人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)必修1(第一冊)學(xué)案：4 2 1 指數(shù)函數(shù)的概念

4.2指數(shù)函數(shù)

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性2了解指數(shù)增長型和指

數(shù)衰減型在實際問題中的應(yīng)用.

知識梳理梳理教材夯實基?礎(chǔ)

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知識點一指數(shù)函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=“'(a>0,且a#l)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R

思考為什么底數(shù)應(yīng)滿足〃>0且aWl?

『答案』①當(dāng)aWO時，"可能無意義；②當(dāng)a>0時，x可以取任何實數(shù)；③當(dāng)”=1時，

〃=l(xGR),無研究價值.因此規(guī)定丫=出中〃>0,且

知識點二兩類指數(shù)模型

I.y=W>0).當(dāng)。>1時為指數(shù)增長型函數(shù)模型.

2.y=k/(fc>0),當(dāng)0<“<1時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

■思考辨析判斷正誤

1.y=x，(x>0)是指數(shù)函數(shù).(X)

2.〉=/2(4>0且“W1)是指數(shù)函數(shù).(X)

3.是指數(shù)衰減型函數(shù)模型一(4)

4.若4x)=a'為指數(shù)函數(shù)，則a>l.(X)

題型探究探究重點素養(yǎng)提升

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一、指數(shù)函數(shù)的概念

例1(1)下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是.(填序號)

①y=2?(巾)*；②y=2"r；③y=(|>；④y=3工；⑤y=xT

(2)若函數(shù)y=(a2-3n+3)%'是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)。=.

『答案』⑴③(2)2

『解析』(1)①中指數(shù)式(血尸的系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；②中y=2，r,指數(shù)位置不

是x,故不是指數(shù)函數(shù)；④中指數(shù)不是x,故不是指數(shù)函數(shù)；⑤中指數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是唯一

確定的值，故不是指數(shù)函數(shù)，故填③.

(a2-3a+3—1,

⑵由y=(.2—3a+3)?爐是指數(shù)函數(shù)，可得,八口解得a=2.

〃>0且,

反思感悟判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法

(1)底數(shù)的值是否符合要求；

(2)出前的系數(shù)是否為1：

(3)指數(shù)是否符合要求.

跟蹤訓(xùn)練1(1)若函數(shù)y="2(2—。尸是指數(shù)函數(shù)，則()

A.a=1或一1B.<2=1

C.”=一1D.a>0月.aWl

『答案』C

『解析』因為函數(shù)丫=標(biāo)(2-“尸是指數(shù)函數(shù)，

a2-l,

所以“2—a>0,解得a=-1.

、2—arI,

⑵若函數(shù)y=(2。一3)、是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)?的取值范圍是.

『答案』82)52,+8)

(2a~3>0,3

『解析』由題意知解得a君且a豐2.

[2a—3#1,2

二、求指數(shù)函數(shù)的『解析』式、函數(shù)值

例2(1)已知函數(shù)7(x)是指數(shù)函數(shù)，且.(一,)=妻，則式3)=.

『答案』125

「解析』設(shè)人力=〃(4>0,且aWI),

由(一I)淺得

>=正=￡=52

2552

所以。=5,即?=5*,所以負(fù)3)=53=125.

(2)已知函數(shù)y=/(x),xdR,且X0)=3,瑞=/第君…，天魯五=今求函數(shù)y

=加)的一個『解析』式.

解當(dāng)x增加1時函數(shù)值都以g的衰減率衰減，

函數(shù)於)為指數(shù)衰減型,

令兀r)=4g)代WO),

又10)=3,:.k=3,

?7/U)=3(￡)'.

反思感悟解決此類問題的關(guān)鍵是觀察出函數(shù)是指數(shù)增長型還是指數(shù)衰減型，然后用待定系

數(shù)法設(shè)出函數(shù)『解析』式，再代入已知條件求解.

跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)危)=〃+貼＞0,且aWl)經(jīng)過點(-1,5),(0,4),則,八一2)的值為

『答案』7

_(I

[a~l+b=5,4=7，

『解析』由已知得山解得＜2

1=3,

所以Jx)=0}+3,

所以述一2)=(§-2+3=4+3=7.

三、指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實際應(yīng)用

例3甲、乙兩城市現(xiàn)有人口總數(shù)都為100萬人，甲城市人口的年自然增長率為1.2%,乙城

市每年增長人口1.3萬.試解答下面的問題：

(1)寫出兩城市的人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)計算10年、20年、30年后兩城市的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；

(3)對兩城市人口增長情況作出分析.

