人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊學(xué)案：1 1 1 空間向量及其線性運(yùn)算

第一章空間向量與立體幾何

K數(shù)學(xué)文化］——了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用

向量最初被應(yīng)用于物理學(xué)，很多物理量都是向量，如：力、速度、位移以及電場

強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度.大約公元前350年，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可

以表示成向量，兩個(gè)力的合力可以用平行四邊形法則得到.

“向量”一詞來自力學(xué)、（解析】幾何中的有向線段.最先使用有向線段表示向量

的是英國科學(xué)家牛頓.歷史上很長一段時(shí)間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)

識，直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們才把空間的性質(zhì)與向量的運(yùn)算聯(lián)系起來，使

向量成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)體系.

亞里士多德

牛頓

K讀圖探新］——發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的知識

港珠澳大橋

空間向量是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它不僅在解決幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用，而

且在物理學(xué)、工程學(xué)、衛(wèi)星發(fā)射與運(yùn)行等方面也有著廣泛的應(yīng)用.

問題1：港珠澳大橋是我國橋梁建設(shè)史上的又一座豐碑，它必定在推動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展

中起到巨大的作用.在港珠澳大橋的建設(shè)過程中，涉及到很多空間的直線（如把大

橋的斜拉索看成直線）和平面（如把海平面看成平面）的夾角問題，這些夾角如何計(jì)

算？

北斗導(dǎo)航定位系統(tǒng)

如何保證這些夾角的大小達(dá)到設(shè)計(jì)要求？

問題2：北斗導(dǎo)航系統(tǒng)是在地球赤道平面上設(shè)置2顆地球同步衛(wèi)星，衛(wèi)星的赤道

角距約6CTGPS是在6個(gè)軌道平面上設(shè)置24顆衛(wèi)星，軌道赤道傾角55。，軌道面

赤道角距60。.在設(shè)計(jì)過程中如何計(jì)算這些角？

鏈接：兩個(gè)問題中都涉及到空間角的計(jì)算問題，這些問題我們在高中數(shù)學(xué)的必修

課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了它們的計(jì)算方法，但是運(yùn)算方法技巧性強(qiáng)，不適合現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)

的實(shí)踐和應(yīng)用，不適合應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)處理，我們本章學(xué)習(xí)的空間向

量，就可以把這些問題代數(shù)化，可以很方便地應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決.

1.1空間向量及其運(yùn)算

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過在空間向量概念的形成中和進(jìn)行線性運(yùn)

程，了解空間向量的概念.算的過程中，經(jīng)歷由具體到抽象、由圖

2.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣形語言到符號語言的表達(dá)過程，發(fā)展學(xué)

到空間向量的過程.生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素

3.掌握空間向量的線性運(yùn)算.養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)刷M"mm加uu知識探究

新知探究

上情境引△

李老師下班回家，先從學(xué)校大門口騎自行車向北行駛1000m,再向東行駛

1500m,最后乘電梯上升15m到5樓的住處.在這個(gè)過程中，李老師從學(xué)校大門

口回到住處所發(fā)生的總位移就是三個(gè)位移的合成（如圖所示）.

問題1.以上三個(gè)位移是同一個(gè)平面內(nèi)的向量嗎？

2.如何刻畫李老師行駛的位移？

(提示I1.不是.

2.借助于空間向量的運(yùn)算.

A知識梳理

1.空間向量的有關(guān)概念

(1)空間向量的定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.

(2)空間向量的長度：空間向量的大小叫做向量的長度或模.

’①幾何表示法：空間向量用有向線段表示.

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向

(3)表示法：<量。的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是3,則向量a也可

、以記作踵,其模記為國或踵.

2.特殊的空間向量

在空間中，向量、相等向量、共線向量、單位向量等概念與平面向量中對應(yīng)的概

念完全一■樣

名稱定義及表示

零向量規(guī)定長度為0的向量叫做雯向量，記為0

單位向量模為1的向量叫做單位向量

相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量，記為一a

如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么

共線向量這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量平行,即

對于任意向量a,都有0〃a.

