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文檔簡介
新人教版高中數(shù)學(xué)必修四
《平面向量》
教案學(xué)案
2.1平面向量的實際背景及基本概念學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標
1、通過對向量的學(xué).習(xí),使學(xué)生初步認識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.
2、通過學(xué)生對向量.與數(shù)量的識別能力的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生認識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.
二、學(xué)習(xí)過程
1、數(shù)量與向量的區(qū)別?
2.向量的表示方法?AA由(共曷總)
①
②
③
④向量方的大小一一長度稱為向量的模,記作O
3.有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,三個要素:o
4、零向量、單位向量概念:
①叫零向量,記作0.0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區(qū)別.
②叫單位向,量.
說明:零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.
5,平行向量定義:
①叫平行向量;②我們規(guī)定。與平行.
說明:(1)綜合①、②才是平行向量的完整定義;(2)向量a、b、c平行,記作a〃方
//c.
6、相等向量定義:叫相等向量。
說明:(1)向量a與6相等,記作a=6:(2)零向量與零向量相等;
(3)任.意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與尊網(wǎng)繾
段的起點無關(guān)..一
7、共線向量與平行向量關(guān)系:
平行向量就是共線向量,這是因為(與有向線段的起點無關(guān)).
說明:(1)平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系;
(2)共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
三、理解和鞏固:
例1判斷:
(1)平行向量是否一定方向相同?
(2)不相等的向量是否一定不平行?
(3)與零向量相等的向量必定是什么向量?
(4)與任意向量都平行的向量是什么向量?
(5)若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量?
(6)兩個非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么?
(7)共線向量一定在同一直線上嗎?
例2下列命題正確的是()
A.a與6共線,6與c共線,則a與c也共線
B.任意兩個相等的非零晌量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點
C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量
D.有相同起點的兩個非零向量不平行
例.3如圖,設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中與向量°”、°B、℃相等的
向量.
變式一:與04向量長度相等的向量有多少個?
變式二:是否存在與向量04長度相等、方向相反的向量?0
變式三:與向量共線的向量有哪些?
課堂練習(xí):
1.判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.
①向量方與無是共線向量,則/、B、C、。四點必在一直線上;
②單位向量都相等;
③任一向量與它的相反向量不相等;
④四邊形/BCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)=DC
⑤一個向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0;
⑥共線的向量,若起點不同,則終點一定不同.
課后練習(xí)與提高
1.下列各量中不是向量的.是()
L浮力B.風(fēng)速C.位移D.密度
2.下列說法中管送的是(.)
A.零向量是沒有方向的B.零向量的長度為0
C.零向量與任一向量平行D.零向量的方向是.任意的
3.把平面上一切單位向量的始點放在同一點,那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是()
A.--條線段B.?段圓弧C.圓上一群孤立點D.一個單位圓
4.一知非零向量?!ㄊ?,若非零向量,則。與3必定.
5.已知7、3是兩.非零向量,且[與]不共線,若非零向量限與;共線,則1與3必定.
6.設(shè)在平面上給定了一個四邊形ABCD,點、K、/、,伙/V分別是AB、BC、CD、DA的中點,則
|~KL|=,KL=
2.2向量加減法運算及其幾何意義學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標】
1.通過物理學(xué)中的位移合成、力的合成等實例,認識理解向量加法的意義,體驗數(shù)學(xué)知識
發(fā)生、發(fā)展的過程.
2.理解和掌握向量加法的運算”熟練運用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量.
3.理解和掌握向量加法的運算律,能熟練地運用它們進行向量運算.
4.了解相反向量的意義;
5.掌握向量的減法,會作兩個向量的減向量,并理解其兒何意義.
6.通過闡述向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運算,使學(xué)生理解事物間可以相互轉(zhuǎn)化
的辯證思想.
【重點、難點】
1理解和掌握向量加法的運算,熟練運用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量;
2向量減法的概念和向量減法的作圖法
自主學(xué)習(xí)案
【知識梳理】
1.長度且方向的向量叫做相等向量
2.求兩個向量和的運算,叫做
3.已知向量在平面內(nèi)任取一點Z,作==則向量叫做向量2]
的和.記作.即萬+很=方+前=12,這種求向量和的方法,稱
為。
4.在平面內(nèi)任取一點A,作a=仇麗=很,以為,為,為邊作,連結(jié)無,則
OC^a+b.這種求向量和的方法,叫做向量加法的。
5.向量加法的運算律
(1)交換律:a+b=b+;(2)結(jié)合律:(a+Z>)+c=a+-a+b+c
6.相反向量:(1)“相反向量”的定義:與5、的向量.記作—(2)規(guī)定:
零向量的相反向量仍是;(3)-(-5)=ua+(-5)=—;(4)如果石、b
互為相反向量,則5=B=-2,a+b=0
7.向量的減法:向量石加上的5的向量,叫做石與B的差.