參考數(shù)據(jù)：(1+1.2%嚴(yán)合1.127,(1+1.2%)20?=1.269,(1+1.2%產(chǎn)41.430.

解(1)1年后甲城市人口總數(shù)為

y單=100+100X1.2%=100X(1+1.2%)；

2年后甲城市人口總數(shù)為

y甲=100X(1+1.2%)+100X(1+1.2%)X1.2%=100X(1+1.2%)2；

3年后甲城市人口總數(shù)為

yf=100義(1+1.2%)3；

????

x年后甲城市人口總數(shù)為y甲=100X(1+1.2%)*'.

x年后乙城市人口總數(shù)為yz,=100+1.3x.

(2)10年、20年、30年后，甲、乙兩城市人口總數(shù)(單位：萬人)如表所示.

10年后20年后30年后

甲112.7126.9143.0

乙113126139

(3)甲、乙兩城市人口都逐年增長，而甲城市人口增長的速度快些，呈指數(shù)增長型，乙城市人

口增長緩慢，呈線性增長.從中可以體會到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異.

反思感悟解決有關(guān)增長率問題的關(guān)鍵和措施

(1)解決這類問題的關(guān)鍵是理解增長(衰減)率的意義：增長(衰減)率是所研究的對象在“單位時

間”內(nèi)比它在“前單位時間”內(nèi)的增長(衰減)率，切記并不總是只和開始單位時間內(nèi)的比較.

(2)具體分析問題時，應(yīng)嚴(yán)格計算并寫出前3?4個單位時間的具體值，通過觀察、歸納出規(guī)

律后，再概括為數(shù)學(xué)問題，最后求解數(shù)學(xué)問題即可.

(3)在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型

表示，通?？梢员硎緸閥=N(l+p)Y其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式.

跟蹤訓(xùn)練3中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第五次全體會議認(rèn)為，到2020年全面建成小康

社會，是我們黨確定的“兩個一百年”奮斗目標(biāo)的第一個百年奮斗目標(biāo).全會提出了全面建

成小康社會新的目標(biāo)要求：經(jīng)濟(jì)保持中高速增長，在提高發(fā)展平衡性、包容性、可持續(xù)性的

基礎(chǔ)上，到2020年國內(nèi)生產(chǎn)總值和城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，產(chǎn)業(yè)邁向中高端水

平，消費對經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)明顯加大，戶籍人口城鎮(zhèn)化率加快提高.

設(shè)從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長〃％.下面給出了依據(jù)“到2020年

城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番”列出的關(guān)于p的四個關(guān)系式：

①(l+p%)X10=2；

②(1+2％)|。=2；

③10(|+/，％)=2；

@l+10X/?%=2.

其中正確的是()

A.①B.②C.③D.④

『答案』B

『解析』已知從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長p%.

則由到2020年城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，可得：(1+/?%嚴(yán)=2；

正確的關(guān)系式為②.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

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1.下列函數(shù)：

①y=2-3"；?y=3x+［；③y=3*；?y=xi.

其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是()

A.OB.IC.2D.3

『答案』B

『解析』①中，3、的系數(shù)是2,故①不是指數(shù)函數(shù)；

②中，y=3，+i的指數(shù)是x+1,不是自變量x,故②不是指數(shù)函數(shù)；

③中，y=3*,3、的系數(shù)是1,指數(shù)是自變量x,且只有3、一項，故③是指數(shù)函數(shù);

④中，中底數(shù)為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故④不是指數(shù)函數(shù).

所以只有③是指數(shù)函數(shù).故選B.

2.若函數(shù)y=（m2一機(jī)一是指數(shù)函數(shù)，則加等于（）

A.-1或2B.-1

C.2D.1

『答案』C

m2—m—1=1,

『解析』依題意，有

m>0且，,

解得機(jī)=2（舍機(jī)=—1）,故選C.

3.如表給出函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此可判斷它最可能的函數(shù)模型為（）

X-2-10123

1

141664

y164

A.一次函數(shù)模型B.二次函數(shù)模型

C.指數(shù)函數(shù)模型D.募函數(shù)模型

『答案』C

『解析』觀察數(shù)據(jù)可得y=4,.

4.某種細(xì)胞分裂時，由