,0)和C(0,卷),與X軸交于另一點5,頂

3

點為D.

(1)求拋物線的解析式，并寫出。點的坐標；

(2)如圖，點E,尸分別在線段AB,BD上(E點不與A,8重合)，且則△OEF能否為

等腰三角形？若能，求出8E的長；若不能，請說明理由；

(3)若點尸在拋物線上，且■^理=根，試確定滿足條件的點P的個數(shù).

^ACBD

__3_

解得/方，

Lc=3

二拋物線的解析式為y=-磊■(x-2)2+3,

二頂點。坐標(2,3).

：.AB=8,AD=BD=5,

①當DE=DF時,ZDFE=ZDEF=ZABD,

：.EF//AB,此時E與2重合，與條件矛盾，不成立.

②當OE=E/時，

4

:.叢BEF空叢AED,

：.BE=AD=5

③當DF=EF時，ZEDF=ZDEF=NDAB=NDBA,

△FDEsADAB,

?EF=DE

"BDAB"

???1—E—F_BD,_5,

DEAB8

LAEFsLBCE

?EB=EF=5

"ADDEW，

:.EB=^AD=2^,,

88

答：當BE的長為5或空時，ACFE為等腰三角形.

8

(3)如圖2中，連接8。，當點尸在線段2。的右側(cè)時，作于連接PD,PH,PB.設尸[小

貝U&PBD=S足PBW+SAPDH~SABDW=-^-X4X[-§-2)2+3]+-^-><3x(〃-2)--1_X4X3=-—(力-4)~+—,

2162282

."=4時，△PB3的面積的最大值為上，

2

???/「BD=小

^ACBD

3,

...當點P在2。的右側(cè)時，冽的最大值=4=L,

13

2

觀察圖象可知：當。＜機＜工時，滿足條件的點P的個數(shù)有4個,

3

當初=工時，滿足條件的點尸的個數(shù)有3個，

3

5

當山＞工時，滿足條件的點P的個數(shù)有2個（此時點P在BO的左側(cè)）.

3

4.（2019?荊門）已知拋物線尸五+法+。頂點（2,-1）,經(jīng)過點（0,3）,且與直線y=x-1交于A,8兩

點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若在拋物線上恰好存在三點。，M,N,滿足SA2AB=SAMO=SANAB=S,求S的值；

（3）在A,B之間的拋物線弧上是否存在點P滿足/AP8=90。？若存在，求點尸的橫坐標；若不存在,

請說明理由.

（坐標平面內(nèi)兩點M（尤1,%）,N（X2,＞2）之間的距離MN=J（X]-乂2）2+（了]-了2）2）

解：（1）:拋物線的頂點為（2,-1）

，頂點式為y=a（x-2）2-1

?..拋物線經(jīng)過點C（0,3）

：.4a-1=3

解得：a=l

.?.拋物線的解析式為＞=（x-2）2-l=f-4x+3

⑵6x2-4x+3解得/xi=l,「2=4

Ly=x-1卜1=°1力=3

AA（1,0）,B（4,3）

**,AB=V（4-l）2+32=^[2

設直線y=x-1與y軸交于點E,則E（0,-1）

：.OA=OE=1

：.ZAEO=45°

?sAQAB=SAMAB=SANAB=S

???點Q、M、N到直線A3的距離相等

如圖，假設點M、N在直線AB上方，點。在直線A3下方

MN//AB時，總有SAMAB~S^NAB—S

要使只有一個點Q在直線AB下方滿足$△QAB=S,則Q到AB距離必須最大

過點。作。。〃丁軸交A3于點CQDLA3于點。

：.ZCDQ=90°,ZDCQ=ZAEO=45°

6

，△CD。是等腰直角三角形

:.DQ=*CQ

設。。，［-4汁3)貝UC(f,t-1)

：.CQ=t-1-(產(chǎn)-4f+3)=-產(chǎn)+5f-4=-(f-51+③

24

.1=5時，c0最大值為2

24

:.DQ最大值為返

248

.，.S=SAQAB=^-AB'DQ=A-x3^2X—

2288

(3)存在點P滿足NAP8=90。.

