2022-2023學年福建省廈門市高二（下）期末數(shù)學試卷

2022-2023學年福建省廈門市高二（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。15分）等比數(shù)列{an}中，a1＝16，a2a4＝16，則a5=()25分）直線x+y+1＝0被圓x2+y2＝1所截得的弦長為()35分）在（1+2x）5的展開式中，x3的系數(shù)為()A．8B．10C．8045分）試驗測得四組成對數(shù)據(jù)（xi，yi）的值分別為(﹣110，11，22，4由此可得y關于x得y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y=1.6x+a根據(jù)經(jīng)驗回歸方程預測，當x＝5時，y=()A．8.4B．8.6C．8.755分）甲、乙兩選手進行乒乓球比賽，采取五局三勝制（先勝三局者獲勝，比賽結(jié)束如果每局比賽甲獲勝的概率為p（0＜p＜1乙獲勝的概率為1﹣p，則甲選手以3：1獲勝的概率為()A．Cp3(1?p)B．Cp2(1?p)C．Cp3(1?p)D．p3（1﹣p）65分）如圖，太陽灶是一種將太陽光反射至一點用來加熱水或食物的設備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，已知太陽灶的口徑（直徑）為4m，深度為0.5m，則該拋物線頂點到焦點的距離為()A．0.25mB．0.5mC．1mD．2m75分）把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，O，E，F(xiàn)分別為AC，AD，BC的中點，則折紙后∠EOF的大小為()85分）直線l與兩條曲線y＝ex+1和y＝ex+1均相切，則l的斜率為()二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。（多選）95分）函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，則()A．f（x）在區(qū)間（x2，x3）上單調(diào)遞減B．f（x）在x＝x2處取得極大值C．f（x）在區(qū)間（a，b）上有2個極大值點D．f（x）在x＝x1處取得最大值（多選）105分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，則()A．AC⊥B1DB．A1C1∥平面B1CDC．三棱錐C1﹣B1CD的體積為D．C1到平面B1CD的距離為（多選）115分）設A、B是隨機試驗的兩個事件，P(A)=，P(B)=，P(A∪B)=，則()A．事件A與事件B互斥B．事件A與事件B相互獨立C．P(A|B)=D．P(AB)=（多選）125分）在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1(﹣11F2（1，1動點P滿足|PF1|+|PF2|＝4，則()A．P的軌跡方程為+=1B．P的軌跡關于直線y＝x對稱D．P的橫坐標的取值范圍為[?3，3]三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。→135分）已知直線l的一個方向向量=(m，1，3)，平面α的m+n=.145分）已知雙曲線C：=1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y=±2x，則C的離心率承包方式（用數(shù)字作答）.165分）畢達哥拉斯樹的生長方式如下：以邊長為1的正方形的一邊作為斜邊，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形，得到2個新的小正方形，實現(xiàn)了一次生長，再將這兩個小正方形各按照上述方式生長，如此重復下去，則第n次生長得到的小正方形的周長的和為；11次生長后所有小正方形（包括第一個正方形）的周長的總和四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1710分）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，其前n項和為Sn，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，且S6＝36.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）記Tn=++?+，求證：Tn＜.1812分）隨著全球新能源汽車市場蓬勃發(fā)展，中國在十余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年位居世界第一．某新能源汽車企業(yè)改進并生產(chǎn)了某款純電動車，該款電動車有白色和紅色．為研究購車顧客的性別是否與其購買的車輛顏色有關，公司研究團隊利用隨機抽樣的方法收集了購買該車型的男生和女生各60人的數(shù)據(jù)，得到成對樣本數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結(jié)果，如下表所示：性別車輛顏色紅色女生4020男生50（1）依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為購車顧客的性別與其購買的車輛顏色有關聯(lián)？（2）現(xiàn)從上述購買白色車輛的90名顧客中按性別比例分配的分層隨機抽樣抽取9人，從購買紅色車輛的30名顧客中按性別比例分配的分層隨機抽樣抽取3人，并從這12人中依次抽取2人作為幸運嘉賓，d臨界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281912分）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，D為棱AC的中點，BD⊥AA1，平面BB1D交A1C1于點E.