湖南省湘潭市2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

湖南省湘潭市2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．長方體共頂點的三個相鄰面面積分別為，這個長方體的頂點在同一個球面上，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．2．在△ABC中，如果，那么cosC等于（）A． B． C． D．3．已知中，，則角（）A．60°或120° B．30°或90° C．30° D．90°4．在區(qū)間上隨機選取一個數(shù)，則的概率為（）A． B． C． D．5．三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動點，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．6．己知，，若軸上方的點滿足對任意，恒有成立，則點縱坐標(biāo)的最小值為（）A． B． C．1 D．27．將函數(shù)的圖象上各點沿軸向右平移個單位長度，所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．8．某快遞公司在我市的三個門店，，分別位于一個三角形的三個頂點處，其中門店，與門店都相距，而門店位于門店的北偏東方向上，門店位于門店的北偏西方向上，則門店，間的距離為（）A． B． C． D．9．若,則下列不等式成立的是()A． B．C． D．10．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．14 B．18 C．36 D．60二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的值為__________．12．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則________13．某海域中有一個小島（如圖所示），其周圍3.8海里內(nèi)布滿暗礁（3.8海里及以外無暗礁），一大型漁船從該海域的處出發(fā)由西向東直線航行，在處望見小島位于北偏東75°，漁船繼續(xù)航行8海里到達處，此時望見小島位于北偏東60°，若漁船不改變航向繼續(xù)前進，試問漁船有沒有觸礁的危險？答：______.（填寫“有”、“無”、“無法判斷”三者之一）14．在中，兩直角邊和斜邊分別為a，b，c，若則實數(shù)x的取值范圍是________.15．已知，，兩圓和只有一條公切線，則的最小值為________16．如圖，在三棱錐中，它的每個面都是全等的正三角形，是棱上的動點，設(shè)，分別記與，所成角為，，則的取值范圍為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓C：(x-1)2（1）當(dāng)l經(jīng)過圓心C時，求直線l的方程；（2）當(dāng)弦AB被點P平分時，寫出直線l的方程18．各項均不相等的等差數(shù)列前項和為，已知，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.19．已知向量.(1)若，求的值；(2)當(dāng)時，求與夾角的余弦值．20．某中學(xué)從高三男生中隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)進行整理，得到下側(cè)的頻率分布表.組號分組頻率第1組[160，165）0.05第2組0.35第3組0.3第4組0.2第5組0.1合計1.00（Ⅰ）為了能對學(xué)生的體能做進一步了解，該校決定在第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進行體能測試，問第3，4，5組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進行測試；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行引體向上測試，求第3組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率；（Ⅲ）試估計該中學(xué)高三年級男生身高的中位數(shù)位于第幾組中，并說明理由.21．已知圓心在直線上的圓C經(jīng)過點，且與直線相切.（1）求過點P且被圓C截得的弦長等于4的直線方程；（2）過點P作兩條相異的直線分別與圓C交于A，B，若直線PA，PB的傾斜角互補，試判斷直線AB與OP的位置關(guān)系（O為坐標(biāo)原點），并證明.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

設(shè)長方體的棱長為，球的半徑為，根據(jù)題意有，再根據(jù)球的直徑是長方體的體對角線求解.【詳解】設(shè)長方體的棱長為，球的半徑為，根據(jù)題意，，解得，所以，所以外接球的表面積，故選：A【點睛】本題主要考查了球的組合體問題，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可設(shè)a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,選D3、B【解析】

由正弦定理求得，再求．【詳解】由正弦定理，∴，或，時，，時，．故選：B.【點睛】本題考查正弦定理，在用正弦定理解三角形時，可能會出現(xiàn)兩解，一定要注意．4、C【解析】

根據(jù)幾何概型概率公式直接求解可得結(jié)果.【詳解】由幾何概型概率公式可知，所求概率本題正確選項：【點睛】本題考查幾何概型中的長度型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】是線段上一動點，連接，∵互相垂直，∴就是直線與平面所成角，當(dāng)最短時，即時直線與平面所成角的正切的最大．此時，，在直角△中，．三棱錐擴充為長方體，則長方體的對角線長為，∴三棱錐的外接球的半徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為．選B.點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用求解．6、D【解析】

由題意首先利用平面向量的坐標(biāo)運算法則確定縱坐標(biāo)的解析式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定點P縱坐標(biāo)的最小值即可.【詳解】設(shè)，則，，故，恒成立，即恒成立，據(jù)此可得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.據(jù)此可得的最小值為，則的最小值為.即點縱坐標(biāo)的最小值為2.故選D.【點睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運算，二次函數(shù)最值的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7、A【解析】

先求得圖象變換后的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)對稱中心，求出正確選項.【詳解】向右平移的單位長度，得到，由解得，當(dāng)時，對稱中心為，故選A.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查三角函數(shù)對稱中心的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)題意，作出圖形，結(jié)合圖形利用正弦定理，即可求解，得到答案.【詳解】如圖所示，依題意知，，，由正弦定理得：，則.故選C.【點睛】本題主要考查了三角形的實際應(yīng)用問題，其中解答中根據(jù)題意作出圖形，合理使用正弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