VZAPS=90°,AB=3A/2

:.AP2+BP2=AB2

設尸(p,p2-4p+3)(l<p<4)

.\AP2=Qp-l)2+(p2-4p+3)2=p4-8夕3+23夕2-26p+10,BP2=(p-4)2+(/-4P+3-3)2="_Sp3+17p2

-8P+16

.*.p4-8夕3+23,2-26〃+10+p4-8P3+1772-8P+16=(3^^)2

整理得：p4-8P3+20.2一I7p+4=O

夕2(p2-8p+16)+4p2-177+4=0

p2Qp-4)2+(4p-1)(72-4)=0

(p-4)[p2(p-4)+(4〃-1)]=0

\><4

：.p-4ro

：.p2(/?-4)+(4p-1)=0

展開得：p3~4p2+4p-1=0

(p3-l)-(4p2-4p)=0

(〃-1)(夕2+p+l)-4p(72-I)=0

(p-1)(p2+p+l-4p)=0

\>>1

：.p-1^0

7

，p2+p+i-4P=0

解得：pi=2巫，02=三豆(舍去)

22

二點P橫坐標為3十遍時,滿足NAPB=90。.

5.(2019?荊州)若二次函數(shù)y=a^+bx+c(際0)圖象的頂點在一次函數(shù)y=kx+t(^0)的圖象上，則稱y

—ar+bx+c("0)為〉=日+/(/#0)的伴隨函數(shù)，如：＞=/+1是y=x+l的伴隨函數(shù).

⑴若＞=/-4是y=-x+p的伴隨函數(shù)，求直線y=-x+p與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若函數(shù)y=?u-36〃邦)的伴隨函數(shù)＞=爐+2尤+〃與x軸兩個交點間的距離為4,求加，〃的值.

解：：y=1-4,

；?其頂點坐標為(0,-4),

-4是y=-x+p的伴隨函數(shù)，

(0,-4)在一次函數(shù)y=-x+0的圖象上，

/.-4=0+p.

；?p=-4,

,一次函數(shù)為：-X-4,

???一次函數(shù)與坐標軸的交點分別為(0,-4),(-4,0),

?,.直線y=-工+'與兩坐標軸圍成的三角形的兩直角邊都為|-4|=4,

；?直線y=-x+p與兩坐標軸圍成的三角形的面積為：A-x4X4=8,

(2)設函數(shù)y=f+2x+〃與x軸兩個交點的橫坐標分別為為，處則％1+、2=-2,x\X2=n,

2_=,

??|x1-x2l^(x1+x2)4x1x2V4-4n

??,函數(shù)+21+幾與X軸兩個交點間的距離為4,

V4-4n-4,

解得，n=-3,

?,?函數(shù)y=/+2x+"為：y=f+2x-3=(x+1)2-4,

8

，其頂點坐標為(-1,-4),

''y=j^+2x+ny=mx-36*0)的伴隨函數(shù)，

-4=-m-3,

??Z7t=1.

6.(2019?衡陽)如圖，二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象與無軸交于點A(-1,0)和點B(3,0),與y軸交于

點N,以A8為邊在x軸上方作正方形A2CD,點P是x軸上一動點，連接CP,過點尸作CP的垂線與

y軸交于點E.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式；

(2)當點P在線段08(點尸不與。、8重合)上運動至何處時，線段OE的長有最大值？并求出這個

最大值；

(3)在第四象限的拋物線上任取一點連接MN、MB.請問：AMBN的面積是否存在最大值？若存

在，求出此時點/的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)):拋物線〉=/+尿+。經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),