（1）證明：四邊形BB1ED是矩形；（2）若AA1＝AC，∠A1AC＝60°,求平面ABB1A1與平面BB1ED的夾角的余弦值.2012分）某商場為促進消費，規(guī)定消費滿一定金額可以參與抽獎活動．抽獎箱中有4個藍球和4個紅球，這些球除顏色外完全相同．有以下兩種抽獎方案可供選擇：初始獎池摸球方式獎勵規(guī)則方案A30元不放回摸3次，每次每摸出一個紅球，獎池金額增加50元，在抽獎結(jié)束后獲得獎池所有金額方案B有放回摸3次，每次每摸出一個紅球，獎池金額翻倍，在抽獎結(jié)束后獲得獎池所有金額（1）若顧客選擇方案A，求其所獲得獎池金額X的分布列及數(shù)學期望.（2）以獲得獎池金額的期望值為決策依據(jù)，顧客應該選擇方案A還是方案B？2112分）已知函數(shù)f（xex﹣ln（x+m1.（1）當m＝1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）≥0，求m的取值范圍.2212分）已知點N在曲線C：+=1上，O為坐標原點，若點M滿足=2，記動點M（2）已知點P在曲線C上，點A，B在曲線Γ上，若四邊形OAPB為平行四邊形，則其面積是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由2022-2023學年福建省廈門市高二（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。15分）等比數(shù)列{an}中，a1＝16，a2a4＝16，則a5=()【解答】解：因為{an}是等比數(shù)列，依題意a1＝16，a2a4＝a1a5＝1所以a5＝1.故選：A.25分）直線x+y+1＝0被圓x2+y2＝1所截得的弦長為()【解答】解：圓x2+y2＝1的圓心O（0，0半徑等于1，圓心到直線x+y+1＝0的距離d=，故直線x+y+1＝0被圓x2+y2＝1所截得的弦長為2T2?d2=2，故選：D.35分）在（1+2x）5的展開式中，x3的系數(shù)為()A．8B．10C．80【解答】解：展開式的通項公式Tk+1=C（2x）k=C?2kxk，當k＝3時，T4=C?23x3＝80x3，即x3的系數(shù)為80.故選：C.45分）試驗測得四組成對數(shù)據(jù)（xi，yi）的值分別為(﹣110，11，22，4由此可得y關于x的經(jīng)驗回歸方程為=1.6x+根據(jù)經(jīng)驗回歸方程預測，當x＝5時，=()A．8.4B．8.6C．8.7【解答】解：由條件可知，x=?1+1+2=，y=?1+2+4=， ??回歸直線過點(x，y)=(2，2)，代入直線，得2=1.6×2+a，得a=0.7，?所以回歸直線方程為y=1.6x+0.7???故選：C.55分）甲、乙兩選手進行乒乓球比賽，采取五局三勝制（先勝三局者獲勝，比賽結(jié)束如果每局比賽甲獲勝的概率為p（0＜p＜1乙獲勝的概率為1﹣p，則甲選手以3：1獲勝的概率為()A．Cp3(1?p)B．Cp2(1?p)C．Cp3(1?p)D．p3（1﹣p）【解答】解：甲選手以3：1獲勝，說明前3場中甲贏了兩場，輸了一場，且第四場甲贏，故所求概率為Cp2(1?p)p=Cp3(1?p).故選：A.65分）如圖，太陽灶是一種將太陽光反射至一點用來加熱水或食物的設備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，已知太陽灶的口徑（直徑）為4m，深度為0.5m，則該拋物線頂點到焦點的距離為()A．0.25mB．0.5mC．1mD．2m【解答】解：以該拋物線頂點為原點建立平面直角坐標系，如圖所示：設此拋物線方程為x2＝2py（p＞0依題意點（2，0.5）在此拋物線上，所以2p=4，解得p＝4，則該拋物線頂點到焦點的距離為=2m.故選：D.75分）把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，O，E，F(xiàn)分別為AC，AD，BC的中點，則折紙后∠EOF的大小為()【解答】解：折起后的圖形如下圖所示，連接BO，DO，則BO⊥AC，DO⊥AC，又平面ABC⊥平面ADC，平面ABC∩平面ADC＝AC，BO?平面ABC，∴BO⊥平面ADC，∴OD，OC，OB三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設正方形的對角線長為2，則可確定以下點坐標：O（0，0，0A（01，0D（1，0，0E(0)，B（0，0，1C（0，1，0F(0)，∴=<，＞===，又0°≤＜0E，0F＞≤180°,∴＜0E，0F＞=120°,∴∠EOF＝120°.故選：C.85分）直線l與兩條曲線y＝ex+1和y＝ex+1均相切，則l的斜率為()【解答】解：由y＝ex+1，可得y′＝ex；由y＝ex+1，可得y′＝ex+1，設兩個切點分別為(x1，ex1+1)和(x2，ex2+1)，直線l的斜率k=ex1=ex2+1，設兩個切點分別為(x1，ex1+1)和(x2，ex2+1)，直線l的斜率k=ex1=ex2+1，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。（多選）95分）函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，則()A．f（x）在區(qū)間（x2，x3）上單調(diào)遞減B．f（x）在x＝x2處取得極大值C．f（x）在區(qū)間（a，b）上有2個極大值點D．