人教版(新教材)高中數學必修1(第一冊)學案：4 2 1 指數函數的概念

4.2指數函數

4.2.1指數函數的概念

【學習目標】1.理解指數函數的概念，了解對底數的限制條件的合理性2了解指數增長型和指

數衰減型在實際問題中的應用.

知識梳理梳理教材夯實基?礎

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知識點一指數函數的定義

一般地，函數y=“'(a>0,且a#l)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R

思考為什么底數應滿足〃>0且aWl?

『答案』①當aWO時，"可能無意義；②當a>0時，x可以取任何實數；③當”=1時，

〃=l(xGR),無研究價值.因此規(guī)定丫=出中〃>0,且

知識點二兩類指數模型

I.y=W>0).當。>1時為指數增長型函數模型.

2.y=k/(fc>0),當0<“<1時為指數衰減型函數模型.

■思考辨析判斷正誤

1.y=x，(x>0)是指數函數.(X)

2.〉=/2(4>0且“W1)是指數函數.(X)

3.是指數衰減型函數模型一(4)

4.若4x)=a'為指數函數，則a>l.(X)

題型探究探究重點素養(yǎng)提升

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一、指數函數的概念

例1(1)下列函數中是指數函數的是.(填序號)

①y=2?(巾)*；②y=2"r；③y=(|>；④y=3工；⑤y=xT

(2)若函數y=(a2-3n+3)%'是指數函數，則實數。=.

『答案』⑴③(2)2

『解析』(1)①中指數式(血尸的系數不為1,故不是指數函數；②中y=2，r,指數位置不

是x,故不是指數函數；④中指數不是x,故不是指數函數；⑤中指數為常數且底數不是唯一

確定的值，故不是指數函數，故填③.

(a2-3a+3—1,

⑵由y=(.2—3a+3)?爐是指數函數，可得,八口解得a=2.

〃>0且,

反思感悟判斷一個函數是否為指數函數的方法

(1)底數的值是否符合要求；

(2)出前的系數是否為1：

(3)指數是否符合要求.

跟蹤訓練1(1)若函數y="2(2—。尸是指數函數，則()

A.a=1或一1B.<2=1

C.”=一1D.a>0月.aWl

『答案』C

『解析』因為函數丫=標(2-“尸是指數函數，

a2-l,

所以“2—a>0,解得a=-1.

、2—arI,

⑵若函數y=(2。一3)、是指數函數，則實數?的取值范圍是.

『答案』82)52,+8)

(2a~3>0,3

『解析』由題意知解得a君且a豐2.

[2a—3#1,2

二、求指數函數的『解析』式、函數值

例2(1)已知函數7(x)是指數函數，且.(一,)=妻，則式3)=.

『答案』125

「解析』設人力=〃(4>0,且aWI),

由(一I)淺得

>=正=￡=52

2552

所以。=5,即?=5*,所以負3)=53=125.

(2)已知函數y=/(x),xdR,且X0)=3,瑞=/第君…，天魯五=今求函數y

=加)的一個『解析』式.

解當x增加1時函數值都以g的衰減率衰減，

函數於)為指數衰減型,

令兀r)=4g)代WO),

又10)=3,:.k=3,

?7/U)=3(￡)'.

反思感悟解決此類問題的關鍵是觀察出函數是指數增長型還是指數衰減型，然后用待定系

數法設出函數『解析』式，再代入已知條件求解.

跟蹤訓練2已知函數危)=〃+貼＞0,且aWl)經過點(-1,5),(0,4),則,八一2)的值為

『答案』7

_(I

[a~l+b=5,4=7，

『解析』由已知得山解得＜2

1=3,

所以Jx)=0}+3,

所以述一2)=(§-2+3=4+3=7.

三、指數增長型和指數衰減型函數的實際應用

例3甲、乙兩城市現有人口總數都為100萬人，甲城市人口的年自然增長率為1.2%,乙城

市每年增長人口1.3萬.試解答下面的問題：

(1)寫出兩城市的人口總數y(萬人)與年份x(年)的函數關系式；

(2)計算10年、20年、30年后兩城市的人口總數(精確到0.1萬人)；

(3)對兩城市人口增長情況作出分析.

