第二章　相互作用 第11課時　動態(tài)平衡和平衡中的臨界極值問題　重難突破課

第11課時動態(tài)平衡和平衡中的臨界極值問題[重難突破課]題型一動態(tài)平衡問題方法一解析法如果物體受到多個力的作用，可進(jìn)行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，找函數(shù)關(guān)系，根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化，還可由數(shù)學(xué)知識求極值或者根據(jù)物理臨界條件求極值?！镜淅?】如圖，一昆蟲懸掛在水平樹枝下，其足的股節(jié)與基節(jié)間的夾角為θ，且六條足都處于相同的拉力下。若昆蟲稍微伸直足，則足的股節(jié)部分受到的拉力（）A.增大 B.減小C.不變 D.先減小后增大答案：B解析：設(shè)昆蟲的質(zhì)量為m，每條股節(jié)部分受到的拉力均為T，則由力的平衡條件可得6Tsinθ＝mg，解得T＝mg6sinθ，而當(dāng)昆蟲稍微伸直足時，角θ變大，因此可知足的股節(jié)部分受到的拉力T將減小，故選方法二圖解法物體受三個力作用而處于平衡狀態(tài)，一個力恒定，另一個力的方向恒定時可用此法。由三角形中邊長的變化知力的大小的變化，還可判斷出極值。一般按照以下流程解題?！镜淅?】如圖所示，半圓形框架豎直放置在粗糙的水平地面上，光滑的小球P在水平外力F的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，P與圓心O的連線與水平面的夾角為θ，將力F在豎直面內(nèi)沿順時針方向緩慢地轉(zhuǎn)過90°，框架與小球始終保持靜止?fàn)顟B(tài)。在此過程中下列說法正確的是（）A.地面對框架的摩擦力始終為零B.框架對小球的支持力先減小后增大C.拉力F的最小值為mgcosθD.框架對地面的壓力先增大后減小答案：C解析：以小球為研究對象，受力分析如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知，當(dāng)F順時針轉(zhuǎn)動至豎直向上之前，支持力逐漸減小，F(xiàn)先減小后增大，當(dāng)F的方向沿圓的切線方向向上時，F(xiàn)最小，此時為F＝mgcosθ，故B錯誤，C正確；以框架與小球組成的整體為研究對象，整體受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力F的作用；由圖可知，F(xiàn)在順時針方向轉(zhuǎn)動的過程中，F(xiàn)沿水平方向的分力逐漸減小，所以地面對框架的摩擦力始終在減小，故A錯誤；以框架與小球組成的整體為研究對象，整體受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力F的作用，由圖可知，F(xiàn)在順時針方向轉(zhuǎn)動的過程中，F(xiàn)沿豎直方向的分力逐漸增大，所以地面對框架的支持力始終在減小，框架對地面的壓力始終在減小，故D錯誤。方法三相似三角形法物體受三個力平衡，一個力恒定，另外兩個力的方向同時變化，當(dāng)所作“力的矢量三角形”與空間的某個“幾何三角形”總相似時用此法。【典例3】如圖所示，豎直墻壁O處用光滑鉸鏈鉸接一輕質(zhì)桿的一端，桿的另一端固定小球（可以看成質(zhì)點），輕繩的一端懸于P點，另一端與小球相連。已知輕質(zhì)桿長度為R，輕繩的長度為L，且R＜L＜2R。A、B是墻上兩點，且OA＝OB＝R?，F(xiàn)將輕繩的上端點P沿墻壁緩慢下移至A點，此過程中輕繩對小球的拉力F1及輕質(zhì)桿對小球的支持力F2的大小變化情況為（）A.F1和F2均增大B.F1保持不變，F(xiàn)2先增大后減小C.F1和F2均減小D.F1先減小后增大，F(xiàn)2保持不變答案：A解析：小球受重力、輕繩的拉力和輕桿的支持力，由于平衡，三個力可以構(gòu)成矢量三角形，如圖所示。