線性代數(shù)及應(yīng)用（高淑萍第2版） 課件 第4章 相似矩陣與二次型

第4章相似矩陣與二次型4.1特征值與特征向量特征值與特征向量的定義定義1例如特征值與特征向量的定義方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零，即定義特征值與特征向量的定義例1解特征值與特征向量的定義例2解特征值與特征向量的定義例2解說明特征值與特征向量的定義例3證明特征值是特征方程的根n階方陣有

n個特征值（一元

n次方程在復(fù)數(shù)范圍有n個根）（代數(shù)重數(shù)）特征值的性質(zhì)性質(zhì)112說明推論定義特征值的性質(zhì)性質(zhì)204OPTION01OPTION02OPTION03OPTION特征值的性質(zhì)例4解所求特征值為推論特征值的性質(zhì)例5解則其特征值為練習(xí)解特征值的性質(zhì)特征向量的性質(zhì)性質(zhì)3證明說明一個特征向量不可能屬于不同的特征值.證明特征向量的性質(zhì)性質(zhì)4證明特征向量的性質(zhì)例6解于是即特征向量的性質(zhì)性質(zhì)5定義說明（幾何重數(shù)）（代數(shù)重數(shù)）第4章相似矩陣與二次型4.2相似矩陣相似矩陣的定義與性質(zhì)定義1123自反性對稱性傳遞性回顧若矩陣

A經(jīng)過一系列初等變換化為矩陣

B，則稱

A與

B等價，相似矩陣的定義與性質(zhì)定理1證明于是注意特征多項式相同的矩陣不一定相似產(chǎn)生矛盾.相似矩陣的定義與性質(zhì)推論證明性質(zhì)說明方陣的相似對角化問題1滿足什么條件的矩陣可以對角化？問題2定義2方陣的相似對角化定理2推論例如說明方陣的相似對角化例1解（1）方陣的相似對角化解（2）例1方陣的相似對角化例2解方陣的相似對角化例3解第4章相似矩陣與二次型4.3實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的特征值和特征向量性質(zhì)1實對稱矩陣的任一特征值均為實數(shù).定義證明于是實對稱矩陣的特征值和特征向量推論實對稱矩陣的特征向量都是實向量.性質(zhì)2證明例1解（1）（2）實對稱矩陣的特征值和特征向量實對稱矩陣的相似矩陣定理回顧推論1204OPTION01OPTION02OPTION03OPTION實對稱矩陣的相似矩陣?yán)?解實對稱矩陣的相似矩陣實對稱矩陣的相似矩陣實對稱矩陣的相似矩陣?yán)?解第4章相似矩陣與二次型4.4二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形線性變換定義1例如線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系．說明線性變換二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形定義2例如定義3二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形問題例如說明用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形例1解二次型的矩陣對稱陣二次型的矩陣定義4解例2二次型的矩陣說明（2）標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對角陣.（1）二次型的矩陣一定是對稱矩陣.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定義5123自反性對稱性傳遞性化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理1證明說明回顧化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定義6正交變換保持向量的內(nèi)積、長度和夾角不變，定理2注所以正交變換能保持幾何圖形的大小和形狀.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例2解化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例3解第4章相似矩陣與二次型4.5正定二次型慣性定理定理1這個定理就叫做慣性定理.定義1實二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正、負(fù)平方項的項數(shù)是唯一確定的，說明它們的和為二次型的秩.慣性定理定義2慣性定理定理2定理3正定二次型定義3例如正定二次型負(fù)定二次型例1證明正定二次型定理4問題可逆線性變換不改變二次型的正定性.推論1推論2推論3正定二次型例2