人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)必修1(第一冊(cè))學(xué)案：3 1 2 函數(shù)的表示法（一）

3.1.2函數(shù)的表示法（一）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點(diǎn)2掌握求函數(shù)『解析』式的常見方法3

嘗試作圖并從圖象上獲取有用的信息.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

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知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的表示方法

函

［解析法就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

數(shù)HI

的

表［列表法H就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系）

示

法

［圖象法H就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系）

思考函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)？

『答案』

■思考辨析判斷正誤

1.任何一個(gè)函數(shù)都可以用『解析』法表示.（X）

2.任何一個(gè)函數(shù)都可以用圖象法表示.（X）

3.函數(shù)人x）=2x+l不能用列表法表示.（V）

4.函數(shù)的圖象一定是一條連續(xù)不斷的曲線.（X）

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、函數(shù)的表示方法

例1某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x（x為正整數(shù)）與收款數(shù)y

之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、『解析』法表示出來.

解⑴列表法：

力臺(tái)12345678910

W元30006000900012000150001800021000240002700030000

(2)圖象法：如圖所示.

W元

3()(X)()*?

*

*

*

*

*

3(X)()?,

d1.................iox/A

⑶『解析』法：y=3OOO.r,x?{1,2,3,…，10).

反思感悟應(yīng)用函數(shù)三種表示方法應(yīng)注意以下三點(diǎn)

(1)『解析』法必須注明函數(shù)的定義域；

(2)列表法必須羅列出所有的自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(3)圖象法必須清楚函數(shù)圖象是“點(diǎn)”還是“線”.

跟蹤訓(xùn)練1由下表給出函數(shù)尸危)，則內(nèi)⑴)等于()

X12345

y45321

A.1B.2C.4D.5

『答案』B

『解析』由題中表格可知x1)=4,所以胭1))=犬4)=2.

二、求函數(shù)『解析』式

例2求下列函數(shù)的『解析』式：

(1)已知函數(shù)4G+l)=x+2dL求|x)；

⑵已知函數(shù)7(x)是二次函數(shù)，且40)=1,7U+l)-/(x)=2x,求穴x).

解(1)方法一(換元法)

設(shè)」=,+1,則X=(Ll)2(f/l).

—1)2+2(力一l)—t2—2/+1+2/—2=產(chǎn)一1,

?'-J(x)=x2—1(x^1).

方法二(配湊法)

*/x+2yjx—(A/X)2++1—\=(y[x~\-1)2—1,

??+1)=("+1>—1(6+121),

.,./(x)=x2-1(x^1).

(2)設(shè)段)=〃%2+"+。3?0).

??7(o)=i,:.c=i.

又,.*y(x+1)—fix)=2x,

〃(x+1)2+b(x+1)+1—(ax1-\-bx-\-l)=2x,

整理，得2QX+(〃+/?)=2X.

由恒等式的性質(zhì)，知上式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等,

[2〃=2,[a—1,

解得.?.危)=/—x+i.

\<ci?b—0,\b—1,

反思感悟求函數(shù)『解析』式的常用方法

(1)換元法(有時(shí)可用“配湊法”)：已知函數(shù)八g(x))的『解析』式求八犬)的『解析』式可用換

元法(或“配湊法”)，即令g(x)=f,反解出X,然后代入式g(x))中求出式f),從而求出八X).

⑵待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)『解析』

式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)『解析』式.

跟蹤訓(xùn)練2⑴已知加2+2)=/+4居則段)的『解析』式為.

『答案』?￥)=]2—4(x22)

『解析』因?yàn)榛鸸?+2)=f+4X2=(12+2)2—4,

令f=N+2?22),則大。=~一4?22),

所以犬x)=好一4(X三2).

(2)已知於)是一次函數(shù)，且/(?)=4x—1,則於)=.

『答案』2x—g或一2x+l

『解析』因?yàn)椤癤)是一次函數(shù)，設(shè)仇〃#0),

則AAX))—fiax+b)=a(ax+b)+b=c^x+ab+b.

又因?yàn)?(/(x))=4x—1,所以c^x^-ab+b—^x—X.

4=2,

〃2=4,a=-2

所以，a解得

b=-3b=l.

所以?x)=2x—1或?x)=—2%+1.

