山東省臨沂市第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)試題含解析

山東省臨沂市第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在ΔABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若3asinC=A．π6 B．π3 C．2π2．已知一個(gè)扇形的圓心角為，半徑為1．則它的弧長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3．某船從處向東偏北方向航行千米后到達(dá)處，然后朝西偏南的方向航行6千米到達(dá)處，則處與處之間的距離為（）A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米4．等比數(shù)列中，，，則公比等于（）A．2 B．3 C． D．5．已知x，y滿足約束條件，則的最大值是（）A．-1 B．-2 C．-5 D．16．直線與、為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知直線，直線，若，則直線與的距離為（）A． B． C． D．8．如圖所示，等邊的邊長(zhǎng)為2、為的中點(diǎn)，且也是等邊三角形，若以點(diǎn)為中心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后到達(dá)的位置，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的取值范圍是（)A． B． C． D．9．采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為，，，，分組后某組抽到的號(hào)碼為1．抽到的人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人數(shù)為（）A．10 B． C．12 D．1310．直線過且在軸與軸上的截距相等，則的方程為（）A． B．C．和 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，，，是的中點(diǎn).若，則________.12．已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為________．13．若，則__________.（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）14．抽樣調(diào)查某地區(qū)名教師的年齡和學(xué)歷狀況，情況如下餅圖：則估計(jì)該地區(qū)歲以下具有研究生學(xué)歷的教師百分比為_______．15．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________.16．若圓:與圓:相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，則公共弦的長(zhǎng)度是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知A、B兩地的距離是100km，按交通法規(guī)定，A、B兩地之間的公路車速x應(yīng)限制在60~120km/h，假設(shè)汽油的價(jià)格是7元/L，汽車的耗油率為，司機(jī)每小時(shí)的工資是70元（設(shè)汽車為勻速行駛），那么最經(jīng)濟(jì)的車速是多少？如果不考慮其他費(fèi)用，這次行車的總費(fèi)用是多少？18．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，若，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.19．如圖，在三棱錐中，底面ABC，D是PC的中點(diǎn)，已知，，，，求：（1）三棱錐的體積；（2）異面直線BC與AD所成的角的余弦值大小.20．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.21．已知數(shù)列滿足（，且），且，設(shè)，，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）對(duì)于任意，，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)正弦定理asinA=csinC將題干等式化為3sinAsin【詳解】∵3asinC=3ccosA，所以3sinAsin【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用正弦定理求三角形內(nèi)角，屬于基礎(chǔ)題。2、C【解析】

直接利用扇形弧長(zhǎng)公式求解即可得到結(jié)果.【詳解】由扇形弧長(zhǎng)公式得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查扇形弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

通過余弦定理可得答案.【詳解】設(shè)處與處之間的距離為千米，由余弦定理可得，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，難度不大.4、A【解析】

由題意利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出公比的值．【詳解】解：等比數(shù)列中，，，，則公比，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】根據(jù)題意作出約束條件確定的可行域，如下圖：令，可知在圖中處，取到最大值-1,故選A.考點(diǎn)：本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃.6、D【解析】

由直線方程可得直線恒過點(diǎn)，利用兩點(diǎn)連線斜率公式可求得臨界值和，從而求得結(jié)果.【詳解】直線恒過點(diǎn)則，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與線段有交點(diǎn)確定直線斜率取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠確定直線恒過的定點(diǎn)，從而找到直線與線段有交點(diǎn)的臨界狀態(tài).7、A【解析】

利用直線平行的性質(zhì)解得，再由兩平行線間的距離求解即可【詳解】∵直線l1：ax+2y﹣1＝0，直線l2：8x+ay+2﹣a＝0，l1∥l2，∴，且解得a＝﹣1．所以直線l1：1x-2y+1＝0，直線l2：1x-2y+3＝0，故與的距離為故選A．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線平行的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．8、D【解析】

設(shè)，，則，則，將其展開，運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，化簡(jiǎn)得到，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到范圍.【詳解】設(shè)，，則，則，由于，則，則．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.9、C【解析】

由題意可得抽到的號(hào)碼構(gòu)成以11為首項(xiàng)、以30為公差的等差數(shù)列，求得此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整數(shù)n的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】∵960÷32＝30，∴每組30人，∴由題意可得抽到的號(hào)碼構(gòu)成以30為公差的等差數(shù)列，又某組抽到的號(hào)碼為1，可知第一組抽到的號(hào)碼為11，∴由題意可得抽到的號(hào)碼構(gòu)成以11為首項(xiàng)、以30為公差的等差數(shù)列，∴等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n為正整數(shù)可得14≤n≤25，∴做問卷C的人數(shù)為25﹣14+1＝12，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，系統(tǒng)抽樣的定義和方法，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．10、B【解析】