即:石-B=3+(-3),求兩個向量差的運算叫做向量的減法.
8.兩個向量差的作法:若向量G和B有相同的起點,貝可以表示為從向量B的—指
向向量萬的—的向量.⑴三角形法則:如圖1,作5=無礪=5,則加=石一瓦即
把兩個向量的起點放在一起,這兩個向量的差是以減向量的終點為起點,被減向量的終點
為終點的向量。
(2)平行四邊形法則:如圖2,作萬攔乙否=4以O(shè)A,OB為邊作平行四邊形OACB,連接
BA,貝后)=萬一&從圖中可以看出,一個向量減去另外一個向量,等于此向量加上另一個
向量的u
【預(yù)習(xí)自測】
1.如圖,已知£、b,分別用三角形法則和四邊形法則作出£+bo
2.設(shè)非零向量石和B互為相反向量,則下列說法中錯誤的是()
A.aIIbB.a^bC.|石國D.a^-b
3.在平行四邊形ABCD中,覺—就'=()
A.DB;B.就;C.麗;D.CA
4.化簡:(1)而-而=(2)OD-CD=
【我的疑問】
合作探究案
例1.如圖所示,已知不共線的向量5,B和3,求作向量萬-B+c
b
例2.如圖,0寸正六邊形AiA2A3A4A5A6的中心,作出下列向量:
(1)0A,+0A[(2)04+A2A3
()
A:%
(3)A,1LXJ+AJXA,H+A.*A?e〉+〉4AO
推廣:44+44+44+……+4,-14,+44=
例3.化筒:AB-CB-AC
【當(dāng)堂檢測】
i.如圖,已知方,求作和5+B.
2.填空:
AB-AD^BA-BC^
BC-BA=OD-OA=
OA-OB=________
3.化簡向量(1)為+無一礪+歷=(2)AB—CB—DC+DE+EA=
4.如圖所示的四邊形ABCD中,設(shè)
AB=3,AD=b,BC=乙則用扇B忑表示而=AC=
覺=_________________
課后練習(xí)案
1.四邊形ABCD中,化簡標—皮—誣=()
A.AC;B.就;C.BD;D.石
■,—?
2.在三角形ABC中,則荏等于()
A.a+bB.-(a+b)C.a-b
3.已知0為平行四邊形ABCD對角線的交點,若
OA=a,OB=b,OC=c,OD=2.貝舊+b+c+d=
4.如圖,在四邊形中,根據(jù)圖示填空:
a+b=.b+c=c-d=
b+c-d=_____________
2.2.3向量數(shù)積學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標】
1.掌握實數(shù)與向量積的定義,理?解實數(shù)與向量數(shù)積的幾何意義;
2.讓學(xué)生能由實數(shù)運算律類比向量數(shù)乘運算律,并且驗證強化對知識的形成過程的認識,
正確表示結(jié)果,掌握實數(shù)與向量的積的運算律;
3.能熟練運用實數(shù)與向量積的定義,運算律進行有關(guān)計算.
【重點、難點】實數(shù)向量積的兒何意義,用運算律進行計算。
自主學(xué)習(xí)案
【知識梳理】
1.向量的數(shù)乘
我們.規(guī).定實數(shù)幾與向量力的積是一個向量,這種.運算叫作向量的數(shù)乘,記作.
它的長度和方向規(guī)定如下:
(1)|X?|=_;____;(2)入>0時入萬與石方向;入<0時入)與不方向;
由(3)知入=0或萬=6時,X?=,方向;
2.實數(shù)與向量積的幾何意義
當(dāng)門|>1時,表示向量)的有向線段在原方向(2>0)或反方向(4<0)上伸長到原來
的倍,當(dāng)0<|X|<1時,表示向量)的有向線段在原方向(力〉0)或反方向(力<0)
上到縮短到原來的倍.
3.實數(shù)與向量積的運算律
(1)結(jié)合律:入(口石)=;
⑵分配律:(入+u))=,A(萬+B)=;
4.如果5(a^O)與了共線,那么有且只有.一個實數(shù)力,使
5.若存在AGR使得,則三點A,B,C共線..