f（x）在x＝x1處取得最大值【解答】解：由導函數(shù)的圖象可知：x∈[a，x2）時f′（x0，f（x）單調(diào)遞增；x∈（x2，x3）時f′（x0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（x3，b]時f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增.故A，B正確，C，D錯誤.故選：AB.（多選）105分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，則()A．AC⊥B1DB．A1C1∥平面B1CDC．三棱錐C1﹣B1CD的體積為D．C1到平面B1CD的距離為【解答】解：建立如圖所示坐標系，則A（0，0，0C（1，1，0B1（1，0，1D（0，1，0∴AC⊥B1D，A選項正確；→設平面B1CD法向量為n=(x，y，z)，→令x＝0，則y＝1，z＝1，可得平面B1CD法向量為n=(0，1，1)，→∵A1C1→→→?n=1×0+1×1+0×1=1，故A1C1不平行平面B1CD，B選項錯誤；→三棱錐C1﹣B1CD的體積為：VC1?B1CD=×SB1CD×d=××=×=，C選項正確；→→→∵CC1=(0，0，1)，平面B1CD法向量n=(0，1則點C1到平面B1CD的距離為d===，D選項正確.故選：ACD.（多選）115分）設A、B是隨機試驗的兩個事件，P(A)=，P(B)=，P(A∪B)=，則()A．事件A與事件B互斥B．事件A與事件B相互獨立C．P(A|B)=D．P(AB)=【解答】解：因為P（A∪BP（A）+P（BP（AB所以P(AB)=P(A)+P(B)?P(A∪B)=+?=，故A錯誤；因為P(A)P(B)=×==P(AB)，所以事件A與事件B相互獨立，故B正確；因為P(A|B)===，故C正確；因為P(AB)=1?P(AB)4=1=，故D正確.故選：BCD.（多選）125分）在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1(﹣11F2（1，1動點P滿足|PF1|+|PF2|＝4，則()A．P的軌跡方程為+=1B．P的軌跡關于直線y＝x對稱D．P的橫坐標的取值范圍為[?3，3]【解答】解：對于A，設P（x，y則(x+1)2+(y+1)2+(x?1)2+(y?1)2=4，得到3x2+3y2﹣2xy﹣8＝0，故A錯誤.對于B，由橢圓定義知P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，故F1，F(xiàn)2所在直線是橢圓的對稱軸，故B正確.對于C，因為長半軸a＝2，半焦距c=2，所以短半軸b=2，當點P在短軸頂點上，∠F1PF2＝90°,此時△F1PF2的面積最大，最大值為2，故C正確.對于D，聯(lián)立方程3x2+3y2當點P在短軸頂點上，∠F1PF2＝90°,此時△F1PF2的面積最大，最大值為2，故C正確.由Δ=﹣8m2+24≥3≤m≤3，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分?！?35分）已知直線l的一個方向向量=(m，1，3)，平面α的m+n=﹣3.【解答】解：因為直線l的一個方向向量=(m，1，3)，→平面α的一個法向量b=(1，n，1)且l∥α,→→→所以a⊥b，所以a?b=0，即m+n+3＝0→→→所以m+n=﹣3.故答案為3.145分）已知雙曲線C：=1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y=±2x，則C的離心率為5.【解答】解：因為雙曲線C：=1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y=±2x， ac=所以離心率e ac=故答案為：511+()2種承包方式（用數(shù)字作答）.【解答】解：由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項，有C=6種，再讓乙承包2項，有C=10，剩下的3項丙承包，所以由分步乘法原理可得共有6×10＝60種方案，故答案為：60.165分）畢達哥拉斯樹的生長方式如下：以邊長為1的正方形的一邊作為斜邊，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形，得到2個新的小正方形，實現(xiàn)了一次生長，再將這兩個小正方形各按照上述方式生長，如此重復下去，則第n次生長得到的小正方形的周長的和為(2)n+4；11次生長后所有小正方形（包括第一個正方形）的周長的總和為252(2+1).【解答】解：根據(jù)題意，每次生長的小正方形的個數(shù)，構(gòu)成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，每次生長的小正方形的邊長構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，每次生長的小正方形周長和依次構(gòu)成等比數(shù)列，首項42，公比2，故第n次生長得到的小正方形的周長的和為(2)n+4，11次生長后所有小正方形（包括第一個正方形）共12組，則其周長的總和為4+42+?+(2)15=4[112]=252(2+1).故答案為：(2)n+4；252(2+1).四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1710分）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，其前n項和為Sn，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，且S6＝36.