三、函數(shù)的圖象

例3作出下列函數(shù)的圖象.

(l)y=2x+l,%￡『0,2』；

2

(2)y=~,『2,+°0)；

(3)y=x2+2x?%￡『一2,2』.

解(1)當(dāng)入￡『0,2』時(shí)，圖象是直線y=2x+l的一部分.

2

(2)當(dāng)xe『2,十8)時(shí)，圖象是反比例函數(shù)y=1的一部分.

(3)當(dāng)一2WxW2時(shí)，圖象是拋物線y=；f2+2x的一部分.

延伸探究根據(jù)作出的函數(shù)圖象求其值域.

解觀察圖象可知：

(1)中函數(shù)的值域?yàn)椤?,5』.

(2)中函數(shù)的值域?yàn)?0』』.

⑶中函數(shù)的值域?yàn)椤阂?,8』.

反思感悟作函數(shù)y=兀0圖象的方法

(1)若y=Ax)是已學(xué)過的函數(shù)，則描出圖象上的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，直接畫出圖象即可，有些可能需

要根據(jù)定義域進(jìn)行取舍.

(2)若y=/(x)不是所學(xué)過的函數(shù)之一，則要按：①列表；②描點(diǎn)；③連線三個(gè)基本步驟作出y

=黃尤)的圖象.

跟蹤訓(xùn)練3作出下列函數(shù)的圖象：

(l)y=l—x(xGZ)；

(2)y=x2—4x+3,xG『1,3』.

解(1)因?yàn)閤GZ,

所以圖象為直線y=l—x上的孤立點(diǎn)，其圖象如圖①所示.

(2)尸了2—標(biāo)+3=(了-2)2—1,

當(dāng)x=l,3時(shí)，y=0；

當(dāng)x=2時(shí)，y=-1,其圖象如圖②所示.

①②

?核心素養(yǎng)之直觀想象*

函數(shù)圖象的應(yīng)用

典例（1）已知兀0的圖象如圖所示，則五X）的定義域?yàn)?，值域?yàn)?/p>

考點(diǎn)函數(shù)圖象

題點(diǎn)函數(shù)圖象的應(yīng)用

『答案』『一2,4』U『5,8』『一4,3』

『解析』函數(shù)的定義域?qū)?yīng)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值集合，值域?qū)?yīng)縱坐標(biāo)的取值集合.

（2）若函數(shù)兀0=d一4x+3（x》0）的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)wz的取值范圍.

考點(diǎn)函數(shù)圖象

題點(diǎn)函數(shù)圖象的應(yīng)用

解式尤）=/—4x+3（x20）的圖象如圖，

優(yōu)x)=f-4x+3(xN0)

兀X）的圖象與直線>=機(jī)有2個(gè)不同交點(diǎn)，

由圖易知一1<?ZW3.

『素養(yǎng)提升』（1）函數(shù)圖象很直觀，在解題過程中常用來幫助理解問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，依托函

數(shù)圖象可以更直觀地尋求問題的解決思路和要點(diǎn).

（2）借助幾何直觀認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系，形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形分析數(shù)學(xué)問題，是直

觀想象的核心內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

1.已知函數(shù)式x）由下表給出，則歡3））等于（

A.IB.2C.3D.4

考點(diǎn)函數(shù)的表示法

題點(diǎn)函數(shù)的表示法

『答案』A

2.已知函數(shù)人2x+l）=6x+5,則段）的『解析』式是（）

A.危）=3尤+2B.危）=3%+1

C.y（x）=3x—1D.犬x）=3x+4

『答案』A

『解析』方法一令2x+l=f,則x='I

所以/(f)=6X-^-+5=3r+2,

所以/（尤）=3x+2.

方法二因?yàn)辄S2x+l）=3（2x+1）+2,

所以/（x）=3x+2.

3.某同學(xué)從家里到學(xué)校，為了不遲到，先跑，跑累了再走余下的路，設(shè)在途中花的時(shí)間為K

離開家里的路程為私下面圖形中，能反映該同學(xué)的行程的是（）

考點(diǎn)函數(shù)圖象

題點(diǎn)函數(shù)圖象的判斷與理解

『答案』C

4.設(shè)函數(shù)yQqz"：人,則?x）的表達(dá)式為（）

1+x/1+x

A/