把43兩點坐標代入上式，[lf+c=°,

[9+3b+c=0

解得：產(chǎn)-2,

lc=-3

故拋物線函數(shù)關(guān)系表達式為-2x-3；

(2)VA(-1,0),點8(3,0),

???A5=0A+08=1+3=4,

???正方形ABC。中，ZABC=90°,PCLBE,

；?NOPE+NCPB=90。,

NCPB+/PCB=90。,

：?/OPE=NPCB,

9

又；NEOP=NPBC=90°,

:ZOEsMBP,

-BC_0P

，'PB'=OE，

設OP=x,貝UPB=3-x,

?4_x

,?3-x=0E'

.*.O￡=X(_X2+3X)__L2+卷

V0<x<3,

x/■時，線段?！觊L有最大值，最大值為a.

216

即。尸=3時，線段OE有最大值.最大值是a.

216

(3)存在.

如圖，過點M作必/〃y軸交2N于點"，

?..拋物線的解析式為y=1-2尤-3,

X

/.x=0,y=-3,

???N點坐標為（0,-3）,

設直線BN的解析式為y=kx+b,

?j3k+b=0,

,lb=-3

?,?直線BN的解析式為y=x-3,

設M（a,a2-2a-3）,則〃（。，a-3）,

:?MH=a-3-（序-2〃-3）=-?2+3?,

10

.__1_12

==

S&MNB=S4BMH+SAMNHyMH'OByX(-a”+3a)X3

V4<0,

2

.?.a=3時，AMBN的面積有最大值，最大值是空，此時M點的坐標為(W,三立)

2824

7.(2019?常德)如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A(1,4),與坐標軸交于2、C、D三點,且B點

的坐標為(-1,0).

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N,且點N在點M的左側(cè)，過M、N作無軸的垂

線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值;

(3)當矩形MM/G的周長最大時，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點P,使△PNC的面積是矩形

面積的且？若存在，求出該點的橫坐標；若不存在，請說明理由.

將點2的坐標代入上式得：0=4°+4,解得：a=-1,

故函數(shù)表達式為：y=-f+2x+3…①；

(2)設點M的坐標為(x,-/+2x+3),則點N(2-x,-/+2x+3),

貝I]MN=x-2+x=2尤-2,GM=-/+2x+3,

矩形MNHG的周長C=2MN+2GM=2(2x-2)+2(-/+2尤+3)=-2/+8x+2,

V-2<0,故當X=--L=2,C有最大值，最大值為10,

2a

此時x=2,點N(O,3)與點。重合；

(3)△PNC的面積是矩形MM/G面積的W,

16

貝USAPNC=&<MNXGM=-LX2X3=2L,

16168

連接DC,在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n,

11

過點P作y軸的平行線交。、直線"于點”、G,即P”=GH,

過點P作PK〃LCD于點K,

將C（3,0）、D（0,3）坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線CD的表達式為：y=-x+3,

OC^OD,：.ZOCD=ZODC=45°=ZPHK,CD=3?

設點尸（x,-記+2云+3）,則點H（x,-x+3）,

S&/wc=Z^=L<PKxCr>=L<PHxsin45°x3&,

822

解得：PH="HG,

4

貝!]PH=-/+2無+3+x-3=2，

4

解得：X=—,

2

故點p（3,型），

24

直線n的表達式為：y=~x+3--=-x+?…②，

44

聯(lián)立①②并解得：》=3±3二,

2

即點尸‘、尸"的坐標分別為（絲返，,136J2）、（空運，二3+6憶;

2424

故點P坐標為：（3,坨）或（3+3、②二3-6返）或（3-3、巨二科」返）.

242424

8.（2019?益陽）在平面直角坐標系尤0y中，頂點為A的拋物線與x軸交于8、C兩點，與y軸交于點。，

已知A（1,4）,B（3,0）.

（1）求拋物線對應的二次函數(shù)表達式；

（2）探究：如圖1,連接04作。E〃04交BA的延長線于點E,連接OE交A。于點RM是8E的

中點，則是否將四邊形08AD分成面積相等的兩部分？請說明理由；

（3）應用：如圖2,PCm,“）是拋物線在第四象限的圖象上的點，且加+”=-1,連接E4、PC,在線

12

段PC上確定一點使AN平分四邊形AOCP的面積，求點N的坐標.

