廣東省深圳市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題（教師版）

2023年深圳市普通高中高二年級調研考試數(shù)學本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生請務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據集合交集的概念與運算，準確運算，即可求解.【詳解】由集合，根據集合交集的概念與運算，可得.故選：B.2.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)除法運算求出，再利用共軛復數(shù)的定義求解作答.【詳解】依題意，，所以的共軛復數(shù).故選：C3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式，結合平方關系轉化為關于的二次齊次式，再化為，代入求值.【詳解】.故選：A．4.已知，若，則（）A.1 B.-1 C.4 D.-4【答案】C【解析】【分析】運用平面向量平行的坐標公式計算即可.【詳解】因為，所以，解得：.故選：C.5.白酒又名燒酒?白干，是世界六大蒸餾酒之一，據《本草綱目》記載：“燒酒非古法也，自元時創(chuàng)始，其法用濃酒和糟入甑（蒸鍋），蒸令氣上，用器承滴露”，而飲用白酒則有專門的白酒杯，圖1是某白酒杯，可將它近似的看成一個圓柱挖去一個圓臺構成的組合體，圖2是其直觀圖（圖中數(shù)據的單位為厘米），則該組合體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求解圓柱部分與圓臺部分的體積，即可得該組合體的體積.【詳解】由題可知圓柱部分的底面半徑，高為，所以圓柱的體積為，圓臺部分上底面半徑為，下底面半徑為，高為，所以圓臺部分體積為，則該組合體的體積為.故選：D.6.已知正實數(shù)m，n滿足，則下列不等式恒成立的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式逐一分析判斷即可.【詳解】對于A，，當且僅當時，取等號，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故B錯誤；對于C，，當且僅當，即時，取等號，所以，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故D錯誤.故選：C.7.已知橢圓的右焦點為，過原點的直線與交于兩點，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可得四邊形為矩形，再根據橢圓的定義求出，再利用勾股定理構造齊次式即可得解.【詳解】如圖，設橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可得，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，所以，由，得，又，所以，在中，由，得，即，所以，即的離心率為.故選：A.8.已知點在直線上運動，若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，則點的軌跡長度為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】求出曲線的導函數(shù)，得到的表達式，構造新函數(shù)，得出單調性，即可求出點的軌跡長度.【詳解】由題意，設點，過點的直線與曲線相切于點，∴，的方程為，∴，化簡得，設，∴在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，∵若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，，∴滿足條件的恰有三個，∴，即，∴點的軌跡長度為8.故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某校舉辦數(shù)學文化節(jié)活動，10名教師組成評委小組，給參加數(shù)學演講比賽的選手打分.已知各位評委對某名選手的打分如下：則下列結論正確的為（）A.平均數(shù)為48 B.極差為9C.中位數(shù)為47 D.第75百分位數(shù)為51【答案】BC【解析】【分析】運用平均數(shù)、極差、中位數(shù)及百分位數(shù)的公式計算即可.【詳解】對于A項，平均數(shù)為，故A項錯誤；對于B項，極差為，故B項正確；對于C項，這組數(shù)從小到大排序：、、、、、、、、、，所以中位數(shù)為.故C項正確；對于D項，因為，所以第75百分位數(shù)為49.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，則（）A.B.在區(qū)間單調遞減C.在區(qū)間恰有一個極大值點D.在區(qū)間有兩個零點【答案】AC【解析】【分析】根據余弦函數(shù)的對稱性求得的值，從而可確定函數(shù)的解析式，根據余弦型函數(shù)的取值、單調性、極值、零點逐項判斷即可得答案.