【預(yù)習(xí)自測】
1、設(shè)eR,則下列敘述不正確的是()
A.2(a-b)=Aa-AbB.(幾一〃)萬=而一曲
C.五二〃(而)D.而(%。0)的方向與向量方的方向相同
2.已知同=5,忖=10,若5=花,且向量分的方向與向量)的方向相反,則人的值為
()
A.2B.—2C.---D.—
22
3.設(shè)是任意的兩個向量,2e/?,給出下面四個結(jié)論:
(1)若G與X共線,則1=41(2)若X=則3與Z共線;
(3)若。=丸6,則。與方共線,(4)若?!╝,且I。0,則有aeR使得》=4a
其中,正確的結(jié)論有()
A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)
【我的疑問】
合作探究案
【課內(nèi)探究】
例1.化簡(1)5(3云-26)+4(26-35)(2)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)
例2.如圖,已知任意兩個非零向量a5,試作a=石+友麗=a+2瓦瓦=3+3冗你能
判斷A,B,C三點之間的關(guān)系嗎?為什么?
a
b
變式:設(shè)兩個非零向量e1和02不共線,如果48=2q+3.02,BC=6et+23e2,
CD=4ex-8e2,求證:A、B、D三點共線.
i—?]—?—?].
例3.設(shè)M,N,.P是三邊上的點,且滿足前=—部,CN=/A,AP、AB^
333
酢=2就=很,試用扇B,5表示而,NP,PM.A
N
B
變式:平行四邊形ABCD的對角線相交于點M,且而=£,屈=],你能用表示
MA,MB,MC嗎?
【當(dāng)堂檢測】
-1-1_1_
1化簡:⑴5(3a-2b)+4(2b-5a)(2)-(a-2b)--(3a-2b)--(a-b)
2.3、右為非零向量,且IZ+1I=I1I+I9I則()
A.a〃1且a、3方向相同B.a=bC.a--bD.以上都不對
3.在aABC中,設(shè)刀=?,就=B,D、E是BC邊上的三等分點,則而=
AE—(用b、c表示).
課后練習(xí)案
1.化簡48—NC—3BC=.
2.已知4c=±48,AC=XBC,則人的值為()
5
3.已知梯形ABCD,中,且凝=2皮,M、N分別為CD、AB的中點,若荔=5,~AD=b,
用萬、X表示加.
―????-?—?■?——#—??-e?
4.已知任意兩個非零向量a,方,設(shè)43=2?1+1(防,3。=一加+助,。。=30-3力,求
證:A,B,D三點共線。
5.ZXABC中,/E=,N8,EF〃BC交AC于F點,設(shè)N8=。,4(7=3,試用a,3表示向量
5
BF。
2.3.1平面向量基本定理學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標】
1.平面向量基本定理;
2.理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示;能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)?/p>
選取基底,使其他向量都能夠用基底來表示.
3.掌握兩個向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義.
【重點、難點】重點難點:平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.
自主學(xué)習(xí)案
【知識梳理】
1.平面向量.基本定理:
(1)我們把不共線向量[,晟叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;
(2)基底不惟一,關(guān)鍵是不共線;
(3)基底給定時,分解形式惟一.儲,刖是被石,[,]唯一確定的數(shù).
2.向量的夾角
(1)已知非零向量石與b,作0A—a,OB—b,則/(0W史乃)叫)與X
的.
(2)當(dāng)0=0時,d與B;當(dāng)〃時,五與B;
n-
(3)當(dāng),=5時,5與6垂直,記;
(4)注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點,夾角的范圍.
【預(yù)習(xí)自測】
1.設(shè)1是同一平面內(nèi)的兩個向量,則有()
A.,,e2?—定平行B.6,e2的模相馨
C.同一*平面內(nèi)的任一向量)都有石=46+〃/("、〃£R)
D.若最不共線,則同一平面內(nèi)的任一向量)都有2=41+(4、〃£R)
2.已知非零不共線向量石與bR,且〃疝+>=0,則()
A.a=A=6B.m=n=0C.〃=0,5=0D.m=0,6=0
3.已知不共線向量石與彼長度分別為4和3,除+3|=5,
則5和很的夾角為.
【我的疑問】
合作探究案
【課內(nèi)探究】
例1.已知向量弓,e2求作向量-Ze1+3e2.
