人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)訓(xùn)練八 圓的綜合題

專題八圓的綜合題

類型一動(dòng)點(diǎn)問題

典例精析

例(2020石家莊橋西區(qū)一模)已知在矩形ABCQ中，AB=4,AD=3,0c與對(duì)角線8。相切.

(1)如圖①，求。C的半徑；

(2)如圖②，點(diǎn)P是。C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,AC,AP交。C于點(diǎn)Q,若sinNB4C=喏，求NCB4

的度數(shù)和劣弧段的長(zhǎng);

(3)如圖設(shè)對(duì)角線AC與。C交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是。C上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線AC的距離為d,當(dāng)0<dW第

時(shí)，請(qǐng)直接寫出NPCE的取值范圍.

圖①圖②備用圖

例題圖

1.(2018河北25題10分)如圖，點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為26,以原點(diǎn)。為圓心，OA為半徑作優(yōu)弧翁,

使點(diǎn)B在O右下方，且tan/A08=g.在優(yōu)弧前上任取一點(diǎn)尸，且能過戶作直線/〃08交數(shù)軸于點(diǎn)。，設(shè)。

在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,連接OP.

(1)若優(yōu)弧蠡上一段前的長(zhǎng)為13",求/AOP的度數(shù)及x的值；

(2)求x的最小值，并指出此時(shí)直線/與融所在圓的位置關(guān)系；

(3)若線段PQ的長(zhǎng)為12.5,直毯寫出這時(shí)x的值.

第1題圖備用圖

針對(duì)演練

2.如圖，在。。中，半徑0C=6,。為半徑。C上異于。、C的點(diǎn)，過點(diǎn)。作ABLOC,交。。于A、

8兩點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上，且AE=CE,點(diǎn)P在線段EC的延長(zhǎng)線上，PB=PE.

(1)若0。=2,求弦AB的長(zhǎng);

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段0C(不含端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí)，直線PB與。。有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由;

(3)點(diǎn)Q是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。為0C的中點(diǎn)時(shí)，線段PQ的最小值為多少？請(qǐng)說明理由.

第2題圖備用圖

3.如圖，A8為。。的直徑，且AB=8,點(diǎn)C在半圓上，OCVAB,垂足為點(diǎn)O,P為半圓上任意一點(diǎn),

過點(diǎn)P作PEL0C于點(diǎn)E,設(shè)的內(nèi)心為M,連接0M、PM.

(1)求N0MP的度數(shù);

(2)隨著點(diǎn)P在半圓上位置的改變，NCM0的大小是否改變，說明理由;

(3)當(dāng)點(diǎn)P在半圓上從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，直接寫出內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

第3題圖

類型二旋轉(zhuǎn)問題

典例精析

例如圖①，在正方形ABCQ中，AB=10,點(diǎn)0、E在邊CD上，且CE=2,D0=3,以點(diǎn)。為圓心，

0E為半徑在其左側(cè)作半圓。，交AQ于點(diǎn)G,交CQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

⑴AG=；

(2)如圖②，將半圓。繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)制0。<6?<180。)，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尺設(shè)M

為半圓。，上一點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)F落在AD邊上時(shí)，求點(diǎn)M與線段BC之間的最短距離；

②當(dāng)半圓0,交BC于尸、R兩點(diǎn)時(shí)，若武的長(zhǎng)為|萬，求此時(shí)半圓。，與正方形48C。重疊部分的面積；

③當(dāng)半圓。，與正方形A8C。的邊相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為N,直接寫出tanZEND的值.

圖①圖②

例題圖

針對(duì)演練

1.(2020邢臺(tái)橋西區(qū)二模)如圖①，扇形AOB的半徑為3,面積為3點(diǎn)C是叁的中點(diǎn)，連接AC,BC.

(I)求證：四邊形OACB是菱形；

(2)如圖②，NPOQ=60。，NPOQ繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，與AC,BC分別交于點(diǎn)M,N(點(diǎn)、M,N與點(diǎn)A,B,C

均不重合)，與前交于E,尸兩點(diǎn).

①求MC+NC的值;

②如圖②，連接FC,EC,若/ECF的度數(shù)是定值，則直段與出NECF的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由.

2.(2020保定模擬)如圖①，已知矩形ABCZ)中，48=4,BC=3,以48為直徑的半圓O在矩形ABCD

的外部.將半圓。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(OWaW180).