【詳解】函數(shù)關于直線對稱，所以，解得，因為，所以．所以．則，故A正確；當時，則，所以函數(shù)在區(qū)間上先增后減，故B不正確；令，則，又，所以可得是函數(shù)的極大值點，即在區(qū)間恰有一個極大值點，故C正確；令，則，又，所以可得是函數(shù)的零點，即在區(qū)間恰有一個零點，故D不正確.故選：AC.11.已知拋物線的焦點為，準線為，過的一條直線與交于，兩點，若點在上運動，則（）A.當時，B.當時，C.當時，三點的縱坐標成等差數(shù)列D.當時，【答案】ACD【解析】【分析】由拋物線的定義可判斷A項，聯(lián)立直線AB方程與拋物線方程求得、，進而可求得可判斷B項，由直角三角形性質及拋物線的定義可判斷C項，設出點M坐標，計算可得，可得，運用等面積法、直角三角形性質及基本不等式可判斷D項.【詳解】對于選項A：如圖所示，由拋物線定義可知，若，則，故選項A正確；對于選項B：如圖所示，當時，為正三角形，所以直線的傾斜角為，設直線的方程為，由可得，，所以，故選項B錯誤；對于選項C：過點作直線垂直于，垂足分別為，作的中點N，如圖所示，由選項B可知，又因為，所以，由拋物線定義可知，所以，所以M為的中點，所以三點的縱坐標成等差數(shù)列，故選項正確；對于選項D：如圖所示，設，直線的斜率為，直線的斜率為，則，由B項可知，由選項C可知，所以，所以，所以，又因為，所以，且，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立.故選項D正確.故選：ACD.12.在四面體中，有四條棱的長度為1，兩條棱的長度為，則（）A.當時，B.當時，四面體的外接球的表面積為C.的取值范圍為D.四面體體積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對于選項A，取中點，通過證明平面，即可得到，從而判斷出選項的正誤；對于選項B，根據條件，將四面體放置到長方體中，轉化成求長方體的外接球，再根據條件即可求出結果；對于選項C，分兩種情況討論：或，再利用構成三角形的條件，即可求出的范圍，從而判斷出結果的正誤；對于選項D，分兩種情況討論：或，分別求出四面體的體積，再進行比較即可得出結果.【詳解】選項，當時，易知與分別為等腰三角形、等邊三角形，如圖1，作中點，，因為，平面，所以平面，又平面，所以，故選項正確；選項，當時，易知四面體的所有對棱相等，如圖2，可將四面體補為長方體，其中四面體的各條棱為該長方體各面的對角線，所以四面體的外接球即為該長方體的外接球，易知長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，設該長方體的三條棱的長度分別為，則，將三式相加可得，得到外接球的半徑為，所以四面體的外接球的表面積為，故選項B正確；選項C，由上分析知：四面體有兩種情況，不妨假設情況如下，當時，作的中點，則在中，由三角形性質可得，得到；當時，作的中點，則在中由三角形性質可知，得到，所以，故選項錯誤；選項D，當時，若四面體的體積最大，則底面上的高為1，即平面，此時四面體體積的最大值為，當時，由C分析知：，則的面積為，四面體體積為，當且僅當，即時取等號，又，所以四面體體積的最大值為，故選項D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中常數(shù)項是___________（用數(shù)字作答）【答案】15【解析】【分析】根據二項式寫出展開式通項，并確定常數(shù)項對應r值，即可得常數(shù)項.【詳解】展開式的通項，令，解得，所以常數(shù)項是.故答案為：1514.記為等比數(shù)列的前項和，若，，則__________.【答案】【解析】【分析】先由，求出等比數(shù)列的首項和公比，即可得解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由，即，解得，所以.故答案為：15.已知定義在上的函數(shù)，滿足，當時，，若方程在區(qū)間內有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】分別求出，，的解析式，畫出的圖象，由圖象即可求解.【詳解】當時，則，所以，即，當時，則，所以，即，則，當時，則，所以，即，畫出的圖象如下：由圖象可知，當時，方程在區(qū)間內有實數(shù)解，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：16.已知線段是圓上的一條動弦，且，設點為坐標原點，則的最大值為__________；如果直線與相交于點，則的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】綜合應用直線與圓、圓與圓的位置關系和平面向量的數(shù)量積等知識即可解決問題.【詳解】設為中點，則，點的軌跡方程為，，則最大值為，由直線，，可得且過定點過定點，點的軌跡是以為直徑端點的圓，其方程為，，，，，的最小值為.