例2.已知向量,,e2不共線,實數(shù)x、y滿足(3六4歷,+(2x-3y)e2=6^+3e2,求產(chǎn)y的
值.
變式:已知向量1=,-2々,3=2,+e2,c=2,+362,且N=/wb-〃c,則
例3.如圖,平行四邊形OADB的對角線OD,AB相交于點C,線段BC上有一點M滿足
BC=3BM,線段CD上有一點N滿足CZ>3CN,設(shè)方=瓦麗=試用瓦B表示萬口麗.
變式:如圖所示,在平行四邊形OADB中,M,N分別為DC,BC的中點,已知
AM=c,AN=d,試用表示刀,75.
【當(dāng)堂檢測】
a,
1.已知向量萬=,一26,5=21+晟其中[,最不共線,則3與
—>?>
C二66一202,的關(guān)系()
A.不共線后共線C.相等D.無法確定
2.已知石,很不共線,S.c=^a+A2b(兒,A2eR),若巨與3共線,則,=.
-?
-*—*—?
3.已知入1>0,入2>0,C],。2是一,組基底,且5=4耳+則石與,_____.?G與
--?
02(填共線或不共線).
4.等邊aABC中,AB與BC的夾角是
課后練習(xí)案
1.下面三種說法正確的是()
①--個平面內(nèi)只有?對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底;
②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底;
③零向量不可為基底中的向量.
A.①②B.②③C.①③D.①②③
■*—*,,—?*
2.已知向量,62。0,〃£火,石二6+〃6,6=26,若石,石共線,則
下列關(guān)系中一定成立的是()
A.//=05.e2=0C.q〃e2D.q〃6或4=0
3.設(shè)O是平行四邊形288兩對角線的交點,下列向量組:
①75,荏②方面③反比@OD,OB
其中可以作為這個平行四邊形所在平面表示它的所有向量的基底是。
―?—?—?―?——?—?——*,—*,
4.已知向量ei,e2不共線,向量萬=3%—262,b=-2ex+e2,c=7q-de2,試用3,
b表■示3.
5.AABC,D、E、產(chǎn)分別是48、BC、C/上的中點,已知AC=b,用5,B表
示DE,EF,AE.
2.3.2平面向量的正交分解及坐標運算和共線的坐標表示學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標】
1.理解向量的正交分解及其意義。
2.理解向量加法、減法、數(shù)乘的坐標運算法則,能熟練進行向量的坐標運算;
3.理解并掌握用坐標表示平面向量共線的條件,能應(yīng)用平面向量共線的條件解決向量共線的
有關(guān)問題.
【重點、難點】
重點:理解向量加法、減法、數(shù)乘的坐標運算法則,能熟練進行向量的坐標運算
難點:能靈活應(yīng)用平面向量共線的條件解決向量共線的有關(guān)問題.
自主學(xué)習(xí)案
【知識梳理】
2.平面向量的正交分解
由平面向量的基本定理,對于平面內(nèi)的任向量)均可以分解為不共線的兩個向量力[和
X2a2,使之=為由+42a2,若________________,______,則稱為)的正交分解,它是平面向
量基本定理的特殊形式,是向量坐標表示的理論基礎(chǔ)。
3.平面向量的坐標表示
在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量;、,作為基底,由
平面向量基本定理知,對于平面內(nèi)任一向量5,有且只有一對實數(shù)x、y,使得5=x7+0,
即a=________
從原點出發(fā)的向量宓<.對應(yīng)〉向量的坐標(x,y)
3.已知a=(X/,%),b=(后/2),則:
(1)a+h^____________
(2)a-b=____________
(3)Aa-____________
4.若/(X],y]),8(》2,%),則AB=.
—?―?-?
5.設(shè)2=(%1,%),b=(x2,y2),其中bW0,.當(dāng)且僅當(dāng)——時,a//b.
【預(yù)習(xí)自測】
1、已知7、7分別是與x軸、夕軸方向相同的兩個單位向量,若G=(3,4),則石可以用7、
7表示為()
A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j
2.已知向量石=(1,3),向量B=(-2,1),求以下向量的坐標運算:
a+b=a—b=3a=2a+3b-
3.已知4(—l,2),8(3,-4),則向量方的坐標是。
4.下面各組的日個向量,共“線的是()
A、5=(-2,3),=(4,6)B、c=(l,-2),J=(4,6)
C、e=(2,3),/=(3,2)D、g=(-3,2),A=(6,-4)
【我的疑問】
合作探究案
【課內(nèi)探究】
例1、已知不=(2,1),3=(一3,4),求)+B,5-B,3G+4B的坐標。
變式:已知方=(1,-2),B=(—3」)4=(11,-7),且7=x方+歹3,求x,y.
