切線長定理應(yīng)用 學(xué)案 人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)同步重難點(diǎn)專題：切線長定理應(yīng)用

[二:型特點(diǎn)分析

如圖，PA,P8是。。的切線，A.8為切點(diǎn)，/C是OO的直徑，/尸=60°.

(1)求N8//C的度數(shù)；

(2)當(dāng)0/=2時(shí)，求力8的長.

情景特點(diǎn)：PA,P8是。。的切線4C是OO的直徑

問題特點(diǎn)：求N8/1C的度數(shù)求的長

[二例題講解

【解答】解：(1)；刃，P8是。。的切線,

：.AP=BP,

VZP=60°,

：.ZPAB=6Q°,

是OO的直徑，

：.ZPAC=90°,

：.ZBAC=900-60°=30°.

(2)連接OP,則在RtZXZOP中，04=2,N4尸0=30°,

：.OP=49

由勾股定理得：AP=2V3,

?;AP=BP,ZAPB=60°,

/\APB是等邊三角形，

.\AB=AP=2V3.

1.切線長定理

(1)圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)

到圓的切線長.

(2)切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線,

平分兩條切線的夾角.

(3)注意：切線和切線長是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長,

這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.

(4)切線長定理包含著一些隱含結(jié)論：

①垂直關(guān)系三處;

②全等關(guān)系三對(duì);

③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到.

1.如圖，PA,PB是。。的切線，CD切于點(diǎn)E,/\PCD的周長為12,NAPB=

60°.求:

(1)PA的長;

(2)NCO。的度數(shù).

2.如圖，N8為。。直徑，PA.PC分別與。。相切于點(diǎn)/、C,PQLPA,尸。交0c的延長

線于點(diǎn)Q.

(1)求證：OQ=PQ-,

(2)連8c并延長交尸。于點(diǎn)。，PA=AB,且CQ=6,求8。的長.

(1)△P8的周長;

(2)若/尸=50°,求NCOO的度數(shù).

4.如圖，NAPB=52°,24、PB、DE都為的切線，切點(diǎn)分別為A.B、F,且PA=

6.

(1)求△尸。E的周長;

(2)求NOOE的度數(shù).

5.己知以、P8分別切于4B,E為劣弧上一點(diǎn)，過E點(diǎn)的切線交融于C、交

PB于D.

(1)若以=6,求△尸CD的周長.

(2)若/尸=50°求NDOC.

6.如圖，AB、BC、C。分別與OO相切于E、F、G,SLAB//CD,80=6,C0=8.

(1)判斷△08C的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)求8c的長；

(3)求。。的半徑。尸的長.

AB

7.如圖，P是OO外的一點(diǎn)，PA、PB分別與。0相切于點(diǎn)4、B,C是AB上的任意一點(diǎn),

過點(diǎn)C的切線分別交為、PB于點(diǎn)D、E.

(1)若孫=4,求△PEO的周長；

(2)若/尸=40°,求N/ES的度數(shù).

8.如圖，直線/8、BC、。分別與OO相切于E、F、G,且OB=6cm,OC=

8cvn.求：

(1)N80C的度數(shù)；

(2)8E+CG的長；

(3)。。的半徑.

9.如圖，刃和尸8是。。的兩條切線，A,8是切點(diǎn).C是弧力8上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C畫。O

的切線，分別交以和P8于。，￡兩點(diǎn)，已知必=25=5"：,求△PDE的周長.

D

10.如圖，PA.尸8是。。的切線，A.B為切點(diǎn),“C是（DO的直徑，/BAC=20°,求NP

的度數(shù).

11.如圖，B4、PB、C。是。。的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)/、B、E,若△PCZ）的周長為18c加,

NAPB=60°,求的半徑.

12.如圖，PA.尸8是。。的切線，切點(diǎn)分別是4、B,直線E/也是。。的切線，切點(diǎn)為。,

交為、PB于點(diǎn)、E、F,已知為=12c，〃，ZP=40°

①求△尸跖的周長；

②求/EO尸的度數(shù).

13.如圖，24、PB、DE切0。于點(diǎn)X、B、C、。在我上，E在P8上,

(1)若以=10,求△2/后■的周長.

(2)若/尸=50°，求N。度數(shù).

14.如圖，PA,P8切。。于4、8兩點(diǎn)，C。切。。于點(diǎn)E,分別交以、P8于點(diǎn)C、D.若

24、PB的長是關(guān)于x的一元二次方程X?-mx+m-1=0的兩個(gè)根，求△尸C￡)的周長.

I.如圖，PA.PB是的切線，CD切于點(diǎn)E,/XPCD的周長為12,NAPB=

60°.求:

(1)PA的長；

(2)NCO。的度數(shù).

