第五章　萬有引力與宇宙航行章末教考銜接教師用

一、黑洞問題【真題1】（2021·全國乙卷5題）科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示?？茖W家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU（太陽到地球的距離為1AU）的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為（）A.4×104M B.4×106MC.4×108M D.4×1010M解析：BS2繞黑洞做橢圓運動，其運動周期與繞黑洞做半徑為1000Au的圓周運動的周期相同。由題圖可知，S2繞黑洞的周期T＝16年，地球的公轉(zhuǎn)周期T0＝1年，S2繞黑洞做圓周運動的半徑r與地球繞太陽做圓周運動的半徑R關系是r＝1000R。地球繞太陽的向心力由太陽對地球的引力提供，由向心力公式可知GMmR2＝mRω2＝mR2πT02，解得太陽的質(zhì)量為M＝4π2R3GT02，同理S2繞黑洞的向心力由黑洞對它的萬有引力提供，由向心力公式可知GMxm'r2＝m'rω2＝m'r2π【真題2】（2023·湖南高考4題）根據(jù)宇宙大爆炸理論，密度較大區(qū)域的物質(zhì)在萬有引力作用下，不斷聚集可能形成恒星。恒星最終的歸宿與其質(zhì)量有關，如果質(zhì)量為太陽質(zhì)量的1～8倍將坍縮成白矮星，質(zhì)量為太陽質(zhì)量的10～20倍將坍縮成中子星，質(zhì)量更大的恒星將坍縮成黑洞。設恒星坍縮前后可看成質(zhì)量均勻分布的球體，質(zhì)量不變，體積縮小，自轉(zhuǎn)變快。不考慮恒星與其他物體的相互作用。已知逃逸速度為第一宇宙速度的2倍，中子星密度大于白矮星。根據(jù)萬有引力理論，下列說法正確的是（）A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同B.恒星坍縮后表面兩極處的重力加速度比坍縮前的大C.恒星坍縮前后的第一宇宙速度不變D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度解析：B恒星自轉(zhuǎn)萬有引力F有兩個效果自轉(zhuǎn)效果：從赤道到兩極F向↓，mg↑，A錯誤；兩極g極＝GMR2R↓，g極↑，B正確；第一宇宙速度v＝GMRv↑，C錯誤；逃逸速度v'＝2v＝2GMRv'＝323π人教版教材必修第二冊P64“科學漫步”第一宇宙速度又叫作環(huán)繞速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理論分析表明，逃逸速度是環(huán)繞速度的2倍，即v'＝2GmR。這個關系對于其他天體也是正確的。由此可知，天體的質(zhì)量m越大，半徑R越小，逃逸速度也就越大，也就是說有些恒星，在它一生的最后階段，強大的引力把其中的物質(zhì)緊緊地壓在一起，密度極大，每立方厘米的質(zhì)量可達數(shù)噸。它們的質(zhì)量非常大，半徑又非常小，其逃逸速度非常大。于是，我們自然要想，會不會有這樣的天體，它的質(zhì)量更大、半徑更小，逃逸速度更大，以3×108m/s的速度傳播的光都不能逃逸？如果宇宙中真的存在這種天體，即使它確實在發(fā)光，光也不能進入太空，我們也根本看不到它。這種天體稱為黑洞。銜接分析：人教版教材必修第二冊P64“科學漫步”講了恒星發(fā)展的最后階段變?yōu)楹诙矗?×108m/s運行的光都無法逃逸。2021年全國乙卷和2023年湖南高考題均以“黑洞”為背景，考查萬有引力定律的應用。二、行星沖日問題【真題3】（多選）（2022·湖南高考8題）如圖，火星與地球近似在同一平面內(nèi)。繞太陽沿同一方向做勻速圓周運動，火星的軌道半徑大約是地球的1.5倍。地球上的觀測者在大多數(shù)的時間內(nèi)觀測到火星相對于恒星背景由西向東運動，稱為順行；有時觀測到火星由東向西運動，稱為逆行。當火星、地球、太陽三者在同一直線上，且太陽和火星位于地球兩側(cè)時，稱為火星沖日。忽略地球自轉(zhuǎn)，只考慮太陽對行星的引力，下列說法正確的是（）A.火星的公轉(zhuǎn)周期大約是地球的827B.在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為順行C.在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為逆行D.在沖日處，火星相對于地球的速度最小解析：CD由開普勒第三定律可知，由于火星軌道半徑大于地球軌道半徑，所以火星公轉(zhuǎn)周期一定大于地球公轉(zhuǎn)周期（也可根據(jù)r地3T地2＝r火3T火2，r火≈1.5r地，得出T火＝278T地），A錯誤；火星與地球均繞太陽做勻速圓周運動，即GMmr2＝mv2r，解得v＝GMr地球運行的線速度大小不變，且在沖日處，地球與火星速度方向相同，故此時火星相對于地球的速度最小，D正確。【真題4】（2023·湖北高考2題）2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫鎯?nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為3∶2，如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出（）A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8B.