例2、已知UBCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是A、B、C的坐標分別是
(-2,1)、(-1,3)、(3、4),試求頂點D的坐標。
例3.已知石=(1,2),3=(-3,2),若而+6與3—3很平行,求3
變式:已知4(一1,一1),3(1,3),。(2,5),試判斷A、B、C三點是否共線。
例4:設(shè)點尸是線段片B上的一點,片,鳥的坐標分別是(X,乂),(%2,%)。
(1)當(dāng)點P是線段片鳥的中點時,求點尸的坐標;
(2)當(dāng)點P是線段86的一個三等分點時,求點尸的坐標。
總結(jié)提升:
向量的正交分解實質(zhì)上是平面向量基本定理的一種特殊形式;向量的坐標表示也是向量
的代數(shù)表示,向量的坐標表示體現(xiàn)了數(shù)形的緊密聯(lián)系,從而可用“數(shù)”來解決“形”的問題。
【當(dāng)堂檢測】
1.下列說法正確的是()
A..平面內(nèi)由單位向量組成的正交基底有只有一對,
B.相等向量的坐標相同,并且它們起點的坐標,終點的坐標都要相同
C.平面內(nèi)任,何兩個不共線的非零向量都能作為基底向最。
D.平面內(nèi)任何兩個不共線的非零向量都能作為正交基底向量
2.在平面直角坐標系中,0為原點,已知點A的坐標為(2,3)點B的坐標為(6,5),則
0A=,0B=,AB=
3.若石=(2,3)/=(4,相—1),且3〃5,則相等于()
A、5B、6C、7D、8
4.已知點0(0,0),向量為=(2,3),為=(6,-3),點P是線段48的三等分點,求點P
的坐標。
課后練習(xí)案
I—]——*.
1.0是坐標原點,向量次的坐標是(4,0),向量03=彳04,則向量麗的坐標是—
2.已知旭=(2,7),n=(x+2,7),若加二〃,貝ijx二
t_—]f
3.已.知向量a=(x+y,xy),b=(-10,-12),若。=一小,求x,y.
4.已知表示向量)的有向線段始點A的坐標,求它的終點B的坐標:
(1)5=(-2,1),^=(0,0)(2)a=(5,-4),4=(3,-6)
5.已知OBCD的頂點A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),求頂點D的坐標。
6.已知點A(1,1),B(T,5)及AC=、AB,AD=2AB,AE=,求點C、D、
E的坐標.。
3—-
7.已知A(2,3),B(4,-3),點P在線段AB的延長線上,且力尸=-PB,求點p的坐
標。
2.3.3《平面向量的坐標運算》教案
【教學(xué)目標】
1.能準確表述向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標運算法則,并能進行相關(guān)運
算,進一步培養(yǎng)學(xué)生的運算能力;
2.通過學(xué)習(xí)向量的坐標表示,使學(xué)生進一步了解數(shù)形結(jié)合思想,認識事物之間的相互
聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.
【教學(xué)重難點】
教學(xué)重點:平面向量的坐標運算.
教學(xué)難點:對平面向量坐標運算的理解.
【教學(xué)過程】
一、k創(chuàng)設(shè)情境》
以前,我們所講的向量都是用有向線段表示,即幾何的方法表示。向量是否可以用代數(shù)
的方法,比如用坐標來表示呢?如果可能的話,向量的運算就可以通過坐標運算來完成,那
么問題的解決肯定要方便的多。因此,我們有必要探究一下這個問題:平面向量的坐標運算。
二、R新知探究》
思考1:設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量,若設(shè)3=(xi,yi)h=(x2,Y2)
則g=X|i+yjb=x2i+y2j,根據(jù)向量的線性運算性質(zhì),向量石+分,a-b,Xa(X
GR)如何分別用基底i、j表示?
5+3.=(xi+x2)i+(yi+y2)/,
a-b=(x1-x2)i+(yi-y2V-
入石=入X]i+入yj.
思考2:根據(jù)向量的坐標表示,向量萬+B,a~b,入石的坐標分別如何?
a+h=(x!+x2,yi+y2);
石―B=(xi—X2,yi—y2);
入G=(入X],A.y,).
兩個向量和與差的坐標運算法則:
兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差.
實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原-來向量的相應(yīng)坐標.
