2024年新高考數(shù)學(xué)押題密卷（一）

2024年新高考數(shù)學(xué)押題密卷（一）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．2．已知兩條不同的直線，表示三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．與平行或相交C． D．3．已知一組數(shù)據(jù)：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，將剩下的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，則（

）A．極差不變 B．平均數(shù)不變 C．方差不變 D．上四分位數(shù)不變4．設(shè)圓和不過(guò)第三象限的直線，若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．4 C．26 D．415．在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是，在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．108186．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，則能使同時(shí)滿足條件的三角形不唯一的a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，P為C上一點(diǎn)，以為直徑的圓與C的兩條漸近線相交于異于點(diǎn)O的M，N兩點(diǎn).若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．8．定義，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)，是關(guān)于的方程的兩根，其中，.若為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)（），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是的圖像的對(duì)稱中心B．若恒成立，則的最小值為2C．若在上單調(diào)遞增，則D．若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則11．設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，若是奇函數(shù)，且對(duì)于任意的，，則對(duì)于任意的，下列說(shuō)法正確的是（

）A．都是的周期 B．曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．曲線關(guān)于直線對(duì)稱 D．都是偶函數(shù)第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為.13．向量滿足，，，則的最大值為.14．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個(gè)球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對(duì)應(yīng)的球缺的體積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為，體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，面，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上（異于點(diǎn)），且，求直線與平面所成角的余弦值．17．（15分）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷(xiāo)售手段，目前已被廣大消費(fèi)者所接受.針對(duì)這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個(gè)月的帶貨金額的統(tǒng)計(jì)表（金額（萬(wàn)元））.月份1月2月3月4月5月月份編號(hào)12345金額（萬(wàn)元）712131924(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，①求該公司帶貨金額的平均值；②求該公司帶貨金額與月份編號(hào)的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系（，則認(rèn)為與的線性相關(guān)性較強(qiáng)；，則認(rèn)為與的線性相關(guān)性較弱）；(2)該公司現(xiàn)有一個(gè)直播間銷(xiāo)售甲、乙兩種產(chǎn)品.為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲、乙兩種產(chǎn)品中分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進(jìn)行初檢，再?gòu)闹须S機(jī)選取3件做進(jìn)一步的質(zhì)檢，記抽到甲產(chǎn)品的件數(shù)為，試求的分布列與期望.附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：，，，.18．（17分）已知橢圓離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是.(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，，且與相交于點(diǎn).①若點(diǎn)的坐標(biāo)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，求的斜率;②若直線與的斜率均為時(shí)，求直線的斜率.19．（17分）數(shù)列滿足：是等比數(shù)列，，且．(1)求；(2)求集合中所有元素的和；(3)對(duì)數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試分別判斷數(shù)列是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”．若是，求出所有的值；若不是，說(shuō)明理由．2024年新高考數(shù)學(xué)押題密卷（一）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由韋恩圖可知，陰影部分表示，，所以.故選：C.2．已知兩條不同的直線，表示三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．與平行或相交C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，若，則或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則平行或相交，故B正確；對(duì)于C，若，則，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則或相交，可參考直三棱柱的三個(gè)側(cè)面，故D錯(cuò)誤；故選：B.3．已知一組數(shù)據(jù)：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，將剩下的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，則（