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長的有向線

相等向量

段表示同一向量或相等向量

3.空間向量的線性運(yùn)算

空間向量的加法滿足三角形法則和平行四邊形法則，減法滿足三角形法則

(1)如圖，定義空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算：

①a+Z>=昂+第=份;

②af=為一沆=株;

③當(dāng)丸>0時(shí)，Xa=XOA=PQ；當(dāng)2<0時(shí)，^.a=XOA=MN；4=0時(shí)，Aa=0.

⑵空間向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律(其中九〃WR)

①交換律：aJrb=b+a；

②結(jié)合律：(a+Z>)+c=a+(b+c),A(tia]=(^u)a；

③分配律：(A+/z)a=Xa+iua,A(a+b)=Xa+Xb.

4.空間向量共線的充要條件注意充要條件中的“W0”

(1)空間向量共線的充要條件：對任意兩個(gè)空間向量a,Z?SW0),a〃〃的充要條件

是存在實(shí)數(shù)九使。=肪.

(2)方向向量：如圖，。是直線/上一點(diǎn)，在直線/上取非零向量a,則對于直線/

上任意一點(diǎn)P,由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)4，使得

OP=Aa,我們把與向量a平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

5.空間向量共面的充要條件

(1)向量和直線平行：如果表示向量a的有向線段為所在的直線與直線/平行

或重合,那么稱向量a平行于直線/.

(2)向量和平面平行：如果表示向量a的有向線段為所在的直線ON平行于平面a

或在平面a內(nèi)，那么稱向量a平行于平面a.

(3)共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面向量.

(4)空間向量共面的充要條件：如果兩個(gè)向量a,8不共線，那么向量p與向量a,

共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使〃=xa+y/>.

拓展深化

K微判斷X

L若向量a與8都是單位向量，則a=4(X)

I［提示I若a與8都是單位向量，則|a|=|方但未必有a=Z>.

2.若a=一方，則|M=|Z>|.(J)

3.若兩個(gè)向量的終點(diǎn)重合，則這兩個(gè)向量的方向相同.(X)

K提示I兩個(gè)向量的終點(diǎn)重合，起點(diǎn)不知如何，則其方向的關(guān)系不能確定.

K微訓(xùn)練I

1.在正方體ABC。一ALBCLDI中，AB=a,AD=b,AAi=c,則危i=()

A.a+b+cB.a—b+c

C.a~\~b——cD.a——b——c

K解析』ACi=AC-bCCi=AB+AD+A4i=a+Z>+c.

(答案］A

2.在下列條件中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C一定共面的是()

A.OM=3OA-2OB-OC

B.OM+OA+OB+(X：=0

C.MA+A^+MC=O

D.(W=|oB-OA+|oC

K解析X,：MA+MB-\-MC=O,

：.MA=-MB~MC,.?.點(diǎn)/與點(diǎn)A,B,C必共面.

(答案IC

3.化簡：AB+CD~CB=.

K解析』A^+CD-C^=AB-^+Cb=(AB+BC)+Cb=A<J+cb=Ab.

(答案IAD

4.已知a與Z>不共線，若向量2a—b和3a+〃力共線，則實(shí)數(shù)機(jī)=.

K解析X因?yàn)?a—萬和3a+機(jī)8共線，故存在實(shí)數(shù)7,使得2a—b=A(3a-\-mb),

又a與方不共線，故3A=2,且Am=-1,

3

解得m=~2-

K答案H-f

k微思考X

1.一條直線的方向向量是唯一的嗎？

（提示I直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量.一條直線的方向向量

有無限多個(gè)，它們的方向相同或相反.

2.若向量p,a,〃滿足p=xa+yZ>,那么向量p,a,力共面嗎？

K提示5當(dāng)a與8共線時(shí)，顯然向量p,a,8共面；當(dāng)a與萬不共線時(shí)，由向

量共面的充要條件，可知向量p,a,b共面.

3.若b//c,則一定有a〃c嗎？

K提示X當(dāng)8=0時(shí)，不一定.

4.在空間中，所有單位向量平移到同一起點(diǎn)后，終點(diǎn)軌跡是什么圖形？

（提示I因?yàn)閱挝幌蛄康哪＞扔?,那么當(dāng)所有單位向量移到同一起點(diǎn)后，

終點(diǎn)軌跡是一個(gè)球面.