提示：若點A、B的坐標分別為(為，?)、(&，y2),則線段的中點坐標為(其止絲,力+”).

解：(1)函數(shù)表達式為：y=a(%-1)2+4,

將點8坐標的坐標代入上式得：0=。(3-1)2+4,

解得：a=-1,

故拋物線的表達式為：y=-f+2%-3；

(2)0M將四邊形0區(qū)4。分成面積相等的兩部分，理由:

如圖1,9,DE//AOySAODA~OEA，

SAODA+S^AOM=SAOEA+S^AOM，艮口：S四邊形OMAD=SAOBM^

SAOME=SAOBM，

?,?S四邊形OAMO=5\OBM;

(3)設點P(m,n),n=-m2+2m+3,而m+n=-1,

解得：加=-1或4,故點P(4,-5)；

如圖2,故點。作QD〃AC交尸。的延長線于點Q,

圖2

13

由(2)知：點N是尸。的中點，

將點C(-1,0)、P(4,-5)的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得:

直線PC的表達式為：y=-x-l…①，

同理直線AC的表達式為：y=2x+2,

DQ//CA,且直線。。經(jīng)過點￡>(0,3),

同理可得直線的表達式為：y=2尤+3…②，

聯(lián)立①②并解得：x=-即點。(-2，1),

333

:點N是P。的中點，

由中點公式得：點N(2，-2).

33

9.(2019?湘西州)如圖，拋物線>=加+加(?！?)過點E(8,0),矩形A8CD的邊A2在線段OE上(點

A在點8的左側(cè))，點C、。在拋物線上，NBAD的平分線AM交于點點N是CD的中點，已知

OA=2,且。A：A￡)=l：3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)F、G分別為無軸，y軸上的動點，順次連接M、N、G、尸構(gòu)成四邊形MNGF,求四邊形MNGF周

長的最小值；

(3)在無軸下方且在拋物線上是否存在點P,使小ODP中OD邊上的高為殳叵？若存在，求出點P

的坐標；若不存在，請說明理由；

(4)矩形A8C。不動，將拋物線向右平移，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點K、L且直線KL

平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離.

解：(1)?.,點A在線段OE上，E(8,0),OA=2

AA(2,0)

\'OA：AD=1：3

14

：.AD=3OA=6

???四邊形ABC。是矩形

：.AD±AB

：.D(2,-6)

?拋物線丫=。/+版經(jīng)過點。、E

(1

...[4a+2b=-6解得：a7

l64a+8b=0卜=-4

拋物線的解析式為y=?-4x

2

(2)如圖1,作點M關(guān)于無軸的對稱點點M1,作點N關(guān)于y軸的對稱點點N,連接網(wǎng)卬、GN、MN

-4x=—(x-4)2-8

■22

拋物線對稱軸為直線X=4

?.?點C、。在拋物線上，且C￡)〃x軸，D(2,-6)

''yc—yD--6,即點C、。關(guān)于直線x=4對稱

：即

.xc=4+(4-XD)=4+4-2=6,C(6,-6)

：.AB^CD=4,B(6,0)

：AM平分/BAO,ZBAD=ZABM=90°

：.NA4M=45°

：.BM=AB=4

：.M(6,-4)

?..點M、Af關(guān)于x軸對稱，點廠在x軸上

：.M(6,4),FM=FM

為CO中點

：.N(4,-6)

,:點、N、N關(guān)于y軸對稱，點G在y軸上

:.N(-4,-6),GN=GN

：.C四邊形MNGF=MN+NG+GF+FM=MN+NG+GF+FM

?.?當P、G、N在同一直線上時，NG+GF+FM^MN最小

12

C四邊彩MNGF=MN+MN=y(6-4)2+(_4+6)2T(6+4)2+(4+6)2=2^2+10&=V2

15

四邊形MNGF周長最小值為1272.

