遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題（教師版）

遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體2022-2023學年度下學期高二年級期末考試試題數(shù)學命題人：沈陽市三十中學聶鑫校題人：沈陽市八十三中學蘭義興一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，分析可知，由集合的包含關系可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式，即，解得，即，因為，且，則，所以，.故選：B.2.“”的一個充分條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式直接證明，或舉特例判斷.【詳解】根據(jù)得為任意實數(shù)，所以A錯；由，得，當且時，有；當且時，有，不滿足題意，所以B錯；因為滿足，也滿足，不滿足題意，所以C錯；因為，所以，所以能推出，滿足題意，D正確.故選：D.3.設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性判斷，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性可判斷，可得答案.【詳解】由題意知，，所以，故選：D.4.函數(shù)在上的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性以及在上的函數(shù)值符號，結合排除法可得出合適的選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，排除CD選項，且當時，，，則，排除B選項.故選：A.5.質數(shù)也叫素數(shù)，17世紀法國數(shù)學家馬林-梅森曾對“”（p是素數(shù)）型素數(shù)進行過較系統(tǒng)而深入的研究，因此數(shù)學界將“”（p是素數(shù)）形式的素數(shù)稱為梅森素數(shù)．已知第12個梅森素數(shù)為，第14個梅森素數(shù)為，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為（）參考數(shù)據(jù)：A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】近似化簡，結合對數(shù)運算求得正確答案.【詳解】，令，兩邊同時取常用對數(shù)得，∴，∴，結合選項知與最接近的數(shù)為.故選：C.6.若為奇函數(shù)，則實數(shù)a，b的值分別為（）A.e，1 B.，1 C.e， D.，【答案】C【解析】【分析】由和是方程的兩個根得出的值，再由奇函數(shù)的定義得出的值.【詳解】，當時，，所以和是方程的兩個根，所以，即，因為，所以，即，即.故選：C7.已知實數(shù)a，b滿足，，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】結合已知條件轉化為相同的形式，然后構造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調性可得，進而結合對數(shù)的運算即可化簡求得結果.【詳解】因為，所以，即，又因為，即，構造函數(shù)，則恒成立，故在上單調遞增，即存在唯一的實數(shù)，使得，所以，所以，即，所以，故選：C.8.已知函數(shù)，，若有6個零點，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，進行分析，最多有兩個零點，根據(jù)最多4個零點，用數(shù)形結合討論各種情況，根據(jù)一元二次方程根的分布即可得出結果.【詳解】由題可得函數(shù)圖象，當或時，有兩個解；當時，有4個解；當時，有3個解；當時，有1個解；因為最多有兩個解.因此，要使有6個零點，則有兩個解，設為，.則存在下列幾種情況：①有2個解，有4個解，即或，，顯然，則此時應滿足，即，解得，②有3個解，有3個解，設即，，則應滿足，無解，舍去，綜上所述，取值范圍為.故選：B.【點睛】方法點睛：解決復合函數(shù)零點個數(shù)問題的時候，常用數(shù)形結合分析，分析各種情況后，往往會用到零點的存在性定理或根的分布情況來確定參數(shù)的取值范圍.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.（多選題）已知等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的首項，若且，則以下結論正確的有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的公比，可知，A正確；由于不確定和的正負，所以不能確定和的大小關系；根據(jù)題意可知等差數(shù)列的公差為負，所以可判斷出C不正確，D正確．【詳解】對A，等比數(shù)列的公比，和異號，，故A正確；對B，因為不確定和的正負，所以不能確定和的大小關系，故B不正確；對CD，和異號，且且，和中至少有一個數(shù)是負數(shù)，又，，故D正確，一定是負數(shù)，即，故C不正確.故選：AD.10.下面命題正確的是（）A.不等式的解集為B.不等式解集為C.不等式在時恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為D.函數(shù)在區(qū)間內僅有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】解含參數(shù)的不等式判斷AB；分離參數(shù)構造函數(shù)求出最小值判斷C；利用二次函數(shù)零點分布求出m的范圍判斷D作答.【詳解】對于A，不等式化為，解得，則原不等式的解集為，A正確；對于B，不等式化為，解得，不等式的解集為，B錯誤；對于C，不等式在時恒成立，當時，成立，，，恒成立，在上單調遞增，，當且僅當時取等號，因此，則，所以實數(shù)m的取值范圍為，C正確；對于D，函數(shù)在區(qū)間內僅有一個零點，則當在上有等根時，，解得，當在上只有1個根時，，解得，或或，解得，于是，所以實數(shù)m的取值范圍為，D正確.故選：ACD11.函數(shù)和有相同的最大值b，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點的橫坐標依次為，，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用導數(shù)的性質，根據(jù)最大值的定義，結合數(shù)形結合思想、指數(shù)與對數(shù)恒等式進行求解即可.【詳解】對于AB，，當時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即；當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，由，當時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即；當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，于是有，，因此選項AB正確，對于CD，兩個函數(shù)圖像如下圖所示：由數(shù)形結合思想可知：當直線經(jīng)過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設，且，由，又，又當時，單調遞增，所以，又，又，又當時，單調遞減，所以，，，于是有，即，因為，所以選項C錯誤，D正確，故選：ABD【點睛】關鍵點睛：利用數(shù)形結合思想，結合等式是解題的關鍵.12.已知函數(shù)，下列選項正確的是（）A.當有三個零點時，的取值范圍為B.是偶函數(shù)C.設的極大值為，極小值為，若，則D.若過點可以作圖象的三條切線，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】由可得出，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，數(shù)形結合可判斷A選項；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項；利用導數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，結合求出的值，可判斷C選項；設切點橫坐標為，利用導數(shù)的幾何意義可得出方程有三個不等的實根，可知，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，數(shù)形結合可判斷D選項.