華師大新版八年級下學(xué)期《19.1.1矩形的性質(zhì)》同步練習(xí)卷

華師大新版八年級下學(xué)期《19.1.1矩形的性質(zhì)》

同步練習(xí)卷

一.選擇題（共26小題）

1.如圖所示，矩形ABCD中，AE平分NBAD交BC于E,ZCAE=15",則下面的

結(jié)論：

①△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③NAOE=135°；④SMOE=SMOE，

其中正確結(jié)論有（）

2.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點E為BC的中點，將4ABE沿AE折

疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，連接CF,則CF的長為（）

3.如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B，處，若AE=2,DE=6,

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊，則重疊部分4AFC

的面積為（)

5.如圖，在矩形ABCD中，。為AC中點，EF過。點且EF_LAC分別交DC于F,

交AB于E,點G是AE中點且NAOG=30。，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

（1）DC=30G；（2）0G=1BC；（3）ZSOGE是等邊三角形；（4）SAAOE=1S矩般ABCD?

26

6.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點B的坐標(biāo)為（3,4）,D

是0A的中點，點E在AB上，當(dāng)4CDE的周長最小時，點E的坐標(biāo)為（）

33

7.如圖，矩形ABCD中，BC=2AB,對角線相交于0,過C點作CE_LBD交BD于

E點，H為BC中點，連接AH交BD于G點，交EC的延長線于F點，下列5

個結(jié)論：①EH=AB；②NABG=/HEC；③△ABGgZ\HEC；?SAGAD=S四娜GHCE;

⑤CF=BD.正確的有（）個.

8.如圖，在矩形ABCD中，AD=&AB,ZBAD的平分線交BC于點E,DH1AE

于點H,連接BH并延長交CD于點F,連接DE交BF于點0,下列結(jié)論：

①NAED=NCED；②0E=0D；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=HF,

9.如圖，矩形ABCD中，。為AC中點，過點。的直線分別與AB、CD交于點E、

F,連結(jié)BF交AC于點M,連結(jié)DE、B0.若NCOB=60。，F(xiàn)0=FC,則下列結(jié)論：

①FB垂直平分0C；②aEOB之△CMB；③DE=EF；@SAAOE：SABCM=2：3.其中

10.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點0,以下說法錯誤的是（）

A.ZABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD

11.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,AE±BD,垂足為E,

AE=3,ED=3BE,則AB的值為（）

12.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對角相等B.對邊相等

C.對角線相等D.對角線互相平分

13.如圖，將矩形紙片ABCD沿直線EF折疊，使點C落在AD邊的中點U處，點

B落在點B，處，其中AB=9,BC=6,則FC的長為（）

3

14.如圖，在矩形ABCD中（AD>AB）,點E是BC上一點，且DE=DA,AF1DE,

A.AAFD^ADCEB.AF」ADC.AB=AFD.BE=AD-DF

2

15.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3.若點E是邊CD的中點，連接AE,過

點B作BF±AE交AE于點F,則BF的長為（）

B3^c.隼

2,5。?喑

16.如圖，點。是矩形ABCD的對角線AC的中點，OM〃AB交AD于點M,若

0M=3,BC=10,則OB的長為()

A.5B.4c.年D.V34

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,點P在AB上，PE_LAC于E,PF±BD

于F,則PE+PF等于（）

BcD

5-T-T-￥

18.如圖，在矩形ABCD中，E,F分別是邊AB,CD上的點，AE=CF,連接EF,

BF,EF與對角線AC交于點0,且BE=BF,NBEF=2NBAC,FC=2,則AB的長

8C.4MD.6

19.如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB、BC的長

分別是6和8,則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（)

20.如圖，在矩形ABCD中，AD=6,AE1BD,垂足為E,ED=3BE,點P、Q分別

在BD,AD上，則AP+PQ的最小值為（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.矩形的對角線互相垂直

C.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

D.四邊相等的四邊形是菱形

22.如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,CE〃BD,DE〃AC,AD=2?,

DE=2,則四邊形OCED的面積為（）

23.如圖，E,F分別是矩形ABCD邊AD、BC上的點，且^ARG,4DCH的面積

分別為15和20,則圖中陰影部分的面積為（）

A.15B.20C.35D.40

24.如圖，在矩形ABCD中，邊AB的長為3,點E,F分別在AD,BC上，連接

BE,DF,EF,BD.若四邊形BEDF是菱形，且EF=AE+FC,則邊BC的長為（）

A.2A/3B.3MC.6MD.