課堂互動(dòng)題型剖析

題型一空間向量的概念

K例口（1）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）

A若向量a,8平行，則a,8所在的直線平行

B.若|a|=W，貝I]a,的長度相等而方向相同或相反

C.若向量協(xié)，詼滿足|曲|〉|詼則屈〉詼

D.相等向量其方向必相同

（2）（多選題）下列命題為真命題的是（）

A.若空間向量a,8滿足|a|=W，則a=8

B.在正方體ABC。一AbBiGDi中，必有公=A/i

C.若空間向量nz,n,p滿足m=n=p,則m=p

D.空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.

K解析]（1）A中，向量a,8平行，則a,8所在的直線平行或重合；B中，|M

=1臼只能說明a,8的長度相等而方向不確定；C中，向量不能比較大小，故選

D.

(2)A為假命題，根據(jù)向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要

方向相同，而A中向量a與的方向不一定相同；B為真命題，病與A五1的方向

相同，模也相等，故危=A/i;C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；D為假命

題，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1,但方向不一定相同，故不一定相等，

所以選BC.

K答案』(1)D(2)BC

規(guī)律方法空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關(guān)概念,

如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向

量的相關(guān)概念.

(訓(xùn)練II如圖所示，以長方體A3CD—A由1GD1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和

終點(diǎn)的向量中，

⑴試寫出與協(xié)相等的所有向量；

⑵試寫出屆1的相反向量；

(3)若A3=AD=2,AAi=l,求向量段i的模.

解(1)與向量檢相等的所有向量(除它自身之外)有A由1,反及猷1共3個(gè).

(2)向量箱1的相反向量為力a，BtB,GC,M>.

⑶|同=3.

題型二空間向量的線性運(yùn)算

K例2可如圖，在平行六面體ABC。一AbBiGDi中，設(shè)筋i=a,AB=b,AD=

c,M,N,P分別是AAi，BC,Cd的中點(diǎn)，試用a,b,c表示以下各向量：

(1)AP；(2)Al7V；^MP+NCX.

解(1)；P是Cl是1的中點(diǎn),

.\AP=AAi+A7bi+D>=a+Ab+|z)iCi

=a+c+^B=a+c+^b.

(2)：N是3C的中點(diǎn)，

.".AiN=AiA~\~AB-\-BN=—a~\~b~\~^BC

,,1一,,1

=—a+b+^AD=—a+b+^c.

⑶是A4i的中點(diǎn)，

/.MP=MA+AP=^A+AP

=—^a+[a+c+倒=$+%+c.

又流i=NC+CCi=^BC+AAi

=^AZ)+AAi=gc+a,

/.MP+NCi=&+%+c)+(a+%)

313

=/a+/O+/c.

K遷移11例2的條件不變，試用a,b,c表示向量PN.

解因?yàn)槭琋分別是DiG,BC的中點(diǎn)，所以的=法1+流+國=笈方+(—

K遷移2》若把例2中“P是CD的中點(diǎn)”改為“尸在線段GDi上，且兩=

會，其他條件不變，如何表示能？

—ffff2f2

解AP—AD\~\~D\P—AA\a~\~c~\~^b.

規(guī)律方法利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧

(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四

邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.

(2)明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì).

K訓(xùn)練2》如圖，在長方體A3CD—43CD1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果不為詼i的

是(

DiG

A.AiDi—AiA—AB

B.BC+BBi-EhCi

C.DDi-AB+M)

D.B1D1—AiA-hDDi

K解析UA中，AiDi—AiA—AB=ADi-AB=BDi；

B中，BC+BBi-DiCi=BCi+Cd)i=BDi；

C中，DDi-AB+AD=Ab+DDi-AB=ADl-AB=BDl；

D中，Bd)i-A^A+DDi=BD+AA[+DDi=BDi+AAi^BDi,故選D.