利用不等式的性質(zhì)，進行判斷即可.【詳解】因為，故由均值不等式可知：；因為，故；因為，故；綜上所述：.故選：B.【點睛】本題考查均值不等式及利用不等式性質(zhì)比較大小.10、A【解析】

由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求，，q2，然后整體代入到求和公式即可求．【詳解】∵等比數(shù)列{an}中，S2＝2，S4＝6，∴q≠1，則，聯(lián)立可得，2，q2＝2，S62×（1﹣23）＝1．故選：A．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的簡單應(yīng)用，考查了整體代入的運算技巧，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用誘導(dǎo)公式將等式化簡，可求出的值.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，故答案為.【點睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡求值，在利用誘導(dǎo)公式處理化簡求值的問題時，要充分理解“奇變偶不變，符號看象限”這個規(guī)律，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、5【解析】

由等差數(shù)列的前和公式，求得，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的前和公式，可得，解得，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)，以及合理應(yīng)用等差數(shù)列的前和公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、無【解析】

可過作的延長線的垂線，垂足為，結(jié)合角度關(guān)系可判斷為等腰三角形，再通過的邊角關(guān)系即可求解，判斷與3.8的大小關(guān)系即可【詳解】如圖，過作的延長線的垂線，垂足為，在中，，，則，所以為等腰三角形。，又，所以，，所以漁船沒有觸礁的危險故答案為：無【點睛】本題考查三角函數(shù)在生活中的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】

計算得到，根據(jù)得到范圍.【詳解】兩直角邊和斜邊分別為a，b，c，則，則，則，故.故答案為：.【點睛】本題考查了正弦定理和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.15、9【解析】

兩圓只有一條公切線，可以判斷兩圓是內(nèi)切關(guān)系，可以得到一個等式，結(jié)合這個等式，可以求出的最小值.【詳解】，圓心為，半徑為2；，圓心為，半徑為1.因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓是內(nèi)切關(guān)系，即，于是有（當(dāng)且僅當(dāng)取等號），因此的最小值為9.【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力.16、【解析】

作交于，連接，可得是與所成的角根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，作交于，同理可得，根據(jù)，的關(guān)系即可得解.【詳解】解：作交于，連接，因為三棱錐中，它的每個面都是全等的正三角形，為正三角形，，，是與所成的角，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)．作交于，同理可得，則，∵，∴，得．故答案為：【點睛】本題考查異面直線所成的角，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)已知圓C：(x-1)2(2)當(dāng)弦AB被點P平分時，l⊥PC,直線l的方程為y-2=-118、（1）；（2）【解析】

（1）利用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，則可得通項公式.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，然后利用裂項相消求和，可得結(jié)果.【詳解】（1）因為各項均不相等，所以公差由等差數(shù)列通項公式且，所以，又成等比數(shù)列，所以，則，化簡得，所以即可得即（2）由（1）可得化簡可得由所以【點睛】本題主要考查利用裂項相消法求和，屬基礎(chǔ)題.19、（1）-3；（2）－.【解析】

(1)根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系求得(2)根據(jù)向量的數(shù)量積運算求得夾角.【詳解】解(1)由題意，得．因為，所以，解得.(2)當(dāng)時，．設(shè)與的夾角為θ，則.所以與夾角的余弦值為－.【點睛】本題考查向量的平行關(guān)系和向量數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）3人，2人，1人.（2）0.8.（3）第3組【解析】分析：（Ⅰ）由分層抽樣方法可得第組：＝人；第組：＝人；第組：＝人；（Ⅱ）利用列舉法可得個人抽取兩人共有中不同的結(jié)果，其中第組的兩位同學(xué)至少有一位同學(xué)被選中的情況有種，利用古典概型概率公式可得結(jié)果；（Ⅲ）由前兩組頻率和為，中位數(shù)可得在第組.詳解：（Ⅰ）因為第3，4，5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組學(xué)生人數(shù)分別為：第3組：＝3人；第4組：＝2人；第5組：＝1人.所以第3，4，5組分別抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）設(shè)第3組3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組2位同學(xué)為B1，B2，第5組1位同學(xué)為C1，則從6位同學(xué)中抽兩位同學(xué)的情況分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.共有15種.其中第4組的兩位同學(xué)至少有一位同學(xué)被選中的情況分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12種可能.所以，第4組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率為0.8.答：第4組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率為0.8.（Ⅲ）第3組點睛：本題主要考查分層抽樣以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于難題，利用古典概型概率公式求概率時，找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.21、（1）或；（2）平行【解析】

（1）設(shè)出圓的圓心為，半徑為，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意可得，解出即可得出圓的方程，討論過點P的直線斜率存在與否，再根據(jù)點到直線的距離公式即可求解.（2）由題意知，直線PA，PB的傾斜角互補，分類討論兩直線的斜率存在與否，當(dāng)斜率均存在時，則直線PA的方程為：，直線PB的方程為：，分別與圓C聯(lián)立可得，利用斜率的計算公式與作比較即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，不妨設(shè)圓C的圓心為，半徑為，則圓C，由圓C經(jīng)過點，且與直線相切，則，解得，故圓C的方