25.矩形ABCD中，AB=2,AD=1,點M在邊CD上，若AM平分NDMB,則DM

26.如圖，矩形ABCD的頂點A、C分別在直線a、b上，且2〃1>,Zl=60°,則

Z2的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

二.填空題（共15小題）

27.如圖，E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點，連接AC、AF、EF,若

AF1EF,AC=V6?則AB的長為.

28.矩形ABCD對角線AC、BD相交所成鈍角為120。，AE±BD于E,BE=3,則

DE的長為.

29.如圖，長方形ABCD中，ZA=ZABC=ZBCD=ZD=90°,AB=CD=6,AD=BC=10,

點E為射線AD上的一個動點，若aABE與△ABE關(guān)于直線BE對稱，當(dāng)aABC

為直角三角形時，AE的長為

30.如圖，在矩形ABCD中，AD=6,AB=4,點E、G、H、F分別在AB、BC、CD、

AD上，且AF=CG=2,BE=DH=1,點P是直線EF、GH之間任意一點，連接PE、

PF、PG、PH,則APEF和APGH的面積和等于.

31.如圖，矩形ABCD中，點E,F,G,H分別在邊AB,BC,CD,DA上，點P

在矩形ABCD內(nèi).若AB=4cm,BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm,四邊形

AEPH的面積為5cm2,則四邊形PFCG的面積為cm2.

32.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，矩形OABC中，A(10,0),C

(0,4),D為OA的中點，P為BC邊上一點.若APOD為等腰三角形，則所

有滿足條件的點P的坐標(biāo)為

33.如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將4ADE沿AE折疊后得到△

AFE,且點F在矩形ABCD內(nèi)部.將AF延長交邊BC于點G.若竺=工，則辿

GBkAB

=用含k的代數(shù)式表示）.

34.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,對角線AC,BD相交于點0,AE垂直平分

0B于點E,則AD的長為.

35.如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于

點F,ZAED=2ZCED,點G是DF的中點，若BE=1,AG=4,則AB的長為.

36.如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點0,點E是BC上一點，且AB=BE,

Zl=15°,則N2=.

37.在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,點E,F在直線AD上，且四邊形BCFE為菱

形.若線段EF的中點為點M,則線段AM的長為.

38.如圖，四邊形ABCD為矩形，H、F分別為AD、BC邊的中點，四邊形EFGH

為矩形，E、G分別在AB、CD邊上，則圖中四個直角三角形面積之和與矩形

EFGH的面積之比為

HD

E

R

39.如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,則圖中五個小矩形的周長之和為.

40.如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點E,使CE=BD,連結(jié)AE,如果NADB=30。,

則NE=度.

E

41.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,過點A作AE^BD,

垂足為點E,若NEAC=2NCAD,則NBAE=度.

三.解答題（共9小題）

42.已知：矩形ABCD中，E,F分別是AD、BC的中點，CE、AF分別交BD于G,

H兩點.求證：EG=FH.

43.如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,點P是AB邊上一點（不與A,B重

合)，連接CP,過點P作PQ_LCP交AD邊于點Q,連接CQ.

(1)當(dāng)△CDQ之△CPQ時，求AQ的長；

(2)取CQ的中點M,連接MD,MP,MD±MP,求AQ的長.

44.如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點。，BE1AC,CF1BD,垂足分別為E,

F.

45.已知：如圖,在矩形ABCD中,AC是對角線.點P為矩形外一點且滿足AP=PC,

AP1PC.PC交AD于點N,連接DP,過點P作PM_LPD交AD于M.

(1)若AP=娓，AB=1BC,求矩形ABCD的面積；

3

(2)若CD=PM,求證：AC=AP+PN.

46.如圖，E,F分別是矩形ABCD的邊AD,AB上的點，若EF=EC,且EF，EC.

(1)求證:AE=DC；

(2)已知DC=圾，求BE的長.

B

47.如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的

點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若AB=6,AC=10,求四邊形AECF的面積.