【解答】解：(I)CE都是圓。的切線,

：.CA=CE,

RSDE=DB,PA=PB,

，三角形PCD的周長MPD+CO+PCMPD+PC+CZ+BDMH+PBMZHMIZ,

即PA的長為6；

(2)VZP=60°,

：.ZPCE+ZPDE=120a,

：.ZACD+ZCDB=?>()QO-120°=240°,

,：CA,CE是圓。的切線，

ZOCE=ZOCA=上/4CD：

2

同理：NODE=LNCDB,

2

AZOCE+ZODE^^-CZACD+ZCDB)=120。,

2

2.如圖，ZB為OO直徑，PA.PC分別與O。相切于點(diǎn)1、C,PQLPA,P。交OC的延長

線于點(diǎn)0.

(1)求證：OQ=PQ；

(2)連8c并延長交。0于點(diǎn)O,PA=AB,且C0=6,求8。的長.

A

yP

Q

【解答】(1)證明：連接OP

???以、PC分別與OO相切于點(diǎn)4,C,

：.PA=PC,OA1,R4,

U

\OA=OC9OP=OP,

：./\OPA^/\OPC(SSS),

/AOP=/POC,

yQP±PAt

：.QP//BA,

：.ZQPO=ZAOP,

:?/QOP=/QPO,

：.OQ=PQ.

(2)設(shè)OA=r.

?：OB=OC,

：?/OBC=/OCB,

?：OB〃QD,

：.ZQDC=ZB9

?：/OCB=/QCD,

：.ZQCD=ZQDCf

???0。=0。=6，vQO=QP,

：.OC=DP=〃,

??,PC是。。的切線，

：.OC±PC,

：,/OCP=/PCQ=90°,

122

在RtAPC0中，,：PQ=PC+QC9

???(6+r)2=62+(2r)2,

r=4或0(舍棄)，

:.OP=yj42+82=4娓,

?：OB=PD,OB//PD,

???四邊形OBDP是平行四邊形，

:?BD=OP=4瓜

3.己知：PA.PB、CO分別切。。于4、B、￡*三點(diǎn)，以=6.求:

(1)△尸CO的周長；

(2)若/尸=50°，求NC。。的度數(shù).

【解答】解：(1),：PA,PB切。0于4、B,CD切。0于E,

:.PA=PB=6,ED=BD,C￡=/C；

,△PCD的周長=P￡>+DE+PC+CE=2刃=12；

(2)連接OE,如圖所示：

由切線的性質(zhì)得，ON_L刃，OBLPB,OELCD,

：.NOAC=NOEC=NOED=NOBD=90°,

AZJOS+ZP=180°,

.?.NZO8=I80°-ZP=130°,

由切線長定理得：NAOC=NEOC,ZEOD=ZBOD,

.?./COD=l/4O8=Lxi30°=65°.

22

4.如圖，NAPB=52；24、PB、DE都為。。的切線，切點(diǎn)分別為A、B、F,且B4=

6.

(1)求歷的周長;

(2)求/OOE的度數(shù).

D

【解答】解：(1)；以、PB、DE都為的切線,

：.DA=DF,EB=EF,PA=PB=(>,

：.DE=DA+EB,

：.PE+PD+DE=PA+PB=12,

即的周長為12；

(2)連接OR

'：PA,PB、DE分別切G)O于1、B、尸三點(diǎn)，

：.OBLPB,OALPA,/BOE=NFOE=L/BOF,NFOD=NAOD=L/AOF,

22

?:NAPB=52°,

...408=360°-90°-90°-52°=128°,

；.NDOE=NFOE+/FOD=LCZBOF+ZAOF)=』/8O4=64°.

22

5.己知以、P8分別切。。于4、B,E為劣弧48上一點(diǎn)，過E點(diǎn)的切線交Ri于C、交

PB于D.

(1)若以=6,求△PCD的周長.

(2)若/尸=50°求NOOC.

,：PA.P8與圓。相切，

:.PA=PB=6,

同理可得：AC=CE,BD=DE,

△PCD的周長=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=R4+PB=12；

(2)'：PAPB與圓O相切，

：.NO4P=NOBP=9Q°ZP=50°,

.?.408=360°-90°-90°-50°=130°,

在RtAJOC和RtAfOC中，

[OA=OE,

loc=oc，

ARtAJOC^RtAfOCqHL),

：.NAOC=NCOE,

同理：NDOE=NBOD,

：.ZCOD^^ZAOB=65°.

6.如圖，AB、BC、CO分別與(DO相切于心F、G,且48〃8,80=6,CO=8.

(1)判斷△08C的形狀，并證明你的結(jié)論;

(2)求BC的長;

(3)求OO的半徑。尸的長.

【解答】(1)答：ZiOBC是直角三角形.

