2025屆海南省嘉積中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

2025屆海南省嘉積中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末考試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知銳角滿足，則（）A． B． C． D．2．要得到函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個(gè)長度單位 B．向左平移個(gè)長度單位C．向右平移個(gè)長度單位 D．向左平移個(gè)長度單位3．把函數(shù)的圖象經(jīng)過變化而得到的圖象，這個(gè)變化是（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位4．已知，所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則A．f（x）的最小正周期為π B．f（x）為偶函數(shù)C．f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．為奇函數(shù)6．已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為的正方形，則這個(gè)圓柱的體積是（）A． B． C． D．7．已知在中，為線段上一點(diǎn)，且，若，則（）A． B． C． D．8．將一邊長為2的正方形沿對(duì)角線折起，若頂點(diǎn)落在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知，函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則可能的值為（）A． B． C． D．10．橢圓中以點(diǎn)M(1，2)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則=_________12．設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）.若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為_________.13．直線與間的距離為________．14．．已知，若是以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則的面積為．15．已知數(shù)列為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則使不等式成立的最大正整數(shù)n的值是_______．16．若則的最小值是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）計(jì)算：;（2）化簡：.18．已知數(shù)列{an}中，a1＝1且an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2（n≥2，n∈N*）.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：（2）若對(duì)任意的n∈N*，不等式1≤man≤5恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.(1)設(shè)年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？20．已知數(shù)列滿足,,,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)證明:.21．在等差數(shù)列中，已知,.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)為銳角可求得，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值可知，從而得到，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】，又，即本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的求解問題，關(guān)鍵是能夠熟悉特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)角的范圍確定特殊角的取值.2、D【解析】

根據(jù)的圖像變換規(guī)律求解即可【詳解】設(shè)平移量為，則由，滿足：，故由向左平移個(gè)長度單位可得到故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】

試題分析：，與比較可知：只需將向右平移個(gè)單位即可考點(diǎn)：三角函數(shù)化簡與平移4、D【解析】

由平面向量基本定理及單位向量可得點(diǎn)在的外角平分線上，且點(diǎn)在的外角平分線上，，，在中，由正弦定理得得解．【詳解】因?yàn)樗裕驗(yàn)榉较驗(yàn)橥饨瞧椒志€方向，所以點(diǎn)在的外角平分線上，同理，點(diǎn)在的外角平分線上，，，在中，由正弦定理得，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理及單位向量，考查向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．5、C【解析】對(duì)于函數(shù)，它的最小正周期為=4π，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)f（x）不滿足f（–x）=f（x），故f（x）不是偶函數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令x=，可得f（x）=sin0=0，故f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱，C正確；由于f（x–）=sin（x–）=–sin（x）=–cos（x）為偶函數(shù)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C．6、A【解析】

由已知易得圓柱的高為，底面圓周長為，求出半徑進(jìn)而求得底面圓半徑即可求出圓柱體積?！驹斀狻康酌鎴A周長，，所以故選：A【點(diǎn)睛】此題考查圓柱的側(cè)面展開為長方形，長為底面圓周長，寬為圓柱高，屬于簡單題目。7、C【解析】

首先，由已知條件可知，再有，這樣可用表示出．【詳解】∵，∴，，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，解題時(shí)用向量加減法表示出，然后用基底表示即可．8、D【解析】

令正方形對(duì)角線與的交點(diǎn)為，如圖所示：由正方形中，,則，那么,將正方形沿對(duì)角線折起，如圖所示：則點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，且半徑為，故外接球的表面積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的外接球問題以及球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

直接利用三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：由函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率．【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得，兩式相減得，即，即，即，即，∴弦所在的直線的斜率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓的關(guān)系．在解決弦長的中點(diǎn)問題，涉及到“中點(diǎn)與斜率”時(shí)常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

∵，∴∴=1×[+]=1．故答案為：1．12、【解析】

由在區(qū)間上具有單調(diào)性，且知，函數(shù)的對(duì)稱中心為，由知函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，所以，，即，所以，解得，故答案為.考點(diǎn)：函數(shù)的對(duì)稱性、周期性，屬于中檔題.13、【解析】

根據(jù)兩平行線間的距離，，代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)，整理計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與互相平行，所以根據(jù)平行線間的距離公式，可以得到它們之間的距離，.【點(diǎn)睛】本題考查兩平行線間的距離公式，屬于簡單題.14、4【解析】由得；由是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，.由得.又，則，所以又，則，則，所以所以；則則的面積為15、6【解析】

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q，由于是正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2?a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得a1，a5，利用通項(xiàng)公式可得q，an．利用等比數(shù)列的求和公式可得數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn．代入不等式2019|Tn﹣1|＞1，化簡即可得出．【詳解】數(shù)列為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，，a2?a4=81=a1a5，即解得，則公比，∴，則，∴，即，得，此時(shí)正整數(shù)的最大值為6.故答案為6.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16、【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求結(jié)果.【詳解】則，即由題意知，則，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問題，關(guān)鍵是能夠利用對(duì)數(shù)相等得到的關(guān)系，從而構(gòu)造出符合基本不等式的形式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）-2（2）【解析】

（1）利用特殊角的三角函數(shù)值求得表達(dá)式的值.（2）利用誘導(dǎo)公式化簡所求表達(dá)式.【詳解】（1）.（2）.【點(diǎn)睛】本小題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）an＝3﹣2×（）n﹣1（2）{m|1≤m}【解析】

（1）由已知，根據(jù)遞推公式可得，，……，，所有式子累加可得；（2）在（1）得出的基礎(chǔ)之上解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由已知，根據(jù)遞推公式可得an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2，an﹣1﹣an﹣2＝3×（）n﹣3，…，a2﹣a1＝3×（）0，由累加法得，當(dāng)n≥2時(shí)，an﹣a1＝3×（）0+3×（）1+…+3×（）n﹣2，代入a1＝1得，n≥2時(shí)，an＝11+2×（1﹣（）n﹣1），又a1＝1也滿足上式，故an＝3﹣2×（）n﹣1.（2）由1≤man≤5，得1≤man＝m（3﹣2（）n﹣1）≤5.因?yàn)?﹣2（）n﹣1＞0，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，3﹣2（）n﹣1∈[1，3）；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，3﹣2（）n﹣1∈（3，4]，所以3﹣2（）n﹣1最大值為4，最小值為1.對(duì)于任意的正整數(shù)n都有成立，所以1≤m.即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|1≤m}.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式知識(shí)和不等式的相關(guān)知識(shí)，式子繁瑣，易錯(cuò)，屬于中檔題.19、(1)，；(2)至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.【解析】

(1)利用等比數(shù)列求和公式可求出n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入與n年內(nèi)的總投入；（2）設(shè)至少經(jīng)過年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，可得－＞0，結(jié)合（1）可得，解得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［()n－1］(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此－＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力、等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.20、(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.【解析】

（1）由，得，即可得到本題答案；（2）由，得，即可得到本題答案；（3）當(dāng)時(shí)，滿足題意；若n是偶數(shù)，由，可得；當(dāng)n是奇數(shù),且時(shí)，由，可得，綜上，即可得到本題答案.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列；(2)因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；(3)①當(dāng)時(shí)，；②若n是偶數(shù)，則，所以當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，；③當(dāng)n是奇數(shù)，且時(shí)，；綜上