(3)存在點P,使△OOP中。。邊上的高為$叵.

5

過點P作PE//y軸交直線OD于點E

,：D(2,-6)

?二OD=Q[2+62=2410,直線OD解析式為y=~3x

設點P坐標為(3X2-4r)(0<Z<8),則點E。，-3/)

2

①如圖2,當0<f<2時，點尸在點。左側(cè)

/.PE=yE-yp—~3t-(JL/2-4/)=-^-P+t

22

SAODP=SAOPE+SADPE~—PE*xp+—PE9(XD-xp)=—PE(%P+切-xp)=—PE*XD=PE=-

22222

△OOP中OD邊上的高h=

5

**?SAODP=—OD*h

2

/.-=_Lx2</lQx^Zl2.

225

方程無解

②如圖3,當2<f<8時，點尸在點。右側(cè)

.'.PE—yp-yE—^-t2-4r-(-30—^-t2-t

22

SAODP=SAOPE_5ADPE=—PE*xp-—PE*(xp-XD)=—PE(xp-XP+XD)=—PEuXD=PE=^-i1-t

22222

.?工-口2工曳匝

225

解得：fi=-4(舍去)，々=6

：.P(6,-6)

綜上所述，點P坐標為(6,-6)滿足使△ODP中OD邊上的高為殳叵.

5

(4)設拋物線向右平移機個單位長度后與矩形有交點K、L

,:KL平分矩形ABCD的面積

；.K在線段AB上，L在線段C￡>上，如圖4

：.K(m,0),L(2+徵,-6)

連接AC，交KL于點、H

16

**SAACD=S四邊形A￡)LK="^S矩形A5C。

2

*?SAAHK=S>CHL

：AK//LC

4AHKSACHL

.SAAHK悝)2=1

-SACHLCH

\AH=CH,即點”為AC中點

,.H(4,-3)也是KI中點

?m+2+m.

.^-=4

*.m=3

,?拋物線平移的距離為3個單位長度.

17

10.(2019?常州)如圖，二次函數(shù)y=-x2+6x+3的圖象與X軸交于點A、B,與y軸交于點C,點A的坐標

為(-1,0),點。為0c的中點，點P在拋物線上.

(1)b=2；

(2)若點尸在第一象限，過點P作軸，垂足為“，PH與BC、8。分別交于點M、N.是否存在

這樣的點尸，使得PM=MN=AW?若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)若點P的橫坐標小于3,過點尸作PQVBD,垂足為Q,直線PQ與無軸交于點K,且SAP°B=2SA”小

求點P的坐標.

-1-b+3=0

解得：b=2

故答案為：2.

(2)存在滿足條件呢的點尸，使得PM=MN=NH.

V二次函數(shù)解析式為y=-^+2了+3

當x=0時y=3,

：.C(0,3)

當y=0時，-e+2工+3=0

解得：尤i=-1,忿=3

.,.A(-1,0),B(3,0)

直線BC的解析式為y=-尤+3

?點D為OC的中點，

：.D(0,工)

2

直線BD的解析式為丫=-'x+y

18

設P(f,-1+2什3)(0<f<3),則-t+3),Nd,-L+S),HG,0)

22

:.PM=-P+2t+3-(-什3)=-尸+3r,MN=-f+3-(-Xr+A)=-L+旦，NH=-

222222

：.MN=NH

■:PM=MN

/.-於+3/=-Xr+J.

22

解得：n=—,f2=3（舍去）

2

:.P（-L,互

24

；.尸的坐標為（!，匹），使得PM=MN=NH.