故答案為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據遞推關系，證明常數(shù)即可；（2）求出的通項公式，運用裂項相消法求解.【小問1詳解】，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，，則；【小問2詳解】，，；綜上，，.18.記的內角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理進行變化角處理，再結合三角恒等變換，從而求得角的大??；（2）結合余弦定理與已知，可求得值，再根據面積公式即可求得的面積.【小問1詳解】由正弦定理及，得，又，，，.【小問2詳解】記的面積為，由余弦定理，及，可得，將代入上式，得，故，.19.如圖，已知三棱錐的三個頂點在圓上，為圓的直徑，是邊長為2的正三角形，且平面平面.（1）證明：平面平面；（2）若，點為的中點，點為圓上一點，且與位于直徑的兩側，當平面時，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）只要證明平面PAC即可；（2）建立空間直角坐標系，運用空間向量求解.【小問1詳解】的中點為等邊三角形，，平面平面，平面平面平面，平面，為圓的直徑，，又平面PAC，平面，平面PAC；平面平面平面；【小問2詳解】連接OE，OF，由三角形中位線的性質可知，又平面平面平面，平面平面平面，平面平面，平面平面，由題可知，則，取中點，連接，則平面平面，由（1）可知平面，即PM，MO，AC兩兩垂直，以M為原點，如下圖：建立空間直角坐標系，，，設平面的一個法向量，則，即，令，則，由（1）可知平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則，平面與平面的夾角的余弦值為.20.甲參加某多輪趣味游戲，在兩個不透明的盒內摸球.規(guī)定在一輪游戲中甲先在盒內隨機取出1個小球放入盒，再在盒內陏機取出2個小球，若每輪游戲的結果相互獨立，且每輪游戲開始前，兩盒內小球的數(shù)量始終如下表（小球除顏色外大小質地完全相同）：紅球藍球白球盒221盒221（1）求在一輪游戲中甲從兩盒內取出小球均為白球的概率；（2）已知每輪游戲的得分規(guī)則為：若從盒內取出的小球均為紅球，則甲獲得5分；若從盒內取出的小球中只有1個紅球，則甲獲得3分；若從盒內取出的小球沒有紅球，則甲獲得1分.（i）記甲在一輪游戲中的得分為，求的分布列；（ii）假設甲共參加了5輪游戲，記5輪游戲甲的總得分為，求.【答案】（1）（2）（i）分布列見解析；（ii）【解析】【分析】（1）記“在一輪游戲中甲從兩盒內取出的小球均為白球”為事件，求得，即可求解；（2）（i）由題意得到隨機變量可以取，求得相應的概率，列出分布列；（ii）由（i）求得期望，結合每輪游戲的結果相互獨立，進而得到.【小問1詳解】解：記“在一輪游戲中甲從兩盒內取出的小球均為白球”為事件，所以由條件概率可知，所以在一輪游戲中甲從兩盒內取出的小球均為白球的概率為.【小問2詳解】解：（i）由題意，可知隨機變量可以取，可得，，，所以隨機變量的分布列為135（ii）由（i）可知，因為每輪游戲的結果相互獨立，且甲共參加了5輪游戲，所以.21.已知.（1）當時，討論的單調性；（2）若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導后，分、兩種情況討論求解即可；（2）由得，法一：令，求導得，當時，不滿足條件，當時，令，通過隱零點可求解；法二：由題意可得，令，求導得，再，求導后結合隱零點可求解；法三：先證明不等式（等號在時取得）成立，再通過放縮可求解.【小問1詳解】，當時，由，解得，由，解得，當時，由，解得，由，解得，當時，的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為，當時，的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.【小問2詳解】由，得，①（法一）令，則，當時，不滿足條件，不成立，當時，令，則，則在上單調遞增，且，，使得，即，當時，，即，當時，，即，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，則當時，取得最小值，由，取對數(shù)得，則，要使不等式①恒成立，需，解得，實數(shù)的取值范圍是.（法二）由（1）解得，令，則，令在區(qū)間上單調遞減，，，使得，即，且當時，，即，當時，，即，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則當時，取得最大值，由，得，則，實數(shù)的取值范圍是.（方法三）先證明不等式（等號在時取得）成立，設，則，當時，時，，，即不等式成立，則，令在區(qū)間上單調遞減，，，使得，即，即存在實數(shù)使得成立，則上式等號能夠取得，的最大值為，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．3、根據恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易