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，B'C的最小值是,如圖②，當(dāng)半圓。的直徑落在對(duì)角線AC上時(shí)，設(shè)半圓

。與A3的交點(diǎn)為M,則AM的長(zhǎng)為.

(2)如圖③，當(dāng)半圓0與直線C。相切時(shí)，切點(diǎn)為M與線段AD的交點(diǎn)為P,求劣弧烈的長(zhǎng)；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)半圓弧與直線CD只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)此交點(diǎn)與點(diǎn)C的距離為d,請(qǐng)直接寫出d

的取值范圍.

圖①圖②圖③

第2題圖

3.如圖①，AB為半圓。的直徑，且A8=4,弦AM為半圓的一條動(dòng)弦，對(duì)于每一動(dòng)點(diǎn)以M為旋

轉(zhuǎn)中心將弦AM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段MN.

(1)當(dāng)AM=2時(shí)，求人必的長(zhǎng)；

(2)如圖②，過點(diǎn)。作于點(diǎn)尸.點(diǎn)P能否與點(diǎn)N重合，若不能，請(qǐng)說明理由；若能,求出線段

OP的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)M到直線A8的距離為1時(shí)，直按寫出點(diǎn)N到直線A8的距離.

L入J

A0BA0HA0B

圖①圖②備用圖

第3題圖

類型三動(dòng)圓問題

典例精析

例（2020保定一模）在菱形A8CQ中，對(duì)角線AC與交于點(diǎn)O,AB=5,8。=8,點(diǎn)尸是對(duì)角線AC

上一點(diǎn)（可與A，C重合），以點(diǎn)P為圓心，，為半徑作。P（其中r>0）.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P與A重合，且0<r<3時(shí)，過點(diǎn)8,。分別作。P的切線，切點(diǎn)分別為M,M求證：

BM=DN；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，且。P在菱形A8C。內(nèi)部時(shí)（不含邊界），求r的取值范圍;

（3）當(dāng)點(diǎn)P為或△CB。的內(nèi)心時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng).

圖①圖②

1.（2016河北25題10分）如圖，半圓。的直徑AB=4,以長(zhǎng)為2的弦尸。為直徑，向點(diǎn)。方向作半圓

M,其中尸點(diǎn)在段上且不與A點(diǎn)重合，但。點(diǎn)可與B點(diǎn)重合.

發(fā)現(xiàn)前的長(zhǎng)與?的長(zhǎng)之和為定值/,求/；

思考點(diǎn)M與AB最大距離為,此時(shí)點(diǎn)P,A間的距離為；點(diǎn)用與AB的最小距離為

此時(shí)半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為

探究當(dāng)半圓M與AB相切時(shí)，求崩的長(zhǎng).(注：結(jié)果保留"，cos35°=為",cos55°=竽)

第1題圖備用圖

?4

2.(2019河北25題10分)如圖①和②，nABCD中，AB=3,BC=15,tan/D42=1.點(diǎn)P為AB延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作。。切CP于點(diǎn)尸，設(shè)BP=x.

(1)如圖①，x為何值時(shí)，圓心。落在AP上？若此時(shí)。。交AO于點(diǎn)E,稟接指出PE與BC的位置關(guān)

系；

(2)當(dāng)x=4時(shí)，如圖②，。。與AC交于點(diǎn)Q,求NC4P的度數(shù)，并通過計(jì)算比較弦AP與劣弧而長(zhǎng)度

的大小；

(3)當(dāng)。。與線毯AD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，意軍寫出x的取值范圍.

圖①圖②備用圖

第2題圖

針對(duì)演練

3.(2020遵化三模)如圖，半圓。的直徑A8=6,線段04=10,。為原點(diǎn)，點(diǎn)8在數(shù)軸的正半軸上運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)B在數(shù)軸上所表示的數(shù)為機(jī)

(1)當(dāng)半圓。與數(shù)軸相切時(shí)，求加；

(2)半圓。與數(shù)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)另一個(gè)公共點(diǎn)為C,

①直接寫出m的取值范圍是；

②當(dāng)半圓D被數(shù)軸截得的弦長(zhǎng)為3時(shí)，求半圓D在aAOB內(nèi)部的弧長(zhǎng)；

(3)當(dāng)△AO8的內(nèi)心、外心與某一個(gè)頂點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求cos/AOB的值.

4.(2020邢臺(tái)橋東區(qū)模擬)在aABC中，A8=AC=4.