48.如圖，矩形ABCD中，點E為矩形的邊CD上任意一點，點P為線段AE中點,

連接BP并延長交邊AD于點F,點M為邊CD上一點，連接FM,且N1=N2.

(1)若AD=2,DE=1,求AP的長；

(2)求證：PB=PF+FM.

49.如圖，矩形ABCD中，延長AB至E,延長CD至F,BE=DF,連接EF,與BC、

AD分別相交于P、Q兩點.

(1)求證：CP=AQ；

(2)若BP=1,PQ=2?,ZAEF=45°,求矩形ABCD的面積.

50.如圖，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,點E、F分別在邊CD、AB上.

(1)若DE=BF,求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

(2)若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長.

華師大新版八年級下學(xué)期《19.1.1矩形的性質(zhì)》

同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

—.選擇題（共26小題）

1.如圖所示，矩形ABCD中，AE平分NBAD交BC于E,ZCAE=15°,則下面的

結(jié)論：

①△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③NAOE=135°；④S,\AOE=SMOE，

其中正確結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)求出OD=OC,根據(jù)角求出NDOC=60。即可得出三角形DOC

是等邊三角形，求出AC=2AB,即可判斷②，求出NBOE=75。，ZAOB=60°,相

加即可求出NAOE,根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出SAAOE=SCOE.

【解答】解：?.?四邊形ABCD是矩形，

ZBAD=90°,OA=OC,OD=OB,AC=BD,

,.OA=OD=OC=OB,

.,AE平分NBAD,

,.ZDAE=45O,

.,ZCAE=15°,

,.ZDAC=30°,

/OA=OD,

\ZODA=ZDAC=30°,

\ZDOC=60°,

/OD=OC,

?.△ODC是等邊三角形，...①正確;

?.?四邊形ABCD是矩形，

，AD〃BC,ZABC=90°

，NDAC=NACB=30°,

，AC=2AB,

VAOBC,

，2AB>BC,.,.②錯誤；

VADZ/BC,

AZDBC=ZADB=30°,

「AE平分NDAB,ZDAB=90°,

，NDAE=NBAE=45",

?.?AD〃BC,

/.ZDAE=ZAEB,

，ZAEB=ZBAE,

，AB=BE,

?四邊形ABCD是矩形，

/.ZDOC=60°,DC=AB,

VADOC是等邊三角形，

/.DC=OD,

，BE=BO,

，NBOE=NBEO=L(180°-ZOBE)=75°,

2

ZAOB=ZDOC=60°,

/.ZAOE=60°+75°=135°,.?.③正確；

V0A=0C,

...根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出SMOE=SCOE，.??④正確;

故選：C.

BEC

【點評】本題考查了矩形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，角平分線定義，等邊三角形的性質(zhì)

和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的綜合運用.

2.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點E為BC的中點，將4ABE沿AE折

疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，連接CF,則CF的長為（）

【分析】連接BF,根據(jù)三角形的面積公式求出BH,得到BF,根據(jù)直角三角形的

判定得到NBFC=90。，根據(jù)勾股定理求出答案.

【解答】解：連接BF,

VBC=6,點E為BC的中點,

；.BE=3,

XVAB=4,

/"AE=VAB2+BE2=5,

由折疊知，BF±AE（對應(yīng)點的連線必垂直于對稱軸）

?u_ABXBE_12

??DDrl----------------------------，

AE5

則BF="

5

VFE=BE=EC,

.,.ZBFC=90°,

??3商一告評.

【點評】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換,

它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)

角相等是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B'處，若AE=2,DE=6,

ZEFB=60°,則矩形ABCD的面積是（）

【分析】在矩形ABCD中根據(jù)AD〃BC得出NDEF=NEFB=60。，由折疊的性質(zhì)可得

NA=NA'=90°,A'E=AE=2,AB=A'B',NA'EF=NAEF=180°-60°=120°,/.Z

A，EB，=60。.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB=AB=2?,然后根據(jù)矩形的面積公

式列式計算即可得解.