根據(jù)平衡條件，該力的矢量三角形與幾何三角形POC相似，則有GPO＝F1L＝F2R，解得F1＝LPOG，F(xiàn)2＝RPOG，當(dāng)P點下移時，PO減小，L、R不變，故F1增大，題型二平衡中的臨界極值問題1.臨界問題：處于平衡狀態(tài)的物體，當(dāng)某物理量變化時會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類：①由靜止到運動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力；②繩子恰好繃緊，拉力FT＝0；③剛好離開接觸面，支持力FN＝0。2.極值問題：在力的變化過程中出現(xiàn)的最大值和最小值問題。3.解答平衡中的臨界極值問題的三種方法圖解法根據(jù)平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進(jìn)行動態(tài)分析，確定最大值和最小值函數(shù)法通過對問題分析，根據(jù)平衡條件列出物理量之間的函數(shù)關(guān)系（畫出函數(shù)圖像），用數(shù)學(xué)方法求極值（如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值）極限法正確進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找到平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中尋找，不能在一個狀態(tài)上研究臨界問題，要把某個物理量推向極大或極小【典例4】如圖所示，學(xué)校門口水平地面上有一質(zhì)量為m的石墩，石墩與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ，工作人員用輕繩按圖示方式勻速移動石墩時，兩平行輕繩與水平面間的夾角均為θ，則下列說法正確的是（）A.輕繩的合拉力大小為μmgB.輕繩的合拉力大小為μmgC.減小夾角θ，輕繩的合拉力一定減小D.輕繩的合拉力最小時，地面對石墩的摩擦力也最小答案：B解析：石墩受力如圖，設(shè)輕繩的合拉力大小為F，根據(jù)平衡條件，則Fcosθ＝Ff，F(xiàn)sinθ＋FN＝mg，且Ff＝μFN，聯(lián)立上式可知F＝μmgcosθ＋μsinθ，選項A錯誤，B正確；整理得F＝μmg1+μ2sin（θ＋β），其中tanβ＝1μ為定值，根據(jù)三角函數(shù)特點，減小θ，F(xiàn)并不一定減小，選項C錯誤；根據(jù)上述討論，當(dāng)θ＋β＝π2時，F(xiàn)最小，而摩擦力Ff＝Fcosθ＝μmgcosθcosθ＋μ1.【圖解法】如圖所示，一個重力為5N的砝碼，用細(xì)線懸掛在O點，現(xiàn)在用力F拉砝碼，使細(xì)線偏離豎直方向30°處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時所用拉力F的最小值為（）A.5.0N B.2.5NC.8.65N D.4.3N解析：B以砝碼為研究對象，分析受力情況，其受重力G、細(xì)線的拉力FT和力F，由圖看出，當(dāng)F與細(xì)線垂直時F最小，由數(shù)學(xué)知識得F的最小值為F＝Gsin30°＝2.5N，故選項B正確。2.【極限法】小朋友在玩積木時，將兩個相同的方形積木放在粗糙的水平地面上。將球形積木放在兩方形積木之間，截面圖如圖所示，接觸點分別為A、B。他發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩方形積木之間的距離大到一定程度時，球形積木放上后兩方形積木將發(fā)生滑動。