24

（3）過點尸作P/U.X軸于尸，交直線8。于E

'：OB=3,OD=i,ZBOD=9Q°

2

**,SD=VOB2+OD2=

OB二3二2旗

/.cosZOBD=

而二道二5

2

-JPQLBD于點。，PF±x軸于點F

：.NPQE=/BQR=NPFR=90°

：.ZPRF+ZOBD=ZPRF+ZEPQ=90°

NEPQ=NOBD,即cosZEPQ=cosZOBD=

在R3PQE中，cos/E尸。=里/遙

PE-5

:.PQ=2辰PE

5

在RtAPFR中，cosZRPF^-2a^

PR-5

5

,:SXPQB=2SAQRB，5APQB=—BQ*PQ,QRB=—BQ*QR

22

:.PQ=2QR

設直線BD與拋物線交于點G

19

,/--Y+—=-^+2^+3,解得：龍i=3（即點B橫坐標），X2=~—

222

.?.點G橫坐標為-工

2

設尸（/,-產(chǎn)+2f+3）G<3）,貝！|￡（t,-L+3）

22

：.PF=\-產(chǎn)+2什3|,PE=\--+2f+3-（-L+W）|=|-

2222

①若-L<r<3,則點P在直線8。上方，如圖2,

2

:.PF=-產(chǎn)+2f+3,PE=-5+且+芻

22

,:PQ=2QR

；.尸。="|_尸7?

2娓PE=工叵PF,即6PE=5PF

532

/.6（-產(chǎn)+_^j+W）=5（-5+2/+3）

22

解得：0=2,亥=3（舍去）

：.P（2,3）

②若則點尸在x軸上方、直線2。下方，如圖3,

2

此時，PQ<QR,即SAPQB=2SAORB不成立.

③若r<-l,則點尸在x軸下方，如圖4,

：.PF=-（-產(chǎn)+2/+3）=--2f-3,PE=-L+鄉(xiāng)-（-產(chǎn)+2f+3）=--鄉(xiāng)-8

2222

,：PQ=2QR

：.PQ=2PR

.?.空巨PE=2?近_PF,BP2PE=5PF

52

.".2（p-N-W）=5（戶-2f-3）

22

解得：tl=-t2=3（舍去）

3

：.p（-A,-11）

39

綜上所述，點P坐標為（2,3）或（-魚-11）.

39

20

11.(2019?蘇州)如圖①，拋物線y=-/+(a+1)x-a與x軸交于A,8兩點(點A位于點8的左側(cè))，與

y軸交于點C.已知AABC的面積是6.

(1)求a的值;

(2)求△ABC外接圓圓心的坐標;

(3)如圖②，尸是拋物線上一點，。為射線C4上一點，且P、。兩點均在第三象限內(nèi)，Q、A是位于直

線2尸同側(cè)的不同兩點，若點尸到x軸的距離為d,AOPB的面積為2d,且/以。=/4。2,求點。的

圖①

".-y=-—+(fl+1)x-a

令y=0,即-r+(a+1)尤-a=0

21

解得修=〃，X2=l

由圖象知：a<0

AA(m0),B(1,0)

?ABC=6

,?y(l-a)(-a)=6

解得：〃=-3,(a=4舍去)

(2)設直線ACy=kx+b,

由A(-3,0),C(0,3),

可得-3左+。=0,且。=3

/.k=1

即直線AC：y=x+3,

A、C的中點D坐標為(-S,W)

22

線段AC的垂直平分線解析式為：y=-尤,

線段AB的垂直平分線為工=-1

代入y=-x,

解得：y=l

.?.△ABC外接圓圓心的坐標(-1,1)

圖②

作PM_Lx軸，則

s為AP事WM、X4Xd

22

S-

■APQBSA.尸AC

；.A、。到PB的距離相等，J.AQ//PB

設直線尸8解析式為：y=x+6

?.?直線經(jīng)過點8（1,0）

所以：直線尸3的解析式為>=尤-1

聯(lián)立［J尸一X2-2x+3

.y=x-l

解得：卜二一4

ly=-5

；.點尸坐標為（-4,-5）

又?.?/B4Q=NAQB

可得：△PBQ出LABP（A4S）

：.PQ=AB^4

設。（”2,機+3）

由PQ=4得：

（irrl-4）2+（irrl-3+5）2=42

解得：m=-4,m=-8（舍去）

Q坐標為（-4,-1）

12.（2019?淮安）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與無軸交于A、8兩點，。為頂點，其中點B的坐標為（5,0）,

點。的坐標為（1,3）.