【解答】解：在矩形ABCD中，

VAD/7BC,

.?.NB'EF=NEFB=60°,

由折疊的性質(zhì)得NA=NA'=90°,A'E=AE=2,AB=A'B',ZA,EF=ZAEF=180°-60°=120°,

:.NA'EB'=NA'EF-ZB,EF=120°-60°=60°.

在RtZWEB'中，

VZA,B,E=90°-60°=30°,

，B'E=2A'E,而A'E=2,

B'E=4,

，AB=2心即AB=2b，

VAE=2,DE=6,

，AD=AE+DE=2+6=8,

，矩形ABCD的面積=AB?AD=2?X8=16?.

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，

兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形

并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊，則重疊部分AAFC

A.12B.10C.8D.6

【分析】?.'△AD'C之△ABC,...△AD'F絲Z\CBF,得aAD'E與aCBF面積相等，設(shè)

BF=x,列出關(guān)于x的關(guān)系式，解得x的值即可解題.

【解答】解：?.?△AD'CgZ^ABC,

/.△ADT^ACBF,

...△AD午與4CBF面積相等，

設(shè)BF=x,則(8-x)2=X2+42,

64-16X+X2=X2+16,

16x=48,

解得x=3,

.,.△AFC的面積=LX4X8-1X3X4=10.

22

故選:B.

【點評】本題考查了全等三角形的證明，全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，矩形各

內(nèi)角為直角的性質(zhì)，本題中正確計算BF的值是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在矩形ABCD中，。為AC中點，EF過。點且EFLAC分別交DC于F,

交AB于E,點G是AE中點且NAOG=30。，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

(1)DC=3OG；(2)OG=1BC；(3)aOGE是等邊三角形；(4)SAAOE」S矩般ABCD.

26

AGEB

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OG=AG=GE=1AE,

2

再根據(jù)等邊對等角可得NOAG=30。，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出N

GOE=60°,從而判斷出AOGE是等邊三角形，判斷出（3）正確；設(shè)AE=2a,

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出0E,利用勾股定理列式求出A0,從而得到AC,

再求出BC,然后利用勾股定理列式求出AB=3a,從而判斷出（1）正確，（2）

錯誤；再根據(jù)三角形的面積和矩形的面積列式求出判斷出（4）正確.

【解答】解：；EF_LAC,點G是AE中點，

/.OG=AG=GE=1AE,

2

ZAOG=30°,

/.ZOAG=ZAOG=30o,

ZGOE=90°-ZAOG=90°-30°=60°,

...△OGE是等邊三角形，故（3）正確；

設(shè)AE=2a,貝UOE=OG=a,

AO=22=22=AaJ

由勾股定理得，7AE-0E7（2a）-a/3

?.?0為AC中點,

.,.AC=2AO=2?a,

BC=A-AC=A-X2心=心，

在Rt^ABC中，由勾股定理得，AB=J（26a）2-G/^a）2=3a，

?.?四邊形ABCD是矩形,

CD=AB=3a,

/.DC=3OG,故（1）正確;

VOG=a,lBC=^-a,

22

.-.BC^IBC,故（2）錯誤;

2

SABCD=3a*-/3a=3\/3a2,

SAAOE=—SABCD?故(4)正確；

6

綜上所述，結(jié)論正確是(1)(3)(4)共3個.

故選：C.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性

質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，

設(shè)出AE、0G,然后用a表示出相關(guān)的邊更容易理解.

6.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點B的坐標(biāo)為(3,4),D

是0A的中點，點E在AB上，當(dāng)4CDE的周長最小時，點E的坐標(biāo)為()

A.(3,1)B.(3,C.(3,回)D.(3,2)

33

【分析】如圖，作點D關(guān)于直線AB的對稱點H,連接CH與AB的交點為E,此

時4CDE的周長最小，先求出直線CH解析式，再求出直線CH與AB的交點

即可解決問題.

【解答】解：如圖，作點D關(guān)于直線AB的對稱點H,連接CH與AB的交點為E,

此時4CDE的周長最小.

VD(W,0),A(3,0),

2

AH(20),

2

，直線CH解析式為y=--1x+4,

x=3時，y=—,

3

.?.點E坐標(biāo)(3,A)

3

故選：B.

【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、軸對稱-最短問題、一次函

數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱找到點E位置，學(xué)會利用一次函數(shù)解決

交點問題，屬于中考?？碱}型.