證明：：/仄BC、CD分別與。。相切于￡、F、G,

：.NOBE=NOBF=L/EBF,NOCG=ZOCF=-ZGCF,

22

?:AB"CD,

:./EBF+NGCF=18?！?

：.NOBF+/OCF=90°,

：.ZBOC=90Q,

.?.△08C是直角三角形；

(2)解：\?在RtABOC中,50=6,C0=8,

522

二C=I/BQ4<：0=1。；

(3)解：BC、C￡)分別與。。相切于E、F、G,

：.OFLBC,

,,B0<062<8

OF===4.8.

BC10

7.如圖，P是。。外的一點(diǎn)，PA、尸8分別與。。相切于點(diǎn)4、B,C是篇上的任意一點(diǎn),

過點(diǎn)C的切線分別交以、PB于點(diǎn)D、E.

(1)若以=4,求△PE。的周長；

(2)若/尸=40°,求//q的度數(shù).

【解答】解：(1)OC都是圓。的切線，

：.DC=DA,

同理EC=E8,

是。。外的一點(diǎn)，必、P8分別與。。相切于點(diǎn)4、B

:.PA=PB,

三角形PDE的周長=PO+P￡+DE=PZ)+Z)C+P￡+8E=P4+P8=2ZM=8,

即三角形PZ)E的周長是8；

(2)連接48,

,:R4=PB,

J.ZPAB^ZPBA,

VZP=40°,

:.NB4B=NPB4=L(180-40)=70°,

2

:BFLPB,8尸為圓直徑

:./ABF=NPBF=9Q°-70°=20°

AZAFB=90°-20°=70°.

答：(1)若為=4,△PE。的周長為8；

(2)若/尸=40°,NZ總的度數(shù)為70°.

8.如圖，直線48、BC、8分別與。。相切于E、F、G,且工8〃C￡>,OB=6cm,OC=

8aM.求：

(1)乙80c的度數(shù)；

(2)8E+CG的長；

(3)。。的半徑.

【解答】解：（1）連接OF；根據(jù)切線長定理得：BE=BF,CF=CG,NOBF=NOBE,

4OCF=40CG；

■:ABHCD,

.,.N/8C+N8CD=180°,

：.NOBF+NOCF=90°,

AZBOC=90Q；

（2）由（1）知，Z5OC=90°.

?：OB=6cm,O（J=8C/7?,

，由勾股定理得到：8C=JOB2"HOC2=10cm,

：.BE+CG=BC=\Ocm.

(3)與。。相切于點(diǎn)尸，

：.OF-LBC,

S^OBC^—OFXBC^^OBxoc,即工OFX10=Ax6X8.

2222

OF=4.8C777.

9.如圖，融和尸8是OO的兩條切線，A,8是切點(diǎn).C是弧上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C畫。。

的切線，分別交融和28于。，E兩點(diǎn)，已知必=PB=5cm,求的周長.

：.PA=PB,

同理可得：DA=DC,EB=EC,

：./\PDE的周長=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+D4+EB+PE=E4+PB=10(cm).

10.如圖，PA.尸8是。。的切線，A.8為切點(diǎn)，/C是。0的直徑，/8/C=20°,求NP

的度數(shù).

【解答】解：根據(jù)切線的性質(zhì)得：N%C=90°,

所以NR18=90°-NB4c=90°-20°=70°,

根據(jù)切線長定理得以=P8,

所以/以8=/。8/=70°,

所以/尸=180°-70°X2=40°.

II.如圖，PA,PB、8是。。的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)/、B、E,若△PC。的周長為18cm,

N4PB=60°,求。。的半徑.

【解答】解：連接04OP,則。/，以，

根據(jù)題意可得：CA=CE,DE=DB,PA=PB,

'：PC+CE=DE+PD=18,

PC+CA+DB+PD=18,

；.勿=工*18=9(cm),

2

'：PA,P8是。。的切線，

AZAPO=^ZAPB=30",

2

在RtzMOP中，PO=2AO,AO>0,

故。貂+92=⑵。）2

解得：。/=3\回,

12.如圖，PA.P8是。。的切線，切點(diǎn)分別是/、B,直線E尸也是的切線，切點(diǎn)為0,

交.PA、PB于點(diǎn)、E、F,已知⑸=12的，ZP=40°

①求APE尸的周長；

②求NE。尸的度數(shù).

【解答】解：①???的尸8是。。的切線，

:.PA=PB,

又；直線E尸是。。的切線，

：.EB=EQ,FQ=FA,

：.XPEF的周長=PE+PF+EF=PE+PF+￡8+H=H+P8=2/M=24c"?；

②連接OE,OF,則Of平分N8EF,OF平分N4FE,

^1ZOEF+ZOFE=1(ZP+ZPFE)(P+NPEF)=A(180°+40°)=110°,

222

.?.NEO尸=180°-110°=70°.

13.如圖，PA.