2025屆廣東省廣州荔灣區(qū)廣雅中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆廣東省廣州荔灣區(qū)廣雅中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若,則()A. B. C. D.2.等差數(shù)列{an}的公差是2,若a2,a4A.n(n+1) B.n(n-1) C.n(n+1)2 D.3.以?xún)牲c(diǎn)A(-3,-1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.(x-1)2+(y-2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=254.某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1000人,其中一、二、三、四年級(jí)的人數(shù)比為4∶3∶2∶1,要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個(gè)容量為200的樣本,則應(yīng)抽取三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為()A.80 B.40 C.60 D.205.已知圓,圓,則圓與圓的位置關(guān)系是()A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切6.等差數(shù)列的首項(xiàng)為.公差不為,若成等比數(shù)列,則數(shù)列的前項(xiàng)和為()A. B. C. D.7.一幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.16 B.20 C.24 D.288.已知二次函數(shù),當(dāng)時(shí),其拋物線在軸上截得線段長(zhǎng)依次為,則的值是A.1 B.2 C.3 D.49.若非零實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,則下列不等式成立的是()A. B. C. D.10.若,則()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.在數(shù)列中,,,則________.12.中,,則A的取值范圍為_(kāi)_____.13.在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,則△ABC的面積S=_____.14.弧度制是數(shù)學(xué)上一種度量角的單位制,數(shù)學(xué)家歐拉在他的著作《無(wú)窮小分析概論》中提出把圓的半徑作為弧長(zhǎng)的度量單位.已知一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于其半徑長(zhǎng),則該扇形圓心角的弧度數(shù)是__________.15.已知x、y、z∈R,且,則的最小值為.16.如圖,將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣,按照這樣的排列規(guī)律,第行從右至左的第3個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.已知圓圓心坐標(biāo)為點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),軸、軸被圓截得的弦分別為、.(1)證明:的面積為定值;(2)設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn),若,求圓的方程.19.一個(gè)工廠在某年里連續(xù)10個(gè)月每月產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與該月產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間有如下一組數(shù)據(jù):x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26(1)通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;(2)①建立月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸方程;②通過(guò)建立的y關(guān)于x的回歸方程,估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98萬(wàn)件時(shí),此時(shí)產(chǎn)品的總成本為多少萬(wàn)元?(均精確到0.001)附注:①參考數(shù)據(jù):=14.45,=27.31,=0.850,=1.042,=1.1.②參考公式:相關(guān)系數(shù):r=.回歸方程=x+中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:=,=-20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿(mǎn)足,,數(shù)列滿(mǎn)足,,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.某公司為了解廣告投入對(duì)銷(xiāo)售收益的影響,在若干地區(qū)各投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用,并將各地的銷(xiāo)售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開(kāi)始計(jì)數(shù)的.(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度;(2)試估計(jì)該公司在若干地區(qū)各投入4萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后,對(duì)應(yīng)銷(xiāo)售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);(3)該公司按照類(lèi)似的研究方法,測(cè)得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:廣告投入(單位:萬(wàn)元)12345銷(xiāo)售收益(單位:萬(wàn)元)2337由表中的數(shù)據(jù)顯示,與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.(參考公式:)

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】.分子分母同時(shí)除以,即得:.故選D.2、A【解析】試題分析:由已知得,a42=a2?a8,又因?yàn)閧an}【考點(diǎn)】1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式;2、等比中項(xiàng);3、等差數(shù)列前n項(xiàng)和.3、D【解析】分析:由條件求出圓心坐標(biāo)和半徑的值,從而得出結(jié)論.詳解:圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑r==5,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=25.故選D.點(diǎn)睛:本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,求出圓心坐標(biāo)和半徑的值,是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】試題分析:方法一:由條件可知三年級(jí)的同學(xué)的人數(shù)為,所以應(yīng)抽人數(shù)為,方法二:由條件可知樣本中一、二、三、四年級(jí)的人數(shù)比為4∶3∶2∶1,因此應(yīng)抽取三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為,答案選B.考點(diǎn):分層抽樣5、C【解析】,,,,,即兩圓外切,故選.點(diǎn)睛:判斷圓與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1)幾何法:利用圓心距與兩半徑和與差的關(guān)系.(2)切線法:根據(jù)公切線條數(shù)確定.(3)數(shù)形結(jié)合法:直接根據(jù)圖形確定6、A【解析】