思考3:已知點A(xi,yi),B(X2,y2),那么向量方的坐標如何?
結(jié)論:一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.
思考4:?個向量平移后坐標不變,但起點坐標和終點坐標發(fā)生了變化,這是否矛盾呢?
結(jié)論:
1:任意向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關(guān)系,只與其
相對位置有關(guān)。
2:當(dāng)把坐標原點作為向量的起點,這時向量的坐標就是向量終點的坐標.
三、K典型例題2
例1已知G=(2,1),3=(—3,4),求a+b,a—b,33+4B的坐標.
解:5+6—(2,1)+(-3,4)=(—1,5),
a—b—(2,1)-(-3,4)=(5,-3),
33+4各=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).
點評:利用平面向量的坐標運算法則直接求解。
變式訓(xùn)練1:已知2=(3,2),6=(0,-1),求一2Z+4B,41+31的坐標;
例2、已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為(-2,1)、(-1,3)(3,
4),求頂點D的坐標。
解:設(shè)點D的坐標為(x,y),
?.?屈=(-1,3)-(-2,1)=(1,2)
5c=(3,4)-(x,^)=(3-x,4-y)
且在=皮
.-.(l,2)=(3-x,4-^)
即3?x=l,4?y=2
解得x=2,產(chǎn)2
所以頂點D的坐標為(2,2).
另解:山平行四邊形法則可得
BD^BA+BC
=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)
=(3,-1)
OD^OB+BD
所如名星曲D((2,2)
點評:考查了向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系.
變式訓(xùn)練2:已知平面上三點的坐標分別為A(-2,1),B(-l,3),C(3,4),求點D的坐標使
這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點。
四、K課堂小結(jié)』
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了平面向量的坐標運算法則:
(1)兩向量和的坐標等于各向量對應(yīng)坐標的和;
(2)兩向量差的坐標等于各向量對應(yīng)坐標的差;
(3)實數(shù)與向量積的坐標等于原向量的對應(yīng)坐標乘以該實數(shù);
五、工反饋測評】
1.下列說法正確的有()個
(1)向量的坐標即此向量終點的坐標
(2)位置不同的向量其坐標可能相同
(3)一個向量的坐標等于它的始點坐標減去它的終點坐標
(4)相等的向量坐標一定相同
A.1B.2C.3D.4
2.已知A(-1,5)和向量石=(2,3),若=3G,則點B的坐標為。
A.(7,4)B.(5,4)C.(7,14)D.(5,14)
3.已知點4(1,1),8(-1,5)及工=;在,AD=2AB,AE=-^AB,求點C、D、
E的坐標。
2.3.3平面向量的坐標運算
課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標:通過預(yù)習(xí)會初步的進行向量的加法、減法、實數(shù)與向量的枳的坐標運
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容:
1、知識回顧:平面向量坐標表示
2.平面向量的坐標運算法則:
若a=(xbyD,b=(x2,y2)貝Ua+b=,
a—b=,Xa=..
三、提出疑惑
同學(xué)們,通過你的自主學(xué)習(xí),你還有哪些疑惑,請把它填在下面的表格中
疑惑內(nèi)容
課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標:
1.能準確表述向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標運算法則,并能進行相關(guān)
運算,進一步培養(yǎng)學(xué)生的運算能力;
2.通過學(xué)習(xí)向量的坐標表示,使學(xué)生進一步了解數(shù)形結(jié)合思想,認識事物之間的相聯(lián)
系,培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.
二、學(xué)習(xí)內(nèi)容
1.平面向量的坐標運算法則:
思考1:設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量,若5=(X|,yi),b=(x2,y2)>則
a=xii+yij.B=X2i+y2j,根據(jù)向量的線性運算性質(zhì),向量3+B,a—b,入5(人
GR)如何分別用基底i、j表示?
思考2:根據(jù)向量的坐標表示,向量5+B,a-b,入萬的坐標分別如何?
思考3:已知點A(xby)B(X2,y2),那么向量的坐標如何?
平面向量的坐標運算法則:
(1)兩向量和的坐標等于;
(2)兩向量差的坐標等于;
(3)實數(shù)與向量積的坐標等于;
思考4:一個向量平移后坐標不變,但起點坐標和終點坐標發(fā)生了變化,這是否矛盾呢?
2.典型例題
例1:已知3=(2,1),5=(—3,4),求a+b,a—b,35+4分的坐標.