對(duì)直線是否過原點(diǎn)分類討論，若直線過原點(diǎn)滿足題意，求出方程；若直線不過原點(diǎn)，在軸與軸上的截距相等，且不為0，設(shè)直線方程為將點(diǎn)代入，即可求解.【詳解】若直線過原點(diǎn)方程為，在軸與軸上的截距均為0，滿足題意；若直線過原點(diǎn)，依題意設(shè)方程為，代入方程無解.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線在上的截距關(guān)系，要注意過原點(diǎn)的直線在軸上的截距是軸上的截距的任意倍，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

在中，由已知利用余弦定理可得，結(jié)合，解得，可求，在中，由余弦定理可得的值．【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得：可得：所以：…………①又……………②所以聯(lián)立①②，解得.所以在中，由余弦定理得：即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，屬于中檔題.12、【解析】

求出的垂直平分線方程，兩垂直平分線交點(diǎn)為外接圓圓心．再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算．【詳解】由點(diǎn)B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，①由點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為②聯(lián)立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為，其到原點(diǎn)的距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓圓心坐標(biāo)，外心是三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)，到三頂點(diǎn)距離相等．13、；【解析】

由條件利用反三角函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】，則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了反三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)餅狀圖中的歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可求得歲以下教師總?cè)藬?shù)，從而可得其中的具有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)，進(jìn)而得到所求的百分比.【詳解】由歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可知，歲以下教師總?cè)藬?shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師的百分比為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用餅狀圖計(jì)算總體中的數(shù)據(jù)分布和頻率分布的問題，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

可利用基本不等式求的最大值.【詳解】因?yàn)槎际钦龜?shù)，由基本不等式有，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.【點(diǎn)睛】應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數(shù)式中沒有積為定值或和為定值，則需要對(duì)給定的代數(shù)變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結(jié)構(gòu).求最值時(shí)要關(guān)注取等條件的驗(yàn)證.16、【解析】

根據(jù)兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后兩圓相減求出公共弦的直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到公共弦的距離，進(jìn)而求出公共弦長(zhǎng).【詳解】由題意，圓圓心坐標(biāo)，半徑，圓圓心坐標(biāo),半徑，因?yàn)閮蓤A相交于點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，所以是直角三角形，，所以，由兩點(diǎn)間距離公式，，所以，解得，所以圓：，兩圓方程相減，得，即，所以公共弦：，圓心到公共弦的距離，故公共弦長(zhǎng)故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查兩圓公共弦的方程、圓弦長(zhǎng)的求法和點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的分析能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、80,280【解析】

將總費(fèi)用表示出來，再利用均值不等式得到答案.【詳解】設(shè)總費(fèi)用為則當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，滿足條件故最經(jīng)濟(jì)的車速是，總費(fèi)用為280【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)表達(dá)式，均值不等式，意在考查學(xué)生解決問題的能力.18、（1）；（2）22【解析】

（1）易得，，再由即可得解；（2）由可得出，再由，可得：，即，即可得到的值.【詳解】（1）由向量的加法法則得：，，，因?yàn)?，所以；?），∴，∴，即，∴.【點(diǎn)睛】本題平面向量的應(yīng)用，考查向量的加法法則，考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.19、（1），（2）【解析】

（1）先求出，然后由底面ABC得，即可算出答案（2）取的中點(diǎn)，可得是異面直線BC與AD所成的角（或其補(bǔ)角），然后在中，用余弦定理即可算出【詳解】（1）因?yàn)?，，所以因?yàn)榈酌鍭BC，所以（2）如圖，取的中點(diǎn),連接，則所以是異面直線BC與AD所成的角（或其補(bǔ)角）在中，所以由余弦定理得所以異面直線BC與AD所成的角的余弦值大小為【點(diǎn)睛】求異面直線所成的角是將直線平移轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，要注意異面直線所成角的范圍是.20、（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）【解析】試題分析：（1）建立方程組；（2）由（1）得：進(jìn)而由裂項(xiàng)相消法求得.試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意知解得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）∴21、(1)見解析（2）(3).【解析】

（1）將式子寫為：得證，再通過等比數(shù)列公式得到的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)（1）得到進(jìn)而得到數(shù)列通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法得到前n項(xiàng)和.（3