(1)如圖①，以AB為直徑作圓。，交AC于凡交BC于D,連接AD.

①求證：△A8D會(huì)△ACZ)；

②連接?！辏?、DF,若四邊形0C陰是菱形，求/C的度數(shù)；

(2)如圖②，E是腰AB上一點(diǎn)(不與4重合，可與B重合)，以AE為直徑作圓0,交AC于尸，過B作

BM_L4c于例，當(dāng)△ABM的外心在圓。的內(nèi)部，求AE的取值范圍.

5.如圖，已知扇形AOB,過點(diǎn)8作BCLOA,交直線04于點(diǎn)C,點(diǎn)P在前上從點(diǎn)8向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(不

與A、B重合)，過點(diǎn)尸作POLOA交直線。4于點(diǎn)D.

(1)當(dāng)。P_L0B時(shí)，求證：△B0g/\0PD；

(2)當(dāng)OP=8C時(shí)，連接BP,求證：BP//AC;

(3)已知A0=2,BC=1,過點(diǎn)尸作扇形A0B所在圓的切線PF,交直線0A于點(diǎn)F,求BP的取值范圍.

第5題圖

6.如圖，在△ABC中，AB=AC,。為BC上一點(diǎn)(能與B重合，不與C重合)，以。C為直徑的半圓0,

交AC于點(diǎn)E.

(1)如圖①，若點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，半圓交4B于點(diǎn)F,求證：AE=AF-,

(2)設(shè)/B=60。，若半圓與A8相切于點(diǎn)7,在圖②中畫出相應(yīng)的圖形，求/AET的度數(shù);

(3)如圖③，設(shè)/B=60。，BC=6,△ABC的外心為點(diǎn)P,若點(diǎn)P正好落在半圓與其直徑組成的封閉圖

形的內(nèi)部，直接寫出CD的取值范圍.

A

B⑺()C

圖①

類型四折疊問題

典例精析

例如圖①，扇形OAB的半徑為4,ZAOB=90°,P是半徑08上一動(dòng)點(diǎn)，。是Q上一動(dòng)點(diǎn).

(1)連接AQ、BQ、PQ,則NAQ8的度數(shù)為；

(2)當(dāng)P是0B中點(diǎn)，且PQ〃0A時(shí)，求馥的長(zhǎng)；

(3)如圖②，將扇形0A8沿P0對(duì)折，使折疊后的。才恰好與半徑0A相切于點(diǎn)C.若0P=3,求點(diǎn)。

到折痕PQ的距離.

J

例題圖

針對(duì)演練

1.(2020河北黑馬卷)如圖①和圖②，半圓。的直徑AB=2,點(diǎn)P(不與點(diǎn)A,8重合)為半圓上一點(diǎn)，將

圖形沿BP折疊，分別得到點(diǎn)A,。的對(duì)稱點(diǎn)0',設(shè)NABP=a.

(D當(dāng)a=l5。時(shí)，過點(diǎn)H作4C〃AB,如圖①，判斷A'C與半圓。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖②，當(dāng)6<=。時(shí)，BA'與半圓O相切.當(dāng)6(=。時(shí)，點(diǎn)。，落在而上：

(3)當(dāng)線段80,與半圓。只有一個(gè)公共點(diǎn)8時(shí)，求a的取值范圍.

2.(2019邢臺(tái)二模)如圖，點(diǎn)B為長(zhǎng)為5的線段AC上一點(diǎn)，且AB=2,過B作8瓦LBC于點(diǎn)B,且BE

=4,以BC、BE為鄰邊作矩形BCDE,將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段BF,優(yōu)弧前交BE于點(diǎn)N,

交8C于點(diǎn)M,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)若扇形M8F的面積埸叫則a的度數(shù)為一；

(2)連接EC,判斷CE與扇形A8F所在。B的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)設(shè)P為直線AC上一點(diǎn)，沿EP所在直線折疊矩形，若折疊后。E所在的直線與扇形A8F所在的。B

相切，求CP的長(zhǎng).

第2題圖備用圖

3.已知AP=d是半圓0的直徑，點(diǎn)C是半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、P重合)，連接AC,以直線

AC為對(duì)稱軸翻折A。，將點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)記為。1,射線A。1交半圓。于點(diǎn)B,連接0C.

