湖南省長沙市麓山國際實驗學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題含解析

湖南省長沙市麓山國際實驗學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知M為z軸上一點，且點M到點與點的距離相等，則點M的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．已知是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則為A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形3．已知在三角形中，，點都在同一個球面上，此球面球心到平面的距離為，點是線段的中點，則點到平面的距離是（）A． B． C． D．14．已知，則下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．5．已知向量與的夾角為，，，當(dāng)時，實數(shù)為()A． B． C． D．6．已知函數(shù)向左平移個單位長度后，其圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為()A． B． C． D．7．在下列結(jié)論中，正確的為（）A．兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B．向量與向量的長度相等C．向量就是有向線段D．零向量是沒有方向的8．如圖所示，4個散點圖中，不適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是（）A． B．C． D．9．在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD一定是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形10．若，，，點C在AB上，且，設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則的值為_______.12．在中，，，，則的面積是__________.13．在平面直角坐標(biāo)系中，點，，若直線上存在點使得，則實數(shù)的取值范圍是_____．14．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7從散點圖分析，與線性相關(guān)，且，則______．15．如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB為直徑在外作半圓O，P是半圓弧AB上的動點，點Q在斜邊BC上，若，則的取值范圍是________.16．若三角形ABC的三個角A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，三角形ABC的面積，則b的最小值是________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè).（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求的值.18．設(shè)數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．19．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.20．設(shè)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)數(shù)列，試問是否存在正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.21．從全校參加科技知識競賽初賽的學(xué)生試卷中，抽取一個樣本，考察競賽的成績分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小組的小長方形的高之比是，最后一組的頻數(shù)是6.請結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問題：（1）樣本的容量是多少?（2）求樣本中成績在分的學(xué)生人數(shù)；（3）從樣本中成績在90.5分以上的同學(xué)中隨機地抽取2人參加決賽，求最高分甲被抽到的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)題意先設(shè)，再根據(jù)空間兩點間的距離公式，得到，再由點M到點與點的距離相等建立方程求解.【詳解】設(shè)根據(jù)空間兩點間的距離公式得因為點M到點與點的距離相等所以解得所以故選：C【點睛】本題主要考查了空間兩點間的距離公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由向量的減法法則，將題中等式化簡得，進而得到，由此可得以為鄰邊的平行四邊形為矩形，得的形狀是直角三角形。【詳解】因為，，因為，所以，因為，所以，由此可得以為鄰邊的平行四邊形為矩形，所以，得的形狀是直角三角形?！军c睛】本題給出向量等式，判斷三角形的形狀，著重考查平面向量的加法、減法法則和三角形的形狀判斷等知識。3、D【解析】

利用數(shù)形結(jié)合，計算球的半徑，可得半徑為2，進一步可得該幾何體為正四面體，可得結(jié)果.【詳解】如圖據(jù)題意可知：點都在同一個球面上可知為的外心，故球心必在過且垂直平面的垂線上因為，所以球心到平面的距離為即，又所以同理可知：所以該幾何體為正四面體，由點是線段的中點所以，且平面，故平面所以點到平面的距離是故選：D【點睛】本題考查空間幾何體的應(yīng)用，以及點到面的距離，本題難點在于得到該幾何體為正四面體，屬中檔題.4、D【解析】

由，，計算可判斷；由，，計算可判斷；由，可判斷；作差可判斷．【詳解】解：，當(dāng)，時，可得，故錯誤；當(dāng)，時，，故錯誤；當(dāng)，，故錯誤；，即，故正確．故選：．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，考查特殊值的運用，以及運算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

利用平面向量數(shù)量積的定義計算出的值，由可得出，利用平面向量數(shù)量積的運算律可求得實數(shù)的值.【詳解】，，向量與的夾角為，，，，解得.故選：B.【點睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,即為偶函數(shù).，求得的最小值．【詳解】把函數(shù)向左平移個單位長度后.可得的圖象.再根據(jù)所得圖象關(guān)于軸對稱,即為偶函數(shù).所以即，當(dāng)時，的值最小.所以的最小值為：故選：A【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