當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4D.下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之前解析：B由題意得火星和地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動，根據(jù)開普勒第三定律得T火T地＝r火r地3＝278，A錯誤；當火星與地球相距最遠時，火星和地球分居太陽兩側(cè)，兩者的速度方向相反，故地球和火星相對速度最大，B正確；忽略天體自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響，根據(jù)物體在天體表面所受的重力等于萬有引力得g＝GMR2，根據(jù)題目中所給條件無法計算出比例關系，C錯誤；設經(jīng)過時間t會再次出現(xiàn)“火星沖日”，地球比火星多運動一周，則tT地－tT火人教版教材必修第二冊P72“復習與提高”B組第6題太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。當?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，天文學稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示。根據(jù)題中信息，試計算木星相鄰兩次沖日的時間間隔，哪顆地外行星相鄰兩次沖日的時間間隔最短？軌道半徑R/AU地球1.0火星1.5木星5.2土星9.5天王星19海王星30銜接分析：人教版教材必修第二冊P72“復習與提高”B組第6題以行星運行為背景，解決木星沖日問題。2022年湖南高考題和2023年湖北高考題也是以行星運行為背景，解決火星沖日問題，解題的思路和應用的規(guī)律相同，但高考題所涉及的問題多，考查點更加全面。1.2020年諾貝爾物理學獎授予對黑洞的研究和觀測作出貢獻的三位科學家?？茖W家團隊經(jīng)過數(shù)十年對銀河系中心人馬座A*的觀測，發(fā)現(xiàn)數(shù)十顆恒星以極不尋常的軌道圍繞銀河系中心運行，以此推測銀河系中心存在一個超大質(zhì)量黑洞。恒星S2運行軌道為橢圓，黑洞位于橢圓軌道的一個焦點上，恒星S2繞黑洞運行一周需要16年，離黑洞中心的最近距離為120天文單位，橢圓軌道半長軸長為970天文單位（設地球繞太陽做圓周運動的軌道半徑為1天文單位），恒星S2最大運行速度約為7000km/s。假設黑洞對其周圍的恒星的引力作用也遵循萬有引力定律，不考慮恒星之間的相互作用。下列推測合理的是（）A.恒星S2最小運行速度約為462km/sB.黑洞質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的200萬到300萬倍C.可以推測出恒星S2的質(zhì)量D.恒星S2運行的最大加速度小于地球繞太陽運行的加速度解析：A根據(jù)開普勒第二定律有v近r近＝v遠r遠，其中r遠＝1820天文單位，可得v遠≈462km/s，A正確；由開普勒第三定律可知，恒星S2的運行周期約等于半長軸為r的恒星繞黑洞做圓周運動的周期，有GM黑m恒r2＝m恒2πT2r，對繞太陽做圓周運動的地球有GM日m地r地2＝m地2πT地2r地，可得M黑M日＝r3T地2r地3T2＝9703×1213×162≈3.6×106，B錯誤；由以上分析可知，不能推測出恒星S2的質(zhì)量，C2.2022年11月9日發(fā)生了天王星沖日現(xiàn)象，即天王星和太陽正好分處在地球的兩側(cè)，三者幾乎成一條直線，此時是觀察天王星的最佳時間，已知此時地球到天王星和太陽的距離分別為（N－1）r、r，地球的公轉(zhuǎn)周期為T，則天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為（）A.NNN－1TC.NNNN－1解析：C根據(jù)開普勒第三定律可得T天2T2＝（Nr）3r3，則天王星公轉(zhuǎn)周期約為T天＝（Nr）3r3T＝NNT，設天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為t，則3.當?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且三者幾乎排成一條直線時，稱之為“木星沖日”，若2022年9月26日出現(xiàn)一次“木星沖日”。已知木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運動，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍。則下列說法正確的是（）A.下一次的“木星沖日”時間肯定在2024年B.下一次的“木星沖日”時間肯定在2023年C.木星運行的加速度比地球的大D.木星運行的周期比地球的小解析：B設行星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，周期為T，加速度為a，太陽質(zhì)量為M。對行星由牛頓第二定律可得GMm