(1)如圖①，推斷A8和0C的位置關(guān)系；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)3與點(diǎn)01重合時(shí)，用d表示元的長(zhǎng)；

(3)過點(diǎn)C作射線AO1的垂線，垂足為E,連接0E交AC于尸.當(dāng)4=10,。歸=1時(shí)，求罪的值.

0PA0PA0P

圖①圖②備用圖

第3題圖

專題八圓的綜合題

類型一動(dòng)點(diǎn)問題

例解：（1）如解圖①，設(shè)切點(diǎn)為H,連接CH.

?/BE）與。C相切于點(diǎn)〃，

：.CHLBD.

：AB=4,AD=3,

：.BD=yjAB2+AD2=5,

S&BCD-2^,CD—^BD,CH,

即。C的半徑為"f；

AR

例題解圖①

(2)如解圖②，連接CP,CQ,過點(diǎn)C作垂足為點(diǎn)M,

由(1)知BD=5.

:四邊形ABCD是矩形，.,.AC=3O=5.

在RtZXACM中，sin/%C=^=絆，

/IC

.CM6A/3

25?

.c,6小

??CM一§

CM

?.?在RtZ\CPM中，sin/CPM=^,

6小

../c5亞

..sinZCrM=~^~—2.

T

ZCPM=60°,即NCfi4=60°.

又,：CP=CQ,

：./\CPQ為等邊三角形，

...ZCCP=60°.

“12

60〃?至4

劣弧PQ的長(zhǎng)為=-兩一="

例題解圖②

(3)0°<NPCEW60°或120°^ZPCE<180°.

1.解：⑴根據(jù)題意，優(yōu)弧Q所在圓的半徑OA=26,由弧長(zhǎng)公式得“：/26=i3萬,解得〃=90.

1oU

???ZAOP=90°.(1分)

,:PQ〃OB,

：.ZPQO=ZAOB.

4

丁?tanN尸QO=tanNA03=g,

39

???在中，°°=嬴檢號(hào)

R"OQ5T

3

，x=冬(3分)

(2)當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)。的左側(cè)，且距離點(diǎn)。最遠(yuǎn)時(shí)，x取得最小值，此時(shí)，PQ與矗所在的圓相切，如解圖

①,

,:PQ〃OB,NOPQ=90。,

：.ZOQP=ZAOB.

4

-

tanZOQP=-^Q3

設(shè)。尸=4攵，則PQ=3匕

由勾股定理得0Q=N（）A+PC=5k.

?OP_4k_4

"OQ=5k=5-

OQ=（0P=與.（5分）

'.x=一苧.（6分）

此時(shí)直線I與前所在的圓的位置關(guān)系是相切；（7分）

（3）31.5或一16.5或一31.5.（10分）

2.解：（1）如解圖①，連接。8,

BD=y]OB2-ODT=^62-22=4^2.

：.AB=2BD^Sy[2；

(2)直線PB與。。相切；

理由：如解圖①，連接。4,OE,

'：OB=OA=OC,

：.ZOBA^ZOAB.

XVOE=OE,AE=CE,

/\AOE^/\COE,

：.ZOAE=ZOCE,

：.ZOCE=ZOBA.

?；PB=PE,

NPBE=NPEB.

'：ABA.CD,

...NOCE+NPEB=90°,

：.ZOBA+ZPBE^90°,即/PBO=90°,

：.OBLPB,

又：OB是。。的半徑，

.??直線PB與。。相切；

(3)線段PQ的最小值為2亞一6.

理由：如解圖②，連接BC,BO,

?.,。為OC的中點(diǎn)，

.,.CD=OD=^OC=^OB=3.

.?.在RtZX。。。中,ZOBD=3D0,

：.ZBOC=6Q°.

又；OB=OC,

/\BOC是等邊三角形.

為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

連接P。、0Q,

第2題解圖②

：0。為半徑，是定值6,

：.PQ+OQ的值最小時(shí)，PQ最小，

...當(dāng)P、Q、。三點(diǎn)共線時(shí)，PQ最小，

即點(diǎn)。為0P與。。的交點(diǎn)時(shí)，P。最小,

?/Z^=|ZCOB=30°,且AE=CE,

：.ZCEB=2ZA=60°,

又?：PB=PE,

...△PBE是等邊三角形.

在RtaOB。中，BD=76=32=3小,

：.AB=2BD=(y\J?>.

設(shè)4E=尤，則CE=x,ED=3小一x,

在RtZ\C￡>E中，CE2=CD2+DE2,即/=3?+(3小一丫產(chǎn)，

解得x=2小,

：.AE=2yf3,

：.BE=PB=AB-AE=M-2小=44.