例2:已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標.分別為(-2,1)、(-1,3)、
(3,4),求頂點D的坐一標。
三、反思總結(jié)
(1)引進向量的坐標后,向量的基本運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)的基本運算,可以解方程,可以解不等式,
總之問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的領(lǐng)域之中。
(2)要把點坐標與向量坐標區(qū)分開來,兩者不是一個概念。
四、當(dāng)堂檢測
1.下列說法正確的有()個
(1)向量的坐標即此向量終點的坐標
(2)位置不同的向量其坐標可能相同
(3)一個向量的坐標等于它的始點坐標減去它的終點.坐標
(4)相等的向量坐標一定相同
A.1B.2C.3D.4
2.已知A(-l,5)和向量為=(2,3),若凝=35,則點B的坐標為。
A.(7,4)B.(5,4)C.(7,14)D.(5,14)
3.已知點4(1,1),8(-1,5)及撫=;在,AD=2AB,AE=-jAB,求點C、D、E
的坐標。
課后練習(xí)與提高
1.已知工=(3,2),1=(0,-1),則-2Z+4/等于()
A.(-6,—8)B.(―3,—6)
C.(6,8)D.(6,-8)
2.已知平面向量)=(1,2),%=,且2)=九則2)-33等于(.)
A.(-2,-4)B.(-3,-6)
C.(-5,-10)D.(-4,-8)
3已知£=(2,3),B=(—1,2),若左Z—石與Z—女鼠平行,貝U左等于().
A.1B..-1C.1或-1D.2
4.已知a=(5,2),a=(-7,-2),則4a+3b的坐標為.
5.已知:點A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB+入AC(入GR),則人為
時,點P在一、三象限角平分線上.
6.已知a=(2,-4),b-(-1,3),c-(6,5),p-a+2b-c,則以a,B為基底,
求p.
參考答案:
VlW.WA'2.D3.C4.(-1,,2)5.-3
6.解:令2=總+施,則(6,5)=4(2,-4)+皿-1,3).
.2兄一〃=6
(6,5)=(24-區(qū)一4;1+3以),」-44+3〃=5'
23
=T,:.p=a+^-—a-\lb=--a-\^>.
"=1722
2.3.3平面向量的坐標運算學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標】
1.會用坐標.表示平面向量的加減與數(shù)乘運算;能用兩端點的坐標,求所構(gòu)造向量的坐標;
2.體會向量是處理幾何問題的工具.培養(yǎng)細心、耐心的學(xué)習(xí)習(xí)慣,提高分析問題的能力。
【學(xué)習(xí)過程】
一、自主學(xué)習(xí)
(一)知識鏈接:復(fù)習(xí):⑴向量是共線的兩個向量,則之間的關(guān)系可表示
為.
⑵向量親,最是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,[為這個平面內(nèi)任一向量,則向量£可用],瑟
表示.為0
(二)自主探究:(預(yù)習(xí)教材P96—P97)
探究:平面向量的坐標運算
問題1:已知<7=(X],%),b=(x2,y2),能得出“+否,a-b,幾”的坐標嗎?
1、已知:a=(為,/),5=(巧,巧),義為一實數(shù)
a+b=。a—b=。
這就是說,兩個高量和(差)的坐標分別等于
Aa=.這就是說,實數(shù)與向量的積的坐.標等于:
問題2:如圖,已知力后,乂),8(馬,必),則怎樣用坐標表示向量拓呢?
2、若已知2(*1,匕),6(巧,/),
貝ijAB==
即一個向量的坐標等于此向量的有向線段
的。
問題3:你能在上圖中標出坐標為(X2-司,%-必)的P點嗎?標出尸點后,你能發(fā)現(xiàn)向量
的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系嗎?
二、合作探究
1、已知a+5=(2,-8),a-否=(-8,16),求。和5.
2、已知平行四邊形/BCO的頂點力(-1,-2),5(3,-1),C(5,6),試求:
(1)頂點。的坐標.
(2)若/C與8。的交點為O,試求點。的坐標.
3、已知△ZBC中,3(7,8),3(3,5),C(4?3),M、N是AB、3c的中點,3是5c的中點,
MN與AD交于點、F,求亦
三、交流展示
1、已知向量的坐標,求£+加£一5的坐標.
(l)o=(3,7),6=(-2,l)
⑵)=(-3,-4),1=(4,3)
⑶7=(2,-5)1=(3,-8)
(4)a=(O,-l),6=(-1,0)
2、已知力、8兩點的坐標,求方,成的坐標.