根據(jù)等比中項(xiàng)定義可得;利用和表示出等式,可構(gòu)造方程求得;利用等差數(shù)列求和公式求得結(jié)果.【詳解】由題意得:設(shè)等差數(shù)列公差為,則即:,解得:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,涉及到等比中項(xiàng)、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用;關(guān)鍵是能夠構(gòu)造方程求出公差,屬于??碱}型.7、B【解析】

根據(jù)三視圖可還原幾何體,根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系依次計(jì)算出各個(gè)側(cè)面和上下底面的面積,加和得到表面積.【詳解】有三視圖可得幾何體的直觀圖如下圖所示:其中:,,,則:,,,,幾何體表面積:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查幾何體表面積的求解問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)三視圖準(zhǔn)確還原幾何體,從而根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可依次計(jì)算出各個(gè)面的面積.8、A【解析】

當(dāng)時(shí),,運(yùn)用韋達(dá)定理得,運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得由此能求出【詳解】當(dāng)時(shí),,由,可得,,由,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的極限的運(yùn)算,裂項(xiàng)相消求和,根與系數(shù)的關(guān)系,屬于中檔題.9、C【解析】

對(duì)每一個(gè)不等式逐一分析判斷得解.【詳解】A,不一定小于0,所以該選項(xiàng)不一定成立;B,如果a<0,b<0時(shí),不成立,所以該選項(xiàng)不一定成立;C,,所以,所以該不等式成立;D,不一定小于0,所以該選項(xiàng)不一定成立.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式性質(zhì)和比較法比較實(shí)數(shù)的大小,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.10、A【解析】試題分析:,故選A.考點(diǎn):兩角和與差的正切公式.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】

由遞推公式可以求出,可以歸納出數(shù)列的周期,從而可得到答案.【詳解】由,,.,可推測(cè)數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列.所以。故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量的遞推公式同時(shí)考查數(shù)列的周期性,屬于中檔題.12、【解析】

由正弦定理將sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC變?yōu)?,然后用余弦定理推論可求,進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可求得角A的取值范圍.【詳解】因?yàn)閟in2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,所以,即.所以,因?yàn)?,所以.【點(diǎn)睛】在三角形中,已知邊和角或邊、角關(guān)系,求角或邊時(shí),注意正弦、余弦定理的運(yùn)用.條件只有角的正弦時(shí),可用正弦定理的推論,將角化為邊.13、【解析】

用余弦定理求出邊的值,再用面積公式求面積即可.【詳解】解:據(jù)題設(shè)條件由余弦定理得,即,即解得,故的面積,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)和半徑長(zhǎng)為,由弧度制的定義可得,該扇形圓心角的弧度數(shù)是.15、【解析】試題分析:由柯西不等式,,因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.考點(diǎn):柯西不等式16、【解析】