,：在RtAOPB中，OP=、PB2+OB2=y/(4小)？+6?=2兩,

：.PQ=OP-OQ=2?-6,

線段PQ的最小值是2g—6.

3.解：(l),：PE10C,

：.ZOEP=90°,

：.ZEOP+ZEPO=90°,

為△OPE的內(nèi)心，

NMOP=ZMOC^ZEOP,NMPO=NMPE=；NEPO,

：.ZMOP+ZMPO=^(ZEOP+NEPO)=45。,

.?./OMP=180°—(/MOP+/MPO)=135°；

(2)NCM。的大小不改變，

理由如下：

如解圖①，連接CM,

在△COM和△POM中，

CO=PO

"NCOM=NPOM,

,OM=OM

：.△COMdPOM(SAS),

，ZCMO=ZOMP=135°,

...NCA/O的大小不改變;

C

(3)2r.

類型二旋轉(zhuǎn)問題

例解：⑴6；

【一題多解】如解圖③，設(shè)NPOK的度數(shù)為廣，由題意得，麗的長(zhǎng)為高〃X5=",

￡=60。，

：.ZPO'R=60。，

.c6025

??S"形尸o'/?=36()乃X25=不開.

?：0'R=P0'

：?△()'RP是等邊三角形，

.?)△o,RP-4人〉—4，

???半圓0'的面積為探"X5?=與不，

此時(shí)半圓。，與正方形ABCD重疊部分的面積為S4物a-Smpo'R+S^o?P=y"一帚"+挈=呼

1.⑴證明：設(shè)NA08=a,根據(jù)扇形面積公式5=焉?乃/知焉。^X32=3^r.

.*.a=120°.

如解圖①，連接oc,:c是Q中點(diǎn),

...ZAOC=ZBOC=60°.

\'OA=OB=OC,

...△AOC、ABOC為等邊三角形，

OA=0C=4C=OB=BC.

...四邊形OACB是菱形；

0

第1題解圖①

(2)解：①如解圖②，連接0C,

由(1)知△08。與44。。為等邊三角形，

，ZAOC=Z0CB=NA=NOCA=60°,

???/P。。=60。，

???ZAOC=ZPOQ.

：.ZAOC-ZCOM=ZPOQ-ZCOM,

：.ZAOM=ZNOC.

???NA=NOC8=60。，

OA=OC,

：./\OAM^/\OCN,

:,AM=CN,

：.MC+NC=MC+AM=AC=04=3；

第1題解圖②

②150。.

2.解：(1)1,y；

(2)如解圖②，連接OP、ON,過點(diǎn)。作OGLAQ于點(diǎn)G

??,半圓與直線相切，

???ONLDN,

???四邊形DGON為矩形，

：.DG=ON=^AB=2,

：.AG=AD-DG=\,

在RtZXAGO中，NAGO=90。，AO=2,AG=1,

ZAOG=30°,ZOAG=60°.

又：OA=OP,

：./\AOP為等邊三角形，

劣弧前的長(zhǎng)為‘°,總義2號(hào)".

1oU3

第2題解圖②

(3)4-市Wd<4或4=4+4.

3.解：⑴如解圖①，連接M3、0M,

?.?AB為半圓0的直徑，點(diǎn)M為弧AB上一動(dòng)點(diǎn),

NAM8=90°,

?.?以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，將弦M4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段

在MB上，

\'AM=2,AB=4,

：.ZMBA=30°,

：.NOAM=60°,

'：OA=OM,

：.^OAM是等邊三角形，

/AOM=60。，

"60"X22不

...AM的長(zhǎng)為〔go=亍

A0H

第3題解圖①

(2)點(diǎn)P能與點(diǎn)N重合.

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，如解圖②，連接P8,

,/ZAMN=90°,

直線MV過點(diǎn)8,即點(diǎn)M、P、2在同一條直線上,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AM=PM.

*.?0PLMN,

：.PB=PM=AMf

：.OP是△84M的中位線，

/.OP=%M,

設(shè)4M=JG則8M=24A/=2x,

在中，AM2+BM2=AB2,即f+（2x）2=42,

解得了=竽（負(fù)值已舍去），

OP=%M=^^.

.??點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，線段0P的長(zhǎng)為押.

殳

40H

第3題解圖②

（3）^3-1或小+1.