已知球形積木的質(zhì)量為方形積木質(zhì)量的2倍，它們之間的摩擦忽略不計，球形積木的半徑為R，兩方形積木與地面之間的動摩擦因數(shù)均為0.5，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則球形積木放上后，要使兩方形積木不發(fā)生滑動，兩方形積木之間的最遠(yuǎn)距離為（）A.2R2C.2R D.3R解析：C以整體為研究對象進(jìn)行分析，設(shè)一個方形積木的質(zhì)量為m，地面對其的支持力為N，根據(jù)平衡條件可得2N＝4mg，則N＝2mg，當(dāng)兩方形積木的距離最遠(yuǎn)時，設(shè)OA和OB之間的夾角為2θ，此時方形積木與地面間的摩擦力達(dá)到最大，對球形積木受力分析，根據(jù)平衡條件可得2Fcosθ＝2mg，對其中一個方形積木受力分析，根據(jù)平衡條件可得Fsinθ＝μN(yùn)，聯(lián)立解得tanθ＝1，則θ＝45°，根據(jù)幾何關(guān)系可得AB之間的距離為x＝2R，故C正確，A、B、D錯誤。3.【函數(shù)法】如圖所示，質(zhì)量為M的木楔傾角為θ，在水平面上保持靜止，當(dāng)將一質(zhì)量為m的木塊放在木楔斜面上時，它正好勻速下滑。如果用與木楔斜面成α角的力F拉著木塊，木塊能勻速上升，已知木楔在整個過程中始終靜止。（1）當(dāng)α為多大時，F(xiàn)有最小值，求此時α的大小及F的最小值；（2）當(dāng)α＝θ時，木楔對水平面的摩擦力是多大？答案：（1）θmgsin2θ（2）12mgsin4解析：（1）木塊在木楔斜面上勻速下滑時，有mgsinθ＝μmgcosθ，解得μ＝tanθ。木塊在F作用下沿斜面向上勻速運動，有Fcosα＝mgsinθ＋Ff，F(xiàn)sinα＋FN＝mgcosθ，又Ff＝μFN，解得F＝2mgsinθcosα＋則當(dāng)α＝θ時，F(xiàn)有最小值，為Fmin＝mgsin2θ。（2）因為木塊及木楔均處于平衡狀態(tài)，整體受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即Ff'＝Fcos（α＋θ），當(dāng)α＝θ，即F取最小值mgsin2θ時，F(xiàn)f'＝Fmincos2θ＝mgsin2θcos2θ＝12mgsin4θ題型一動態(tài)平衡問題1.如圖所示，一只蝸牛沿著弧形菜葉從右向左緩慢爬行，下列說法正確的是（）A.菜葉對蝸牛的彈力大小一定不變B.菜葉對蝸牛的摩擦力大小先變小后變大C.蝸牛受到的合力先變小后變大D.菜葉對蝸牛的作用力大小不斷變化解析：B蝸牛受重力、支持力、摩擦力，設(shè)坡角為α，根據(jù)平衡條件可得FN＝mgcosα，F(xiàn)f＝mgsinα，由于坡角α先變小后變大，故支持力FN先增大后減小，靜摩擦力先減小后增大，故A錯誤，B正確；蝸牛緩慢爬行，則受到的合力始終為零，選項C錯誤；菜葉對蝸牛的作用力是靜摩擦力和支持力的合力，始終與重力平衡，一直不變，故D錯誤。2.（多選）2022年8月19日重慶發(fā)生森林火災(zāi)，滅火直升飛機(jī)沿水平方向勻速往返火場和取水區(qū)上空，其中貯水桶受到與運動方向相反、大小保持不變的水平風(fēng)力F。已知貯水桶（包含水）的重力為G，貯水桶受到繩子的拉力為T，繩子與豎直方向的夾角為θ，如果貯水桶總保持與直升飛機(jī)相對靜止，下列說法正確的是（）A.拉力T的大小可能等于水平風(fēng)力F的大小B.F＝GtanθC.T與G的合力與F相同D.返回取水區(qū)的過程中，夾角θ比滅火前大解析：BD對貯水桶受力分析，如圖，可知拉力T的大小T＝Fsinθ，F(xiàn)＝Gtanθ，所以拉力T的大小大于水平風(fēng)力F的大小，故A錯誤，B正確；貯水桶保持與直升飛機(jī)相對靜止，一起勻速運動，所以受平衡力，T與G的合力與F大小相等，方向相反，故C錯誤；返回取水區(qū)的過程中，貯水桶的重力減小，水平風(fēng)力不變，由tanθ＝FG，可知夾角θ比滅火前大，3.