）A．極差不變 B．平均數(shù)不變 C．方差不變 D．上四分位數(shù)不變【答案】D【解析】在這組數(shù)據(jù)：12，16，22，24，25，31，33，35，45中去掉12和45后，得到16，22，24，25，31，33，35，顯然極差由變成了，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；原平均數(shù)為，現(xiàn)平均數(shù)為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；原方差為，現(xiàn)方差為，顯然方差不同，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由，知原數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是第三個(gè)數(shù)據(jù)22，又由，知現(xiàn)數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是第二個(gè)數(shù)據(jù)22，即D項(xiàng)正確.故選：D.4．設(shè)圓和不過(guò)第三象限的直線，若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．4 C．26 D．41【答案】C【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，因?yàn)閳A上恰有三點(diǎn)到直線的距離為，所以圓心到直線的距離，解得或，又直線不過(guò)第三象限，則，解得，所以.故選：C5．在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是，在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【答案】C【解析】設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為米，則寬為米，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以平整這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用為元.故選：C6．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，則能使同時(shí)滿足條件的三角形不唯一的a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t，要使?jié)M足條件的三角形不唯一，則，即.故選：A.7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，P為C上一點(diǎn)，以為直徑的圓與C的兩條漸近線相交于異于點(diǎn)O的M，N兩點(diǎn).若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，有，即，由題意可得、，漸近線方程為，故，又，故，則，即，解得或，則或，由，故，，即，則.故選：B.8．定義，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，得，設(shè)，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，得，所以，得，即.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)，是關(guān)于的方程的兩根，其中，.若為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因?yàn)椋顷P(guān)于的方程的兩根，其中，且，所以，所以，所以，，所以，則，故A錯(cuò)誤，B正確，C正確；，故D正確.故選：BCD10．已知函數(shù)（），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是的圖像的對(duì)稱中心B．若恒成立，則的最小值為2C．若在上單調(diào)遞增，則D．若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A：若，則，由正弦函數(shù)的圖象可知是的圖像的對(duì)稱中心，A說(shuō)法正確；選項(xiàng)B：若恒成立，則，解得，又，所以的最小值為2，B說(shuō)法正確；選項(xiàng)C：令，顯然在上單調(diào)遞增，且，若在上單調(diào)遞增，則，解得，所以，C說(shuō)法正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，D說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：ABC11．設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，若是奇函數(shù)，且對(duì)于任意的，，則對(duì)于任意的，下列說(shuō)法正確的是（

）A．都是的周期 B．曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．曲線關(guān)于直線對(duì)稱 D．都是偶函數(shù)【答案】BC【解析】由是奇函數(shù)，故有，即有，故，則，即，故關(guān)于對(duì)稱，由，則，即，故關(guān)于中心對(duì)稱，由，則，又，故，即有，則，故，即，故，故周期為.對(duì)A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由周期為，故，又，故，故，故曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)C：由周期為，故，又，故，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)D：由B得，故，又周期為，故有，故，又，即都是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為.【答案】【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)通項(xiàng)公式為，的展開(kāi)通項(xiàng)公式為，所以取，得的系數(shù)為.故答案為：.13．向量滿足，，，則的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，則，則，所以，又因?yàn)椋?，則可設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，故又可設(shè)的坐標(biāo)為，所以，因此，所以最大值為.故答案為：.14．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個(gè)球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對(duì)應(yīng)的球缺的體積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為，體積為.

【答案】【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)圓的半徑為，又，解得（負(fù)值舍去），過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，，所以，同理可得，，將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑的球中上下截去兩個(gè)球缺所剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐，其中球缺的高，圓錐的高，底面半徑，則其中一個(gè)球冠的表面積，球的表面積，圓錐的側(cè)面積，所以幾何體的表面積，又其中一個(gè)球缺的體積，圓錐的體積，球的體積，所以幾何體的體積.故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，面，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上（異于點(diǎn)），且，求直線與平面所成角的余弦值．【解析】（1）因?yàn)?，點(diǎn)為中點(diǎn)，則因?yàn)槊?，面，所以面面，又底面為矩形，則，因?yàn)槊婷妫?，所以面，所以，因?yàn)椋?，所以面，又面，所以；?）由已知得兩兩垂直，設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得又，設(shè)，即，所以，又，所以，解得或（舍去），所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的余弦值為.17．（15分）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷(xiāo)售手段，目前已被廣大消費(fèi)者所接受.針對(duì)這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個(gè)月的帶貨金額的統(tǒng)計(jì)表（金額（萬(wàn)元））.月份1月2月3月4月5月月份編號(hào)12345金額（萬(wàn)元）712131924(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，①求該公司帶貨金額的平均值；②求該公司帶貨金額與月份編號(hào)的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系（，則認(rèn)為與的線性相關(guān)性較強(qiáng)；，則認(rèn)為與的線性相關(guān)性較弱）；(2)該公司現(xiàn)有一個(gè)直播間銷(xiāo)售甲、乙兩種產(chǎn)品.為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲、乙兩種產(chǎn)品中分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進(jìn)行初檢，再?gòu)闹须S機(jī)選取3件做進(jìn)一步的質(zhì)檢，記抽到甲產(chǎn)品的件數(shù)為，試求的分布列與期望.附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：，，，.【解析】（1）①由統(tǒng)計(jì)表數(shù)據(jù)可得：，②由于，，，所以相關(guān)系數(shù)，因此，兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.（2）由題意知，的可能取值為0，1，2，3，因?yàn)?，，，，所以的分布列為?123所以.18．（17分）已知橢圓離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是.(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上有四