類型三動(dòng)圓問題

例（1）證明：如解圖①，連接AM、AN,則AM=AM

???四邊形A8C。是菱形，

：.AB=AD,

￡W分別是。。的切線,

JNBMA=ZDNA=90°,

在RtABMA和RtADNA中，

AB=AD

AM=AN'

/.RtABMA^RtAD^A(HL),

；?BM=DN；

例題解圖①

（2）解：如解圖②，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，且。尸在菱形A8CQ內(nèi)部時(shí)（不含邊界），過點(diǎn)P作于

H,

???在菱形ABCD中，A8=5,80=8,

：.ACA-BDf80=00=4,A0=C0,

：.AO=CO=y]AB2-BO2=yj52-42=3,

S^ABO—^AB?0H—^A0,BO,

.耳X5XOH=；X3X4,

12

解得oH=q

12

???當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，且。尸在菱形ABCD內(nèi)部時(shí)（不含邊界），r的取值范圍是0VY學(xué)

例題解圖②

513

（3）解：AP的長(zhǎng)為］或手.

1?解：發(fā)現(xiàn)如解圖①，連接OR（0Q,則0P=0Q=PQ=2,

???△0PQ為等邊三角形.

：.ZPOQ=60°,

60?22萬

???PQ的長(zhǎng)為180—3，

12%4〃

??/-2〃?43—3：Q分）

Q

第1題解圖①

思考小，2,坐，高一坐；（6分）

2.解：（1）圓心。落在AP上，即AP為。。的直徑,

???四邊形ABCD為平行四邊形,

：.AD//BC,

:?/DAB=/CBP,

4

/.tanZCBP=lan

???c尸為。O的切線，

???NBPC=90。,

?：BP=x,

4

CP=1x,

在RtZ\CBP中，BF^+PC^BC2,

/.X2+（1X）2=152,解得x=9（負(fù)值舍去）；

即x為9時(shí)，圓心。落在AP上；（2分）

PE與BC的位置關(guān)系為垂直；（4分）

（2）如解圖，過點(diǎn)C作CM_LAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作OFLAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡連

接OP，OQ,

4

由（1）可知8M=9,CM=]X9=12,

\*AB=3f

：.AM=\2=CM,

???NC4P=45。，

???NPOQ=2NCAP=90。，

Vx=4,

???PM=5,AP=7,

JCP=^CM2+PM2=^122+52=13,

OF1AP,

：CP為。。的切線，

，OPYCP,

：.ZOPF+ZCPM=90°,

NPCM+ZCPM=90°,

：.ZOPF=ZPCM,

.,.RtAOPF^RtAPCM,

7

.OP=PF_WOP=]_

'"PC~CM'即13—12,

91

解得OP專.

91

?90〃?萬男》

??PQ=_iso_

PQ'<AP；（8分）

（3）x218.（10分）

3.解：（1）當(dāng)半圓。與數(shù)軸相切時(shí)，ABLOB,

由勾股定理得m=y]OA2-AB2=A/102-62=8；

（2）①4WmW16且〃?W8：

（3）①當(dāng)OB=AB時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)B在同一條直線上,

如解圖②，過點(diǎn)A作AH_LO8于點(diǎn)H,

設(shè)BH=x,

由勾股定理得1。2-（6+》）2=62一/，

7

解得x=]，

725

OH=6+§=y,

25

,OH35

,TCOSZAOS=OA=W=6'

HH

第3題解圖②

②當(dāng)08=0A時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)。在同一條直線上,

如解圖③，過點(diǎn)A作于點(diǎn)，，

設(shè)BH=x,

由勾股定理得Iff—(I。一回2=62—，，

941

41

OHT41

???cos4°8=市=『前

綜上所述，cosNAOZ?的值為焉或養(yǎng).

HR

第3題解圖③

4.⑴①證明：TAB為直徑,

：.AD±BC,

又?.?A8=AC,

:.BD=DC,

在△ABO和△4(%>中，

AD=AD

<ZADB=ZADC=90°9

BD=CD

：.AABD^AACD(SAS)；

②解：如解圖，連接OF,

???四邊形ODFA是菱形，

/.OF±ADf

又???3C_LA。，

???OF//BC,

???0為A8中點(diǎn),

???于為AC中點(diǎn)

JZAFO=ZC,

又,.?A/7=；4C=2,

AO=。尸=%8=2,

：.AF=AO=OFf

/\AOF為等邊三角形,

???NC=NAFO=60。；

第4題解圖

(2)解：VBM±AC,

,RtZUBM的外心在AB上且為A8中點(diǎn),設(shè)A8的中點(diǎn)為N,

:?AN=2,

為滿足題意，則有4E>AN,

,即2vAEW4.

