九年級數(shù)學下冊專題06 相似三角形的基本模型（子母型）（原卷版）（人教版）

專題06相似三角形的基本模型（子母型）【模型說明】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結論：△ABD∽△ECA；【例題精講】例1．（基本模型1）（1）如圖，點在線段上，點在直線的同側，，求證：；（2）如圖，點在線段上，點在直線的同側，，，，，求的值；（3）如圖，中，點在邊上，且，，，點在邊上，連接，，，求的值．例2．（基本模型）在中，，平分．（1）如圖1，若，，求的長．（2）如圖2，過分別作交于，于．①求證：；②求的值．例3．（培優(yōu)綜合1）如圖，在中，平分在延長線上，且，若，，則的長為．例4．（培優(yōu)綜合2）如圖，在中，，，，，，則CD的長為．例5．（最值問題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E、F在邊BC，CD上運動，且滿足BE=CF，連接AE，BF交于點G，連接CG，則CG的最小值為；當CG取最小值時，CE的長為例6．（與圓綜合）如圖，是的直徑，點是上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為點，直線與的延長線相交于點．弦平分，交直徑于點，連接．（1）求證：平分；（2）探究線段，之間的大小關系，并加以證明；（3）若，，求的長．例7．（與函數(shù)綜合）如圖，拋物線與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求直線的解析式及拋物線頂點坐標；（2）如圖1，點P為第四象限且在對稱軸右側拋物線上一動點，過點P作軸，垂足為C，交于點D，求的最大值，并求出此時點P的坐標；（3）如圖2，將拋物線向右平移得到拋物線，直線與拋物線交于M，N兩點，若點A是線段的中點，求拋物線的解析式．課后訓練1．如圖，中，，，，點，分別在，上，，．把繞點旋轉，得到，點落在線段上．若點在的平分線上，則的長為（

）A． B． C． D．2．如圖，中，點在上，，若，，則線段的長為．3．如圖，在等邊三角形的邊上各取一點P，Q，使，相交于點O，若，，則的長為，的長為．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，則DF的長是．5．如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點，與交于點，則的長為．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中點，點E在BC上，分別連接BD、AE交于點F．若∠BFE＝45°，則CE＝．7．在矩形中，，，是邊上一點，交于點，過點作，交射線于點，交射線于點．（1）如圖，當點與點重合時，求的長．（2）如圖，當點在線段上時，設，，求與之間的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域．（3）連接，當與相似時，求線段的長．8．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，P為BA延長線上一點，連接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延長交AD于F．（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）求證：；（3）若，，求PA的長．9．（1）問題感知如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，點P是邊AC的中點，連接BP，將線段PB繞點P順時針旋轉90°到線段PD．連接AD．過點P作PE∥AB交BC于點E，則圖中與△BEP全等的三角形是，∠BAD＝°；（2）問題拓展如圖2，在△ABC中，AC＝BC＝AB，點P是CA延長線上一點，連接BP，將線段PB繞點P順時針旋轉到線段PD，使得∠BPD＝∠C，連接AD，則線段CP與AD之間存在的數(shù)量關系為CP＝AD，請給予證明；（3）問題解決如圖3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，點P在直線AC上，且∠APB＝30°，將線段PB繞點P順時針旋轉60°到線段PD，連接AD，請直接寫出△ADP的周長．10．如圖1，，，，點從點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點運動，點同時從點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點A運動，當一點到達終點時，另一點也停止運動．(1)求的長．(2)當