7.如圖，矩形ABCD中，BC=2AB,對角線相交于0,過C點作CEJ_BD交BD于

E點，H為BC中點，連接AH交BD于G點，交EC的延長線于F點，下列5

個結(jié)論：①EH=AB；②NABG=NHEC；③4ABG烏△H（：；@SAGAD=S四邊形GHCE;

C.4D.5

【分析】根據(jù)BC=2AB,H為BC中點，可得4ABH為等腰直角三角形，HE=BH=HC,

可得ACEH為等腰三角形，又NBCD=90。，CE±BD,利用互余關(guān)系得出角的相

等關(guān)系，根據(jù)基本圖形判斷全等三角形，特殊三角形進行判斷.

【解答】解：①在aBCE中，：CE，BD,H為BC中點，/.BC=2EH,又BC=2AB,

，EH=AB,正確；

②由①可知，BH=HE.\ZEBH=ZBEH,又NABG+NEBH=/BEH+NHEC=90。，AZ

ABG=NHEC,正確；

③由AB=BH,NABH=90°,得NBAG=45°,同理：ZDHC=45°,/.ZEHC>ZDHC=45",

.?.△ABG之△HEC,錯誤;

④作AM_LBD,則AM=CE,AAMD^ACEB,

VAD/7BC,

/.△ADG^AHGB,

?AG

??~z.，

GH

即AABG的面積等于4BGH的面積的2倍，

根據(jù)已知不能推出^AMG的面積等于4ABG的面積的一半，

即SAGAD#S四邊形GHCE，④錯誤

@ZECH=ZCHF+ZF=45°+ZF,又NECH=NCDE=/BAO,ZBAO=ZBAH+ZHAC,

.,.ZF=ZHAC,，CF=BD,正確.

正確的有三個.

【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三

角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定.解答該題的關(guān)鍵是證明等腰三角形，

全等三角形.本題綜合性較強，難度比較大.

8.如圖，在矩形ABCD中，AD=?AB,ZBAD的平分線交BC于點E,DH1AE

于點H,連接BH并延長交CD于點F,連接DE交BF于點0,下列結(jié)論：

①NAED=NCED；②0E=0D；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=HF,

其中正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】①根據(jù)角平分線的定義可得NBAE=NDAE=45。，然后利用求出^ABE是

等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=V2AB,從而得到AE=AD,

然后利用"角角邊"證明aABE和4AHD全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得

BE=DH,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出NADE=/AED=67.5。，根據(jù)平角等

于180。求出NCED=67.5。，從而判斷出①正確；

②求出NAHB=67.5°,NDHO=NODH=22.5。，然后根據(jù)等角對等邊可得OE=OD=OH,

判斷出②正確；

③求出NEBH=NOHD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45°,然后利用"角邊角"證明△BEH

和△HDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BH=HF,判斷出③正確；

④根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=HE,然后根據(jù)HE=AE-AH=BC-CD,BC-

CF=BC-(CD-DF)=2HE,判斷出④正確；

⑤判斷出AABH不是等邊三角形，從而得到ABWBH,即ABWHF,得到⑤錯誤.

【解答】解：:在矩形ABCD中,AE平分NBAD,

.,.ZBAE=ZDAE=45°,

???△ABE是等腰直角三角形，

Z.AE=V2AB,

VAD=A/2AB,

；.AE=AD,

在4ABE和aAHD中，

'NBAE=/DAE

<ZABE=ZAHD=90°，

AE=AD

.'.△ABE^AAHD(AAS),

，BE=DH,

，AB=BE=AH=HD,

，NADE=NAED=L(180°-45°)=67.5°,

2

，ZCED=180--45°-67.5°=67.5°,

/.ZAED=ZCED,故①正確；

VAB=AH,

VZAHB=1.(180°-45°)=67.5°,ZOHE=ZAHB(對頂角相等),

2

.,.ZOHE=67.5°=ZAED,

.,.OE=OH,

VZDHO=90°-67.5°=22.5°,ZODH=67.5°-45°=22.5°,

/.ZDHO=ZODH,

，OH=OD,

/.OE=OD=OH,故②正確;

VZEBH=90°-67.5°=22.5°,

NEBH=NOHD,

在△BEH和△HDF中，

'NEBH=/0HD=22.5°

<BE=DH，

NAEB=NHDF=45°

.,.△BEH之△HDF(ASA),

；.BH=HF,HE=DF,故③正確；

VHE=AE-AH=BC-CD,

ABC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故

④正確；

VAB=AH,ZBAE=45°,

.??△ABH不是等邊三角形，

.?.ABWBH,

...即ABWHF,故⑤錯誤；

綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共4個.