9

5.⑴證明：：PD.L0Af

???/尸。。=90。，

：.ZOPD+ZDOP=90°,

u

：ZPOB=90°f

???NPOQ+NBOC=90。，

：.ZOPD=ZBOC,

在△30C和△OP。中，

ZBOC=ZOPD

<ZOCB=ZPDOf

OB=PO

：.△BOCdOPO(AAS)；

(2)證明：如解圖①，

FAD0CA0(D)C

圖①圖②

第5題解圖

???3C，QA于點(diǎn)C,尸。，。4于點(diǎn)O,

:,PD〃BC,

?；DP=BC,

???四邊形PDCB是平行四邊形，

：.BP//AC；

⑶解：如解圖②，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí),

t：BO=AO=2,BC=l,NOC8=90。，

AZBOC=30°,

AZAOB=\50%N5OP=60。，BP=?=

1oU

①當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)c的右側(cè)時(shí)，呼的長(zhǎng)度逐漸變大.

_…150〃X25"

②當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，43="父八=丁

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在前上運(yùn)動(dòng)時(shí)，切線Pr交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E加的取值范圍為0V而〈學(xué)或?qū)W〈

6?（1）證明：如解圖①，連接ER

??,四邊形3/EC為。。的內(nèi)接四邊形,

:?/AEF=/B,NAFE=NC,

*：AB=ACf

：.ZB=ZCf

：./AEF=NAFE,

：.AE=AF；

B(D)()C

第6題解圖①

(2)解：畫圖如解圖②，連接。八OE、ET,

'：AB=AC,ZB=60°,

???△ABC為等邊三角形，

.\ZC=60°,

?:OE=OC,

：.ZEOC=ZOEC=60°,

???A8是。。的切線，

J0T1.AB.

VZBOT=90°-60°=30°,

：.ZTOE=90°,

;OT=OE,

???N7W=45。，

???ZAET=180°-45°-60°=75°；

第6題解圖②

(3)4<OCW6.

類型四折疊問題

例解：(1)135°；

(2)如解圖①，連接OQ,

??,扇形QA5的半徑為4,且P是。8中點(diǎn)，

：.OP=2,0。=4,

*：PQ//OAf

：.ZBPQ=ZAOB=90%

AZ1=30°,

???N2=N1=3O。，

.生30》?42

；.A。的長(zhǎng)為]80=手”；

0A

例題解圖①

（3）如解圖②，作點(diǎn)。關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)O,連接。0，、03、O'C,O'P,且。。，交P。于點(diǎn)M,則0M

=0，M,OO'1.PQ,O'P=0P=3,點(diǎn)O,是前所在圓的圓心，

：.0'C=0B=4,BP=4—0P=1,

?.?折疊后的Q?'恰好與半徑0A相切于點(diǎn)C,

：.O'CLA0,

：.O'C//OB,

四邊形OCCXB是矩形，

.?.在RtZ\O'BP中，O'丁:守一）=2啦,

.?.在RtZ\08。’中，00'=W2+（2&）2=2#.

/.0M=^00'=92#=水,

...點(diǎn)。到折痕P。的距離為出.

例題解圖②

1.解：⑴相切,理由如下:

如解圖①，過。作0。，4c于點(diǎn)。，交48于點(diǎn)E,

,/o=15°,A'C//AB,

：.ZABA1=/CA'8=30°,

Z.DE=^A'E,OE=^BE,

：.D0=DE+OE=^(A'E+BE)=^AB=OA,

又?；0A為半圓。的半徑，

為。。的半徑.

.?.A'C與半圓0相切；

(2)45；30；

(3):?點(diǎn)戶與點(diǎn)A不重合，，。＞0,

由(2)可知當(dāng)a增大到30。時(shí)，點(diǎn)0,在半圓上，

.?.當(dāng)0。＜。＜30。時(shí)，點(diǎn)0,在半圓內(nèi)，線段80,與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)8；

當(dāng)a增大到45。時(shí)，BA'與半圓相切，即線段80,與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A

當(dāng)a繼續(xù)增大時(shí)，點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)B,但是點(diǎn)