(答案ID

題型三向量的共線與共面

角度1向量共線問題

K例3—1》如圖，四邊形A3CD和A3ER都是平行四邊形，且不共面，M,N

分別是AC,3R的中點(diǎn)，則及與謝V是否共線？

AF

解法一'：M,N分別是AC,3歹的中點(diǎn)，且四邊形A3CD和A3EF都是平行

四邊形，

：.MN=MA+AF+FN

=|G4+AF+^FB.(D

又：疚=慶+走+旗+麗

=-|cA+CE-AF-^FB,②

①+②得2疚=前，

：.CE//MN,即前與疚共線.

法二'：M,N分別是AC,3R的中點(diǎn)，且四邊形A3CD和A3ER都是平行四邊

形，

.,.W=A2V-AAf=|(AB+A/0-|AC

=1(AB+AF)—1(AB+AD)

1一一1一一1一

=2(AF—AD)=2(BE—BC)=2CE.

：.MN//CE,即疚與無共線.

角度2向量共面問題

K例3-2》已知A,B,航三點(diǎn)不共線，對于平面A3M外的任意一點(diǎn)。，確定

在下列條件下，點(diǎn)P是否與A,B,〃一定共面.

⑴曲+為=3舁一加

(2)dP=4OA-OB-OM.

角星(1)V6M+OB=3OP-0A,

：.OP=OM+(OA-OP)+((^-OP)

=OM+I^+PB,

:.OP-6M=PA+RB,:.MP=PA+RB,

：.MP,PA,而為共面向量，又加，PA,麗過同一點(diǎn)尸，

.,.P與A,B,M共面.

(2)'：OP=^OA-aB-OM,：.C^=2dA+(dA-OB)+(dA-OM)=2dA+BA+

MA,

根據(jù)空間向量共面的充要條件可知，點(diǎn)P位于平面ABM內(nèi)的充要條件是。＞=為

+xBA+yMA,

...P與A,B,〃不共面.

規(guī)律方法(1)判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)九使。=勸成立，

或充分利用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合具體圖形通過化簡，計(jì)算得出a=Xb,從

而得到a//b.

(2)向量共面的充栗條件的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形成的兩個(gè)不共線的向量一定

可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求

參數(shù)的值.

K訓(xùn)練35(1)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E,R分別是A3,CD的

中點(diǎn)，請判斷向量律與病+病是否共線.

(2)已知三點(diǎn)A,B,C不共線，對平面ABC外一點(diǎn)。，且滿足為=3舁-4沅?十

20C,判斷點(diǎn)P是否與點(diǎn)A,B,C共面.

解(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為G,連接EG,FG,

一1一一1一

：.GF=^AD,EG=^BC,

：.EF=EG+GF=|BC+|AD=|(Ab+BC),；.而與蜀)+慶:共線.

(2)若點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C共面，則存在唯一實(shí)數(shù)對x,%使得成=工麗+＞反:，那

么對空間任意一點(diǎn)。，有近一^^+可沆一。力)，

即鼠=（1-x-y}OP+xOB+yOC.

f\-x—y=3,

與已知條件對比，得4,

〔》=2,

即存在實(shí)數(shù)x=—4,y=2,

使得戌=—4麗+2病，

所以向量戌，PB,危共面,

又戌，PB,無過同一點(diǎn)P,故點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C共面.

素養(yǎng)達(dá)成?則刑一UH逐步落實(shí)唧

一\素養(yǎng)落地

1.通過學(xué)習(xí)空間向量的相關(guān)概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).通過學(xué)習(xí)空間向量的線性運(yùn)

算，提升直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.空間向量的概念和平面向量類似，向量的模、零向量、單位向量、相等向量、共

線向量等都可以結(jié)合平面向量理解.

3.向量可以平移，任意兩個(gè)向量都是共面向量.因此空間兩個(gè)向量的線性運(yùn)算和平

面向量完全相同，可以利用平行四邊形法則和三角形法則來進(jìn)行運(yùn)算.

二'素養(yǎng)訓(xùn)練

1.在平行六面體ABCD-A,夕的各條棱所在的向量中，模與向量與小的模相

等的向量有（）

A.7個(gè)B.3個(gè)

C.5個(gè)D.6個(gè)

K解析』\IyC'\=\CD'\=\DC\=\CD\=\BA\=\AB