故選：C.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，

等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度

數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的

關(guān)鍵，也是本題的難點.

9.如圖，矩形ABCD中，。為AC中點，過點。的直線分別與AB、CD交于點E、

F,連結(jié)BF交AC于點M,連結(jié)DE、B0.若NCOB=60。，F(xiàn)O=FC,則下列結(jié)論：

①FB垂直平分0C；②△EOB^^CMB；③DE=EF；(4)SAAOE：SABCM=2：3.其中

正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】①利用線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理可得結(jié)論；

②在△EOB和ACMB中，對應(yīng)直角邊不相等，則兩三角形不全等；

③可證明NCDE=NDFE；

④可通過面積轉(zhuǎn)化進行解答.

【解答】解：①???矩形ABCD中，。為AC中點，

，OB=OC,

VZCOB=60°,

.?.△OBC是等邊三角形，

；.OB=BC,

VFO=FC,

...FB垂直平分0C,

故①正確；

②?..△BOC為等邊三角形，F(xiàn)O=FC,

ABO±EF,BF1OC,

.,.ZCMB=ZEOB=90°,

，BOWBM,

/.△EOB與ACMB不全等；

故②錯誤；

③易知4ADE之Z\CBF,Zl=Z2=Z3=30°,

.,.ZADE=ZCBF=30°,ZBEO=60°,

AZCDE=60°,ZDFE=ZBEO=60°,

.\ZCDE=ZDFE,

.\DE=EF,

故③正確；

④易知AAOE四△COF,

?SAAOE=SACOF，

?*SACOF=2SACMF>

?"?SAAOE：SABCM=2SACMF：S〃BCM二個?

VZFCO=30°,

；.FM=器,BM=?CM,

?.?F-M--_--1--,

BM3

???SAAOE：SABCM=2：3,

故④正確；

所以其中正確結(jié)論的個數(shù)為3個；

故選:B.

【點評】本題綜合性比較強，既考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，又考查

了全等三角形的性質(zhì)和判定，及線段垂直平分線的性質(zhì)，內(nèi)容雖多，但不復(fù)

雜；看似一個選擇題，其實相當(dāng)于四個證明題，屬于?？碱}型.

10.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點0,以下說法錯誤的是（）

一

A.ZABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD

【分析】矩形的性質(zhì)：四個角都是直角，對角線互相平分且相等；由矩形的性質(zhì)

容易得出結(jié)論.

【解答】解：..?四邊形ABCD是矩形，

/.ZABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90°,AC=BD,OA」AC,OB,BD,

22

AOA=OB,

，A、B、C正確，D錯誤，

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

11.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點。，AE1BD,垂足為E,

AE=3,ED=3BE,則AB的值為（）

A.6B.5C.273D.373

【分析】由在矩形ABCD中，AELBD于E,BE：ED=1：3,易證得^OAB是等邊

三角形，繼而求得NBAE的度數(shù)，由4OAB是等邊三角形，求出NADE的度數(shù)，

又由AE=3,即可求得AB的長.

【解答】解：?.?四邊形ABCD是矩形，

，OB=OD,OA=OC,AC=BD,

OA=OB,

VBE：ED=1：3,

ABE：OB=1：2,

VAE1BD,

AB=OA,

/.OA=AB=OB,

即AOAB是等邊三角形，

...ZABD=60°,

VAE±BD,AE=3,

.?.AB=2=2M,

cos30

【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30。角的直角

三角形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件和等邊三角形的判定方法證明△OAB是等邊三

角形是解題關(guān)鍵.

12.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對角相等B.對邊相等

C.對角線相等D.對角線互相平分

【分析】矩形的對角線互相平分且相等，而平行四邊形的對角線互相平分，不一

定相等.