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）點E是線段8。上的一點，過點E作無軸的垂線，垂足為尸，且ED=EF,求點E的坐標.

（3）試問在該二次函數(shù)圖象上是否存在點G,使得AAOG的面積是ABOG的面積的上？若存在，求出

5

點G的坐標；若不存在，請說明理由.

23

解：（1）依題意，設二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）2+3

將點8代入得0=。（5-1）2+3,得

16

...二次函數(shù)的表達式為：y=-A（x-1）2+3

16

（2）依題意，點2（5,0）,點。（1,3）,設直線2。的解析式為y=fcv+6

代入得信心解得

線段BD所在的直線為y=等+竽，

設點E的坐標為：（尤，-X.r+Ai）

44

：.ED2=（x-1）2+（-當+至-3）2

44

EF=4X+T）2

?；ED=EF

：.（x-1）2+（-率+普-3）2=

整理得及+5%-25=0

解得制=a，x2=-5（舍去）

2

故點E的縱坐標為y=號x?■+"竽"=號

.?.點￡的坐標為（5,至）

（3）存在點G,

設點G的坐標為（尤，r）

.點8的坐標為（5,0）,對稱軸尤=1

.,.點A的坐標為（-3,0）

24

，設AD所在的直線解析式為y=kx+b

代入得｛鼠+b

直線AQ的解析式為y=,x居

：.AD的距離為5

點G到AD的距離為：%=Ax+ByK=紅毒生

5

由（2）知直線3。的解析式為：y=至，

44

.?.2D的距離為5

...同理得點G至BD的距離為：4=A：+By+C=3x+4t+15

5

...S/kAPG_皿’力,2—3x-4t+9=3

S/kBDGBD?d23x+4t+155

整理得5x-32f+90=0

?.?點G在二次函數(shù)上，

',t=-T^-（X-1）2+3

16

代入得5x-32[-（x-1）2+3]+90=0

16

整理得6--7%=06（6x-7）=0

解得即=0，X2=—

6

此時點G的坐標為（0,駕）或（工，旦?）

166192

13.（2019?棗莊）已知拋物線尸加+*+4的對稱軸是直線x=3,與x軸相交于A,8兩點（點8在點A

右側(cè)），與y軸交于點C.

25

yy

圖1圖2

（1）求拋物線的解析式和A,8兩點的坐標；

（2）如圖1,若點尸是拋物線上2、C兩點之間的一個動點（不與2、C重合），是否存在點尸，使四邊

形HBOC的面積最大？若存在，求點P的坐標及四邊形P80C面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2,若點M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線于點N,當MN=3時，

求點M的坐標.

解：（1）???拋物線的對稱軸是直線x=3,

3_

-上―=3,解得a=-X,

2a4

.??拋物線的解析式為：>=-h+當+4.

42

當y=0時，-L2+當+4=0,解得xi=-2,必=8,

42

.,.點A的坐標為（-2,0）,點3的坐標為（8,0）.

答：拋物線的解析式為：y=-工『+工+4；點A的坐標為（-2,0）,點8的坐標為（8,0）.

42

（2）當x=0時，/=-工/+當+4=4,

42

.,.點C的坐標為（0,4）.

設直線BC的解析式為y=fcv+b（厚0）,將2（8,0）,C（0,4）代入y=fcr+6得

（1

件+b”解得卜二萬

直線BC的解析式為y=-Xc+4.

假設存在點P，使四邊形PBOC的面積最大，

設點尸的坐標為（尤，-打+工+4）,如圖所示，過點P作尸D〃y軸，交直線BC于點則點。的坐

42

26

標為(x,-L:+4),