逐一分析選項，得到答案.【詳解】A.單位向量的方向任意，所以當(dāng)起點相同時，終點在以起點為圓心的單位圓上，終點不一定相同，所以選項不正確；B.向量與向量是相反向量，方向相反，長度相等，所以選項正確；C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向線段表示，但不能說向量就是有向線段，所以選項不正確；D.規(guī)定零向量的方向任意，而不是沒有方向，所以選項不正確.故選B.【點睛】本題考查了向量的基本概念，屬于基礎(chǔ)題型.8、A【解析】

根據(jù)線性回歸模型建立方法，分析選項，找出散點比較分散且無任何規(guī)律的選項可得答案.【詳解】根據(jù)題意，適合用線性回歸擬合其中兩個變量的散點圖必須散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，分析選項可得A選項的散點圖雜亂無章，最不符合條件.故選A【點睛】本題考查了統(tǒng)計案例散點圖，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】試題分析：因為,根據(jù)向量的三角形法則，有,則可知,故四邊形ABCD為平行四邊形.考點：向量的三角形法則與向量的平行四邊形法則.10、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點睛】本題主要考查了向量的基本運算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

把已知等式展開利用二倍角余弦公式及兩角和的余弦公式，整理后兩邊平方求解．【詳解】解：由，得，，則，兩邊平方得：，即．故答案為．【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．12、【解析】

計算，等腰三角形計算面積，作底邊上的高，計算得到答案.【詳解】，過C作于D，則故答案為【點睛】本題考查了三角形面積計算，屬于簡單題.13、.【解析】

設(shè)由，求出點軌跡方程，可判斷其軌跡為圓，點又在直線，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點，只需圓心到直線的距離小于半徑，得到關(guān)于的不等式，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，，，整理得，又點在直線，直線與圓共公共點，圓心到直線的距離，即.故答案為:.【點睛】本題考查求曲線的軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)表求解出，代入回歸直線，求得的值.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得：，又由回歸方程知回歸方程的斜率為截距本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用回歸直線求實際數(shù)據(jù)，關(guān)鍵在于明確回歸直線恒過，從而可構(gòu)造出關(guān)于的方程.15、【解析】

建立直角坐標(biāo)系，得出的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得出的取值范圍.【詳解】取中點為，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系則，設(shè)，，則，則設(shè)點，則，則當(dāng)，即時，取最大值當(dāng)，即時，取最小值則的取值范圍是故答案為：【點睛】本題主要考查了利用數(shù)量積求參數(shù)以及求正弦型函數(shù)的最值，屬于較難題.16、【解析】

先求出，再根據(jù)面積得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.【詳解】由題得,所以.由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.所以b的最小值是.故答案為：【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)代入?yún)?shù)值，解二次不等式即可；（2）不等式，即，故得到1，2是方程的兩實根，根據(jù)韋達定理得到數(shù)值.【詳解】（1）當(dāng)時，不等式即為，∴或，因此原不等式的解集為.（2）不等式，即，由題意知，且1，2是方程的兩實根，因此.【點睛】這個題目考查了二次不等式的解法，以及二次函數(shù)和二次不等式的關(guān)系，考查了二次不等式的韋達定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）【解析】

(1)由，且，可得當(dāng)也適合，；(2)∵19、（1）證明見解析（2）【解析】試題分析：（1）做輔助線，先證及四邊形為平行四邊形平面；（2）利用勾股定理求得.試題解析：（1）證明：取中點,連接，則∵是的中點，∴；∵是的中點，∴,∴四邊形為平行四邊形，∴,∵平面,平面,∴平面；（2）∵,∴,∴20、(1)；.(2)(3)存在，或者，【解析】

（1）令，得，故，代入等式得到，計算得到.（2）利用錯位相減法得到前N項和.（3），假設(shè)存在正整數(shù)，，使成等差數(shù)列，則，解得或者.【詳解】（1）令，得，所以將代入，得所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，即.（2）兩式相減得到化簡得到.（3），假設(shè)存在正整數(shù)，，使成等差數(shù)列則，即，因為，為正整數(shù)，所以存在或者，使得成等差數(shù)列.【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，錯位相減法，綜合性大，技巧性強，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.21、（1）48；（2）30；（3）【解析】

（1）設(shè)樣本容量為，列方程求解即可；（2）根據(jù)比例列式求解即可；（3）根據(jù)比例得成績在90.5分以上的同學(xué)有6人，抽取2人參加決賽，列舉出總的基本事件個數(shù)，然后列舉出最高分甲被抽到的基