如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)的最高點有一個光滑的小孔。質(zhì)量為m的小球套在圓環(huán)上，一根細(xì)線的下端系著小球，上端穿過小孔用手拉住?，F(xiàn)拉動細(xì)線，使小球沿圓環(huán)緩慢上移，在移動過程中，手對細(xì)線的拉力F和圓環(huán)對小球的彈力FN的大小變化情況是（）A.F不變，F(xiàn)N增大 B.F不變，F(xiàn)N減小C.F減小，F(xiàn)N不變 D.F增大，F(xiàn)N減小解析：C小球沿圓環(huán)緩慢上移可看成小球始終受力平衡，對小球進(jìn)行受力分析，作出受力示意圖如圖所示，由圖可知△OAB∽△G'FA，即GR＝FAB＝FNR，當(dāng)A點上移時，半徑不變，AB長度減小，故F減小，F(xiàn)N不變4.（多選）如圖所示，靜止在水平地面上的臺秤上有一鐵架臺，小球用輕繩固定在鐵架臺的橫桿上，現(xiàn)用始終與豎直方向成45°、斜向上的拉力F將小球由最低點緩慢拉至輕繩水平。已知在拉動過程中鐵架臺與臺秤始終靜止，下列說法正確的是（）A.拉力F一直增大B.輕繩的拉力先增大后減小C.臺秤的示數(shù)先減小后增大D.臺秤所受地面的摩擦力一直增大解析：AD對小球受力分析如圖甲所示，由三角形定則和平衡條件可知，小球在上升的過程中，拉力F一直增大，輕繩的拉力先減小后增大，A正確，B錯誤；對鐵架臺和小球組成的系統(tǒng)受力分析如圖乙所示，由平衡條件可知，F(xiàn)增大時，鐵架臺受臺秤的支持力逐漸減小，摩擦力逐漸增大，由牛頓第三定律可知，臺秤的示數(shù)逐漸減小，臺秤所受地面的摩擦力一直增大，C錯誤，D正確。題型二平衡中的臨界極值問題5.某位同學(xué)用筷子將質(zhì)量分布均勻的小球夾起懸停在空中，如圖所示，已知球心O與兩根筷子在同一豎直面內(nèi)，小球質(zhì)量為0.2kg，筷子與豎直方向之間的夾角均為37°，筷子與小球表面間的動摩擦因數(shù)為0.875（最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。則每根筷子對小球的壓力至少為（）A.5N B.7.5NC.10N D.12.5N解析：C筷子對小球的壓力最小，且小球懸停在空中，此時小球有下滑的趨勢，摩擦力為最大靜摩擦力，沿筷子向上，小球受力平衡。在豎直方向上有2fcosθ－2Nsinθ＝mg，f＝μN(yùn)，解得N＝mg2（μcosθ－sinθ）＝10N，6.如圖所示，重力都為G的兩個小球A和B用三段輕繩連接后懸掛在O點上，O、B間的輕繩長度是2l，A、B間的輕繩長度是l。將一個拉力F作用到小球B上，使三段輕繩都伸直，同時O、A間和A、B間的兩段輕繩分別處于豎直和水平方向上，則拉力F的最小值為（）A.12G B.3C.G D.23解析：A對小球A受力分析可知，因O、A間輕繩豎直，則A、B間輕繩上的拉力為0。對小球B受力分析如圖所示，則可知當(dāng)F與O、B間輕繩垂直時F最小，F(xiàn)min＝Gsinθ，其中sinθ＝l2l＝12，則Fmin＝12G7.如圖所示，用方向、大小均可變化的力F抵住靠墻的質(zhì)量為m的物塊，墻與物塊之間的動摩擦因數(shù)為μ＝34，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，若要使物塊不滑下，F(xiàn)的最小值為（A.35mg B.4C.34mg D.4解析：B根據(jù)平衡條件可知，所施加的力F的方向斜向上時有最小值，設(shè)力F的方向與水平方向之間的夾角為α，則有Fsinα＋f＝mg，f＝μFcosα，整理得F＝mgsinα＋μcosα＝mg1+μ2sin（α＋φ），由數(shù)學(xué)知識可知8.（多選）如圖所示，質(zhì)量為m＝5kg的物體放在水平面上，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)μ＝33，g取10m/s2，當(dāng)物體做勻速直線運動時，下列說法正確的是（A.