【解答】解：矩形的對角線相等，而平行四邊形的對角線不一定相等.

故選：C.

【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，矩形具有平行四邊形的性質(zhì)，又具有自己的特性，

要注意運用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質(zhì).如，矩形的對角線相

等.

13.如圖，將矩形紙片ABCD沿直線EF折疊，使點C落在AD邊的中點U處，點

B落在點B，處，其中AB=9,BC=6,則FU的長為（）

A.—B.4C.4.5D.5

3

【分析】設(shè)FC=x,則FD=9-x,根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合BC=6、點U為AD的中點，

即可得出UD的長度，在Rt^FUD中，利用勾股定理即可找出關(guān)于x的一元

一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)FC，=x,貝FD=9-x,

VBC=6,四邊形ABCD為矩形，點C為AD的中點，

，AD=BC=6,CD=3.

在RtAFC'D中，ZD=90°,FC=x,FD=9-x,C'D=3,

AFC,2=FD2+CD2,即X2=(9-x)2+32,

解得：x=5.

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理，在RtAFCD中，利用勾股定理

找出關(guān)于FU的長度的一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在矩形ABCD中(AD>AB),點E是BC上一點，且DE=DA,AF±DE,

垂足為點F,在下列結(jié)論中，不一定正確的是()

A.AAFD^ADCEB.AF」ADC.AB=AFD.BE=AD-DF

2

【分析】先根據(jù)已知條件判定^AFD絲ADCE(AAS),再根據(jù)矩形的對邊相等,

以及全等三角形的對應(yīng)邊相等進行判斷即可.

【解答】解：(A)由矩形ABCD,AF_LDE可得NC=NAFD=90°,AD〃BC,

ZADF=ZDEC.

XVDE=AD,

/.△AFD^ADCE(AAS),故(A)正確；

(B)；NADF不一定等于30。,

???直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故(B)錯誤；

(C)由4AFD之△DCE,可得AF=CD,

由矩形ABCD,可得AB=CD,

，AB=AF,故(C)正確；

(D)由△AFDgZ\DCE,可得CE=DF,

由矩形ABCD,可得BC=AD,

又,.?BE=BC-EC,

/.BE=AD-DF,故（D）正確;

【點評】本題主要考查了矩形和全等三角形，解決問題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì):

矩形的四個角都是直角，矩形的對邊相等.解題時注意：在直角三角形中，

若有一個銳角等于30°,則這個銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.

15.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3.若點E是邊CD的中點，連接AE,過

點B作BFJ_AE交AE于點F,則BF的長為（）

C.隼。?喑

【分析】根據(jù)SAABE=LS睡ABCD=3=L?AE?BF,先求出AE,再求出BF即可.

22

【解答】解：如圖，連接BE.

,四邊形ABCD是矩形，

，AB=CD=2,BC=AD=3,ND=90°,

在RtZ\ADE中，AEFAD2+DE2=V?7『=標(biāo)'

,SAABE=±S矩心ABCD=3='，AE?BF，

22

5

故選:B.

【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)

鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用面積法解決有關(guān)線段問題，屬于中

考?？碱}型.

16.如圖，點0是矩形ABCD的對角線AC的中點，OM〃AB交AD于點M,若

0M=3,BC=10,則OB的長為()

A.5B.4C.D.V34

【分析】已知OM是^ADC的中位線，再結(jié)合已知條件則DC的長可求出，所以

利用勾股定理可求出AC的長，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)則B0的長即

可求出.

【解答】解：二?四邊形ABCD是矩形，

/.ZD=90°,

10是矩形ABCD的對角線AC的中點,OM〃AB,

A0M是4ADC的中位線，

V0M=3,

「?DC=6,

VAD=BC=10,

八0八4口2+，口2=2憫'

/.BO=-i-AC=V34，

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的運用，直角三角形斜邊上中線的性

質(zhì)以及三角形的中位線的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AC的長.

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,點P在AB上，PELAC于E,PF1BD

于F,則PE+PF等于()

AD

R----------------C

A.IB.IlC.AlD.11

5555

【分析】根據(jù)已知條件，可得出△AEPsaADC；ABFP^ADAB,從而可得出PE,

PF的關(guān)系式，然后整理即可解答本題.也可以利用面積法證明PE+PF=BM即

可.