由題可以先算出第行的最后一個(gè)數(shù),再?gòu)挠抑磷笏愠龅?個(gè)數(shù)即可.【詳解】由圖得,第行有個(gè)數(shù),故前行一共有個(gè)數(shù),即第行最后一個(gè)數(shù)為,故第行從右至左的第3個(gè)數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列求和問(wèn)題,注意從右至左的第3個(gè)數(shù)為最后一個(gè)數(shù)減2.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)利用的方法,進(jìn)行求解即可(Ⅱ)仍然使用的方法,先求出,然后代入,并化簡(jiǎn)得,然后利用裂項(xiàng)求和,求出數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】解:(Ⅰ)數(shù)列的前項(xiàng)和為①.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),②,①﹣②得:,(首相不符合通項(xiàng)),所以:(Ⅱ)當(dāng)時(shí),①,當(dāng)時(shí),②,①﹣②得:,所以:令,所以:,則:【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)的求法的應(yīng)用,以及利用裂項(xiàng)求和法進(jìn)行求和,屬于基礎(chǔ)題18、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)利用幾何條件可知,為直角三角形,且圓過(guò)原點(diǎn),所以得知三角形兩直角邊邊長(zhǎng),求得面積;(2)由及原點(diǎn)O在圓上,知OCMN,所以,求出的值,再利用直線與圓的位置關(guān)系判斷檢驗(yàn),符合題意的解,最后寫(xiě)出圓的方程.【詳解】(1)因?yàn)檩S、軸被圓截得的弦分別為、,所以經(jīng)過(guò),又為中點(diǎn),所以,所以,所以的面積為定值.(2)因?yàn)橹本€與圓交于兩點(diǎn),,所以的中垂線經(jīng)過(guò),且過(guò),所以的方程,所以,所以當(dāng)時(shí),有圓心,半徑,所以圓心到直線的距離為,所以直線與圓交于點(diǎn)兩點(diǎn),故成立;當(dāng)時(shí),有圓心,半徑,所以圓心到直線的距離為,所以直線與圓不相交,故(舍去),綜上所述,圓的方程為.【點(diǎn)睛】本題通過(guò)直線與圓的有關(guān)知識(shí),考查學(xué)生直觀想象和邏輯推理能力.解題注意幾何條件的運(yùn)用可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.19、(1)見(jiàn)解析;(2)①;②3.385萬(wàn)元.【解析】

(1)由已知條件利用公式,求得的值,再與比較大小即可得結(jié)果;(2)根據(jù)所給的數(shù)據(jù),做出變量的平均數(shù),根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸方程上,求出的值,寫(xiě)出線性回歸方程;將代入所求線性回歸方程求出對(duì)應(yīng)的的值即可.【詳解】(1)由已知條件得:,這說(shuō)明與正相關(guān),且相關(guān)性很強(qiáng).(2)①由已知求得,所以所求回歸直線方程為.②當(dāng)時(shí),(萬(wàn)元),此時(shí)產(chǎn)品的總成本為3.385萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的求解與應(yīng)用,屬于中檔題.求回歸直線方程的步驟:①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系;②計(jì)算的值;③計(jì)算回歸系數(shù);④寫(xiě)出回歸直線方程為;回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì),利用線性回歸方程可以估計(jì)總體,幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).20、(1);(2)證明見(jiàn)解析,;(3)或.【解析】

(1)運(yùn)用數(shù)列的遞推式以及數(shù)列的和與通項(xiàng)的關(guān)系可得,再由等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式可得結(jié)果;(2)對(duì)等式兩邊除以,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,可得所求;(3)求得,由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和,可得,化簡(jiǎn),即,對(duì)任意的成立,運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性可得最大值,解不等式可得所求范圍.【詳解】(1),可得,即;時(shí),,又,相減可得,即,則;(2)證明:,可得,可得是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列,可得,即;(3),前n項(xiàng)和為,,相減可得,可得,,即為,即,對(duì)任意的成立,由,可得為遞減數(shù)列,即n=1時(shí)取得最大值1?2=?1,可得,即或.【點(diǎn)睛】“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn),利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn):①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件(一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積);②相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào);③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò);④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.21、(1)2;(2)5;(3)空白欄中填5,【解析】

(1)根據(jù)頻率等于小長(zhǎng)方形的面積以及頻率和為,得到關(guān)于的等式,求解出即可;(2)根據(jù)各組數(shù)據(jù)的組中值與頻率的乘積之和得到對(duì)應(yīng)的銷(xiāo)售收益的平均值;(3)先填寫(xiě)空白欄數(shù)據(jù),然后根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算出,即可求

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