牽引力F的最小值為25NB.牽引力F的最小值為253C.牽引力F為最小值時與水平面的夾角為45°D.牽引力F為最小值時與水平面的夾角為30°解析：AD物體受重力G、支持力N、摩擦力f和拉力F的共同作用，將拉力沿水平方向和豎直方向分解，如圖所示。由共點力的平衡條件可知，在水平方向上有Fcosθ－μN(yùn)＝0，在豎直方向上有Fsinθ＋N－G＝0，聯(lián)立解得F＝μGcosθ＋μsinθ，設(shè)tanφ＝μ，則cosφ＝11+μ2，所以有F＝μGcos（θ－φ）·11+μ2，當(dāng)cos（θ－φ）＝1，即θ－φ＝0時，F(xiàn)取到最小值Fmin＝μG1+μ2＝25N，9.（多選）如圖所示，粗糙水平面上放著一橫截面為14圓的柱狀物體A，固定豎直擋板與A物體之間放著一橫截面為圓的光滑柱體B。系統(tǒng)平衡時，A、B兩物體的接觸點恰為14圓弧的中點，已知B物體的質(zhì)量為m，重力加速度為g，下列說法正確的是（A.豎直擋板與B物體間的彈力大小為mgB.A、B兩物體之間的彈力大小為22C.若將A稍右移并固定，豎直擋板與B間的彈力將增大D.若將A稍右移并固定，A、B之間的彈力將減小解析：AC將14圓弧面看成是傾角不同的斜面組合而成，對物體B受力分析如圖所示，由平衡條件可得N2cosθ＝mg，N1＝N2sinθ，解得N2＝mgcosθ，N1＝mgtanθ，當(dāng)A、B兩物體的接觸點恰為14圓弧的中點時，θ＝45°，此時可得N1＝mg，N2＝2mg，故A正確，B錯誤；若將A稍右移并固定，則θ角增大，可知N1、N2均增大，故C10.如圖所示，質(zhì)量為1kg的小球A與質(zhì)量未知的滑環(huán)B用繞過光滑定滑輪的不可伸長的輕繩連接，連接滑環(huán)B的繩與桿垂直并在同一豎直平面內(nèi)。滑環(huán)B套在與豎直方向成θ＝53°的粗細(xì)均勻的固定桿上，滑環(huán)和桿間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，初始時滑環(huán)恰好不下滑，現(xiàn)對小球A施加一個水平力F，使小球A在水平力F的作用下沿著1/4圓弧軌跡緩慢上移，設(shè)滑環(huán)與桿間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力（sin53°＝0.8），下列說法正確的是（）A.繩子拉力保持不變B.滑環(huán)B的質(zhì)量m＝0.5kgC.固定桿給滑環(huán)B的彈力方向垂直于桿向上D.滑環(huán)B受到的摩擦力逐漸變小解析：B對小球A施加一個水平力F，使小球A在水平力F的作用下沿著1/4圓弧軌跡緩慢上移，在圓周上任一位置時，根據(jù)平衡條件可得，繩的拉力為T＝m'gcosα，外力F為F＝m'gtanα，小球A沿著1/4圓弧軌跡緩慢上移，α增大，可知拉力T和外力F均增大，故A錯誤；初始時，繩的拉力在A點為T1＝m'g，初始時滑環(huán)恰好不下滑，對B由平衡條件得mgcos53°＝μN(yùn)，T1＝N＋mgsin53°，解得m＝0.5kg，故B正確；由于繩的拉力增大，開始時T1＝N＋mgsinθ，由于拉力T1增大，則N垂直于桿向下且增大，故C錯誤；由于N增大，所以B保持靜止，則f＝mgcosθ，可知摩擦力大小不變11.如圖所示，一可視為質(zhì)點的小球用兩根不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線OA和OB連接后掛在天花板和墻上，AOM水平，OB傾斜，ON豎直，A、B、O、M、N各點在同一豎直平面內(nèi)?，F(xiàn)對小球施加一大小恒定、方向由OM逐漸變化至ON方向的力F，則此過程中，兩細(xì)線上的拉力大小變化情況為（）A.細(xì)線OA上的拉力先增大后減小B.細(xì)線OA上的拉力一直減小C.細(xì)線OB上的拉