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）記Tn=++?+，求證：Tn＜.【解答】解1）因為a1，a2，a5成等比數(shù)列，S6＝36，所以(a1+5=a1(a1+4d)，由d≠（2）證明：由由n∈N*，有＞0，所以1＜1，得Tn=(1)＜.1812分）隨著全球新能源汽車市場蓬勃發(fā)展，中國在十余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年位居世界第一．某新能源汽車企業(yè)改進并生產(chǎn)了某款純電動車，該款電動車有白色和紅色．為研究購車顧客的性別是否與其購買的車輛顏色有關，公司研究團隊利用隨機抽樣的方法收集了購買該車型的男生和女生各60人的數(shù)據(jù)，得到成對樣本數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結(jié)果，如下表所示：性別車輛顏色紅色女生4020男生50（1）依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為購車顧客的性別與其購買的車輛顏色有關聯(lián)？（2）現(xiàn)從上述購買白色車輛的90名顧客中按性別比例分配的分層隨機抽樣抽取9人，從購買紅色車輛的30名顧客中按性別比例分配的分層隨機抽樣抽取3人，并從這12人中依次抽取2人作為幸運嘉賓，d臨界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解答】解1）零假設為H0：購車顧客的性別與其購買的車輛顏色無關聯(lián).根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到x2=12050)2=≈4.444＞3.841=x0.05，根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為購車顧客的性別與其購買的車輛顏色有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）由題得抽取的12人中，是男生且購買白色車輛的有5人.設A＝“第一次抽到的是男生且購買白色車輛”，B＝“第二次抽到的是男生且購買白色車輛”.P(A)=，P(B|A)=，P(A)=，P(B|A)=，由全概率公式P(B)=P(A)?P(B|A)+P(A)?P(B|A)，所以第二次抽到的嘉賓是男生且購買白色車輛概率為.1912分）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，D為棱AC的中點，BD⊥AA1，平面BB1D交A1C1于點E.（1）證明：四邊形BB1ED是矩形；（2）若AA1＝AC，∠A1AC＝60°,求平面ABB1A1與平面BB1ED的夾角的余弦值.【解答】解1）證明：取A1C1的中點E，則點E為平面BB1D與棱A1C1的交點，連接B1E和ED，因為點D，E分別是AC和A1C1的中點，所以ED∥AA1，ED＝AA1，因為BB1∥AA1，BB1＝AA1，所以BB1∥ED，BB1＝ED，所以四邊形BB1ED是平行四邊形，所以點E為平面BB1D與棱A1C1的交點，因為BD⊥AA1，ED∥AA1，所以BD⊥DE所以四邊形BB1ED是矩形；（2）連接A1D，A1C，在正△ABC中，D為AC的中點，所以BD⊥AC，因為BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，所以△A1AC為正三角形，因為D為棱AC的中點，所以A1D⊥AC，以D為坐標原點，分別以DB，DC，DA1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設三棱柱的棱長為2，→→→→設平面ABB1A1的法向量為m=(X1，y1，Z1)，所以平面ABB1A1的一個法向量為=(3，?3，3)，→設平面BB1ED的法向量為n=(X2，y2，Z2)，所以平面BB1ED的一個法向量為=(0，3，?3)，設平面ABB1A1與平面BB1ED的夾角的大小為θ,設平面ABB1A1與平面BB1ED的夾角的大小為θ,所以平面ABB1A1與平面BB1ED的夾角的余弦值為.2012分）某商場為促進消費，規(guī)定消費滿一定金額可以參與抽獎活動．抽獎箱中有4個藍球和4個紅球，這些球除顏色外完全相同．有以下兩種抽獎方案可供選擇：初始獎池摸球方式獎勵規(guī)則方案A30元不放回摸3次，每次每摸出一個紅球，獎池金額增加50元，在抽獎結(jié)束后獲得獎池所有金額方案B有放回摸3次，每次每摸出一個紅球，獎池金額翻倍，在抽獎結(jié)束后獲得獎池所有金額（1）若顧客選擇方案A，求其所獲得獎池金額X的分布列及數(shù)學期望.（2）以獲得獎池金額的期望值為決策依據(jù)，顧客應該選擇方案A還是方案B？【解答】解1）由題意可知X可能取值為30，80，130，180，則P(X=30)=C==，P(X=80)=C==，P(X=130)=C==，P(X=180)=C==，所以X的分布列為：X30P 1 3 7 3 7 1 （2）設顧客選方案B，所獲得的金額為Y，則Y的可能取值為30，60，120，240，則P(Y=30)=C()0×()3=，P(Y=60)=C()1×()2=，P(Y=120)=C()2×()1=，P(Y=240)=C()3×()0=，所以E（XE（Y所以選擇方案A.2112分）已知函數(shù)f（xex﹣ln（x+m1.（1）當m＝1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）≥0，求m的取值范圍.【解答】解1）當m＝1時，f（xex﹣ln（x+11，定義域為(﹣1，+∞),f'(x)=ex在定義域上單調(diào)遞增，令f′（x）＝0，得x＝0，則當