⑴/(1,3),8(-2,-5).
⑵/(0,-1),8(3,6)
⑶4(4,-7),3(2,1)
⑷/(0,0),8(4,-5)
3251—1-
3、已知以,-),M—,-),且g=一MN,求P點的坐標。
2
4、已知向量a=(3,-2),b=(-2,1)(c=(7,-4),試用來表示c.
四、達標檢測(A組必做,B組選做)
A組:L若向量〃=(x-2,3)與向量否=(l,y+2)相等,則()
A.x=l,y=3B.x=3,y=1C.x=l^y=—5D.x=5,y=-1
2.已知方=(x,y),點擊的坐標為(-2,1),則行的坐標為()
A.(x-2,y+l)B.(x+2,_y-1)C.2—x,y)D.(x+2,y+l)
3.已知£=(3,-1),1=(一1,2),貝IJ-3Z-2否等于()
A.(7,l)B,(-7,-l)C.(-7,1)D.(7,-l)
4.設(shè)點/(—1,2),8(2,3),C(3,-l)且赤=2萬一3及,求。點的坐標。
B組:1、已知點4(—1,—5)和向量a=(2,3),若4B=3a,則點8的坐標為()
A.(6,9)B.(5,4)C.(7,14)D.(9,24)
2、已知圓C:(x—3)2+3—3)2=4及點M為圓C上的任意一點,點兒在線段M1
的延長線上,且該=2用/,求點N的軌跡方程.
2.3.4《平面向量共線的坐標表示》教案
【教學(xué)目標】
1.會推導(dǎo)并熟記兩向量共線時坐標表示的充要條件;
2.能利用兩向量共線的坐標表示解決有關(guān)綜合問題。
3.通過學(xué)習(xí)向量共線的坐標表示,使學(xué)生認識事物之間的相互聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生辨證思
維能力.
【教學(xué)重難點】
教學(xué)重點:向量共線的坐標表示及直線上點的坐標的求解.
教學(xué)難點:定比分點的理解和應(yīng)用.
【教學(xué)過程】
一、K創(chuàng)設(shè)情境F
前面,我們學(xué)習(xí)了平面向量可以用坐標來表示,并且向量之間可以進行坐標運算。這就為解
決問題提供了方便。我們又知道共線向量的條件是當(dāng)且僅當(dāng)有一個實數(shù)人使得坂=入石,那
么這個條件是否也能用坐標來表示呢?因此,我們有必要探究一下這個問題:兩向量共線的
坐標表.示。
二、K新知探究』
思考:共線向量的條件是當(dāng)且僅當(dāng)有一個實數(shù)人使得5=入B,那么這個條件是否也能
用坐標來表示呢?
設(shè)2=(xi,y。3=(x2,丫2)(b*6)其中Bw石
_-[x\~?
由石=入/),(xi,yi)=X(x,y),消去入:X!y—xyi=0
22〔乂=機22
結(jié)論:a//b(b^0)<?x1y2-x2yi=0
注意:1。消去入時不能兩式相除,???力,丫2有可能為0,???Bw6,
;?X2,Y2中至少有一個不為0.
2。充要條件不能寫成"=匹?;X],X2有可能為0.
再x2
-=亦
3。從而向量共線的充要條件有兩種形式:a//ba~
%%f必=o
三、R典型例題》
例L已知a=(4,2),b=(6,y),且?!ㄗI求
解:Vallb,:.4y—2x6=0.y=3.
點評:利用平面向量共線的充要條件直接求解.
變式訓(xùn)練1:已知平面向量1=(1,2),b=(-2,m),且工〃幾則0+3否等于
例2:已知/(-1,7),3(1,3),C(2,5),求證:/、B、。三點共線.
證明:刀=(1—(一1),3-(—1))=(2,4),^C=(2-(-l),5-(-l))=(3,6),
又2乂6-3乂4=0,;.在〃就.:直線48、直線4C有公共點Z,
:.A,B,C三點共線。
點評:若從同一點出發(fā)的兩個向量共線,則這兩個向量的三個頂點共線.
變式訓(xùn)練2:若Z(x,-1),8(1,3),C(2,5)三點共線,則x的值為.
例3.:設(shè)點P是線段PR上的一點,Pi、P2的坐標分別是(X】,力),(x2,y2).
(1)當(dāng)點P是線段P1P2的中點時,求點P的坐標;
(2)當(dāng)點P是線段PF2的一個三等分點時,求點P的坐標.
解:(1
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