函數(shù)的奇偶性、周期性課件-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第二章函數(shù)的概念與性質(zhì)第3課時函數(shù)的奇偶性、周期性考試要求了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.會依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡單的應(yīng)用．鏈接教材夯基固本第3課時函數(shù)的奇偶性、周期性1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于___對稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且_______________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于____對稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點2．周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有_____________，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個____的正數(shù)，那么這個________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小正數(shù)[常用結(jié)論]1．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0．如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(2)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．

一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)． (

)(2)存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)． (

)(3)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點． (

)(4)若函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)． (

)×√×√

2．(人教A版必修第一冊P203練習(xí)T4改編)若f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2)時，f(x)＝2－x，則f(2025)＝________．

3．(人教A版必修第一冊P86習(xí)題3.2T11改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x－2x＋a，則a＝____；當(dāng)x<0時，f(x)＝______________．－1－2－x－2x＋1

[∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.∴當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x－2x－1，設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1．]4．(人教A版必修第一冊P85練習(xí)T1改編)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為______________．(－2，0)∪(2，5]

[由題圖可知，當(dāng)0<x<2時，f(x)>0；當(dāng)2<x≤5時，f(x)<0，又f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)－2<x<0時，f(x)<0，當(dāng)－5≤x<－2時，f(x)>0.綜上，f(x)<0的解集為(－2，0)∪(2，5].]－1－2－x－2x＋1(－2，0)∪(2，5]典例精研核心考點第3課時函數(shù)的奇偶性、周期性

名師點評

判斷函數(shù)奇偶性的兩個必備條件及方法(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先判斷函數(shù)的定義域是不是關(guān)于原點對稱；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．(3)判斷函數(shù)奇偶性的方法：①定義法；②圖象法．

名師點評

(1)選擇、填空題中，已知奇偶性求參數(shù)值，可采用特值法，如f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)．(2)利用奇偶性求解析式，求誰設(shè)誰，自變量轉(zhuǎn)移．

名師點評

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)值或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合圖象直觀求解相關(guān)問題．

5

2【教師備選資源】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，則下列是周期函數(shù)的是(

)A．y＝f(x)－x

B．y＝f(x)＋xC．y＝f(x)－2x

D．y＝f(x)＋2xD

[依題意，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期為1的周期函數(shù)．故選D.]名師點評

利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題；利用函數(shù)的周期性，能實現(xiàn)自變量的轉(zhuǎn)移，把自變量大化?。甗跟進(jìn)訓(xùn)練]3．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)＝2x－x2.(1)f(x)的最小正周期是_____；(2)當(dāng)x∈[2，4]時，f(x)＝___________；(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝____．4x2－6x＋80(1)4

(2)x2－6x＋8

(3)0

[(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)當(dāng)x∈[－2，0]時，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又當(dāng)x∈[2，4]時，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.即當(dāng)x∈[2，4]時，f(x)＝x2－6x＋8.(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且