【解答】解：方法一:設(shè)AP=x,PB=3-x.

VZEAP=ZEAP,ZAEP=ZABC；

/.△AEP^AABC,故三①；

54

同理可得△BFPs^DAB,故老主=空②.

54

①+②得3=PE+PF,

54

；.PE+PF=絲.

5

方法二：（面積法）

如圖，作BM±AC于M,則BM=絲區(qū)■=絲，

AC5

**SAAOB=SAAOP+SAPOB，

...L?AO?BM=L?AO?PE+L?OB?PF,

222

VOA=OB,

.*.PE+PF=BM=—.

5

故選：B.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，比較簡單，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的性

質(zhì)解答即可，學(xué)會利用面積法證明線段之間的關(guān)系.

18.如圖，在矩形ABCD中，E,F分別是邊AB,CD上的點，AE=CF,連接EF,

BF,EF與對角線AC交于點0,且BE=BF,NBEF=2/BAC,FC=2,則AB的長

為（）

A.8-RB.8C.4A/3D.6

【分析】連接OB,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO_LEF,再根據(jù)矩形的

性質(zhì)可得OA=OB,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得NBAC=NABO,再根據(jù)三角形

的內(nèi)角和定理列式求出NABO=30。，即NBAC=30。，根據(jù)直角三角形30。角所對

的直角邊等于斜邊的一半求出AC,再利用勾股定理列式計算即可求出AB.

【解答】解：如圖，連接B。，

?.?四邊形ABCD是矩形，

.,.DC/7AB,ZDCB=90°

/.ZFCO=ZEAO,

itAAOE和△COF中,

ZAOE=ZFOC

ZFCO=ZEAO

AE=CF

.△AOE^ACOF,

.OE=OF,OA=OC,

?BF=BE,

.BO±EF,ZBOF=90°,

*ZFEB=2ZCAB=ZCAB+ZAOE,

.ZEAO=ZEOA,

，EA=E0=0F=FC=2,

在RTABFO和RTABFC中,

BF=BF

FO=FC

/.RTABFO^RTABFC,

...BO=BC,

在RT^ABC中，VAO=OC,

BO=AO=OC=BC,

.".△BOC是等邊三角形，

.,.ZBCO=60°,ZBAC=30°,

/.ZFEB=2ZCAB=60°,VBE=BF,

.?.△BEF是等邊三角形，

，EB=EF=4,

；.AB=AE+EB=2+4=6.

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合

一的性質(zhì)，直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度

不大，（2）作輔助線并求出NBAC=30。是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB、BC的長

分別是6和8,則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（）

A.4.8B.5C.6D.7.2

【分析】首先連接0P,由矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和8,可求得OA=OD=5,

△AOD的面積，然后由SAAOD=SAAOP+SADOP=-OA?PE+OD?PF求得答案.

2

【解答】解：連接0P,

?.?矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和8,

?'?S矩形ABCD=AB?BC=48，OA=OC,OB=OD,AC=BD=10,

A0A=0D=5,

??SAACD=—S矩形ABCD=24，

2

??SAAOD=__,SAACD=12,

2

SAAOD=SAAOP+SADOP=—OA*PE+^OD*PF=1X5XPE+^X5XPF=-^-(PE+PF)=12,

22222

解得：PE+PF=4.8.

【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形面積問題.此題難度適中，注意掌握

輔助線的作法以及掌握整體數(shù)學(xué)思想的運用是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在矩形ABCD中，AD=6,AE1BD,垂足為E,ED=3BE,點P、Q分別

【分析】在RtAABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長，設(shè)A點關(guān)于BD

的對稱點A,連接AD,可證明aADA為等邊三角形，當(dāng)PCUAD時，則PQ

最小，所以當(dāng)AQ_LAD時AP+PQ最小，從而可求得AP+PQ的最小值等于DE

的長，可得出答案..

【解答】解:

設(shè)BE=x,則DE=3x,

?四邊形ABCD為矩形，且AEJ_BD,

.'.△ABE^ADAE,

/.AE2=BE*DE,即AE2=3X2,

??AE=^3x,

在RtAADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2,即62=(?x)