參考數據：(1+1.2%嚴合1.127,(1+1.2%)20?=1.269,(1+1.2%產41.430.

解(1)1年后甲城市人口總數為

y單=100+100X1.2%=100X(1+1.2%)；

2年后甲城市人口總數為

y甲=100X(1+1.2%)+100X(1+1.2%)X1.2%=100X(1+1.2%)2；

3年后甲城市人口總數為

yf=100義(1+1.2%)3；

????

x年后甲城市人口總數為y甲=100X(1+1.2%)*'.

x年后乙城市人口總數為yz,=100+1.3x.

(2)10年、20年、30年后，甲、乙兩城市人口總數(單位：萬人)如表所示.

10年后20年后30年后

甲112.7126.9143.0

乙113126139

(3)甲、乙兩城市人口都逐年增長，而甲城市人口增長的速度快些，呈指數增長型，乙城市人

口增長緩慢，呈線性增長.從中可以體會到，不同的函數增長模型，增長變化存在很大差異.

反思感悟解決有關增長率問題的關鍵和措施

(1)解決這類問題的關鍵是理解增長(衰減)率的意義：增長(衰減)率是所研究的對象在“單位時

間”內比它在“前單位時間”內的增長(衰減)率，切記并不總是只和開始單位時間內的比較.

(2)具體分析問題時，應嚴格計算并寫出前3?4個單位時間的具體值，通過觀察、歸納出規(guī)

律后，再概括為數學問題，最后求解數學問題即可.

(3)在實際問題中，有關人口增長、銀行復利、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖岛瘮的Ｐ?/p>

表示，通?？梢员硎緸閥=N(l+p)Y其中N為基礎數，p為增長率，x為時間)的形式.

跟蹤訓練3中國共產黨第十八屆中央委員會第五次全體會議認為，到2020年全面建成小康

社會，是我們黨確定的“兩個一百年”奮斗目標的第一個百年奮斗目標.全會提出了全面建

成小康社會新的目標要求：經濟保持中高速增長，在提高發(fā)展平衡性、包容性、可持續(xù)性的

基礎上，到2020年國內生產總值和城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，產業(yè)邁向中高端水

平，消費對經濟增長貢獻明顯加大，戶籍人口城鎮(zhèn)化率加快提高.

設從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長〃％.下面給出了依據“到2020年

城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番”列出的關于p的四個關系式：

①(l+p%)X10=2；

②(1+2％)|。=2；

③10(|+/，％)=2；

@l+10X/?%=2.

其中正確的是()

A.①B.②C.③D.④

『答案』B

『解析』已知從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長p%.

則由到2020年城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，可得：(1+/?%嚴=2；

正確的關系式為②.

隨堂演練基礎鞏固學以致用

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1.下列函數：

①y=2-3"；?y=3x+［；③y=3*；?y=xi.

其中，指數函數的個數是()

A.OB.IC.2D.3

『答案』B

『解析』①中，3、的系數是2,故①不是指數函數；

②中，y=3，+i的指數是x+1,不是自變量x,故②不是指數函數；

③中，y=3*,3、的系數是1,指數是自變量x,且只有3、一項，故③是指數函數;

④中，中底數為自變量，指數為常數，故④不是指數函數.

所以只有③是指數函數.故選B.

2.若函數y=（m2一機一是指數函數，則加等于（）

A.-1或2B.-1

C.2D.1

『答案』C

m2—m—1=1,

『解析』依題意，有

m>0且，,

解得機=2（舍機=—1）,故選C.

3.如表給出函數值y隨自變量x變化的一組數據，由此可判斷它最可能的函數模型為（）

X-2-10123

1

141664

y164

A.一次函數模型B.二次函數模型

C.指數函數模型D.募函數模型

『答案』C

『解析』觀察數據可得y=4,.

4.某種細胞分裂時，由