【詳解】對于A選項，令可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，，令，可得，列表如下：增極大值減極小值增如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，A對；對于B選項，，該函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)是偶函數(shù)，B對；對于C選項，，令，可得，列表如下：減極小值增極大值減所以，，，所以，，解得，C錯；對于D選項，設切點坐標為，則，所以，曲線在處的切線方程為，將點的坐標代入切線方程得，整理可得，令，其中，則，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減若過點可以作圖象的三條切線，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，合乎題意，D對.故選：ABD.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，且，則的最小值是___________.【答案】##4.5【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代換求目標式的最小值，注意取值條件.【詳解】由，，則，當且僅當，即時等號成立.所以的最小值是.故答案為：14.已知，若與的值域相同，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導數(shù)得出函數(shù)的值域，進而由題設條件得出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，當時，；當時，；即函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，即，因為與的值域相同，所以.故答案為：15.若為奇函數(shù)，則的表達式可以為______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義探討函數(shù)的特性，再求出解析式作答.【詳解】函數(shù)中，必有，即或，而函數(shù)是奇函數(shù)，即恒成立，因此對定義域內任意實數(shù)有成立，即成立，于是函數(shù)圖象關于點對稱，取，所以的表達式可以為.故答案為：16.已知定義在上的函數(shù)滿足，且關于對稱，當時，.若，則______.【答案】【解析】【分析】推導出函數(shù)為偶函數(shù)，結合已知條件推導出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，由已知可得出，求出、的值，結合函數(shù)的周期性和奇偶性可求得的值.【詳解】因為函數(shù)關于對稱，則，即，所以，，即函數(shù)為上的偶函數(shù)，又因為，則，即，所以，。則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，又因為當時，，則，①在等式中，令可得，即，②聯(lián)立①②可得，，故當時，，所以，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分、解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為．（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的切線方程即可求得參數(shù)值；（2）判斷函數(shù)在上單調性，進而可得最值.【小問1詳解】由已知可得．又，所以．【小問2詳解】由（1）可知，，令，解得或，所以在和上單調遞增，在上單調遞減．又，，所以函數(shù)在上的最小值為．18.已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列、的通項公式.（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先利用求出，再利用累加法求出；（2）先利用（1）結果求出，再利用等差數(shù)列求和公式進行求和即可．小問1詳解】∵，∴，∴，當時，，∴，∵，∴，…，，以上各式相加得：，，又符合上式，∴；【小問2詳解】由題意得，時，,當時，，∴.19.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當時，.（1）求時的解析式；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)性質求的解析式；（2）由（1）得，應用基本不等式、函數(shù)單調性求在對應區(qū)間上的值域，即可得答案.【小問1詳解】令，則，故，而，所以，則.【小問2詳解】由（1）知：，當，，當且僅當時等號成立，此時；當，單調遞增，則；綜上，函數(shù)值域.20.為進一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀念章，并決定近期投放市場．根據(jù)市場調研情況，預計每枚該紀念章的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表上市時間x/天2632市場價y/元1486073（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①，②，③，④中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)描述每枚該紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系（無需說明理由），并利用你選取的函數(shù)，求該紀念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低市場價；（2）記你所選取的函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）選擇，該紀念章上市12天時，市場價最低，最低市場價為每枚48元（2）.【解析】【分析】（1）從題表的單調性入手，選出，再用待定系數(shù)法求解；（2）不等式變形為在上恒成立，只需，分與兩種情況，求出相應的函數(shù)最小值，列出不等式，求出實數(shù)k的取值范圍.【小問1詳解】由題表知，隨著時間的增大，的值隨的增大，先減小后增大，而所給的函數(shù)，和在上顯然都是單調函數(shù)，不滿足題意，故選擇．把，，分別代入，得，解得，∴，．又，∴當且僅當時，即當時，y有最小值，且．故當該紀念章上市12天時，市場價最低，最低市場價為每枚48元；【小問2詳解】原不等式可以整理為：，，因為對，都有不等式恒成立，則．（i）當時，，當且僅當時，即當時，．∴，解得，不符合假設條件，舍去．（ii）當時，在單調遞增，故，只需．整理得：，∴（舍去），綜上，實數(shù)k的取值范圍是．21.已知函數(shù)，.（1）若的定義域為，值域為R，求a的值：（2）在條件（1）下，當，時，總滿足，求c的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由定義為，可得恒成立；由值域為可得，能取到內任意實數(shù)，即可得的值；（2）根據(jù)函數(shù)的單調性可求解【小問1詳解】因為的定義域為，所以且，恒成立，又因為值域為，所以能取到內任意實數(shù)，故；【小問2詳解】因為，所以，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以在,上單調遞減，，則題目可轉化為：恒成立，即，因此，故故的取值范圍為22.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.【答案】（1）結論見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，再按分類探討的正負作答.（2）等價變形給定等式，結合時函數(shù)的單調性，由，，再構造函數(shù)，，利用導數(shù)、均值不等式推理作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，求導得則