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文檔簡介
6.2.4平面向量的數(shù)量積1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.掌握向量的數(shù)量積公式及投影的定義.3.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質及其運算律,并能運用這些性質與運算律解決有關問題.
從前面的學習我們知道,任意兩個向量都可以進行加、減運算,數(shù)字與向量之間可以進行乘法運算.我們自然會提出:任意兩個向量是否也可以進行乘法運算呢?如果能,該如何定義向量的乘法運算呢?向量的夾角
已知兩個非零向量
,.如圖,O是平面上任意一點,作
,
,則
叫做向量
與
的夾角.顯然:當
時,
與
同向;當
時,
與
反向;當
時,
與
垂直,記作.注:
與
的夾角也可記作.平面向量數(shù)量積的物理背景與含義
如圖,一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移
s,且力F與位移
s的夾角為
θ,那么力F所做的功W是多少?
功是一個標量,它由力和位移兩個向量所確定,或者說由力的大小、位移的大小和兩個向量的夾角所確定,數(shù)學上,我們把“功”稱為向量F與向量s
的“數(shù)量積”.sFθ
一般地,已知兩個非零向量
和
,它們的夾角為
,我們把數(shù)量
叫做
與
的數(shù)量積(或內積),記作
,即注:(1)零向量與任意向量的數(shù)量積為0,即
.(2)中間的“·”在向量的運算中不是乘號,既不能省略,也不能寫成
.例1.已知
,
,當(1);(2);(3)與
的夾角為60°時,分別求
與
的數(shù)量積.例2.已知
,
,
,求
與
的夾角θ.平面向量的單位化思考:對任意非零向量
,
是與
方向相同,模長為單位長度1的向量,則
可以怎樣用
表示?解:因為
與
同向,則有
,即
,化簡得
,所以.平面向量數(shù)量積的幾何意義
已知兩個非零向量
,.如圖,O是平面上任意一點,作
,
,過點M作直線ON的垂線,垂足為M1,則
,我們把它叫做向量
在向量
上的投影.
向量
就叫做向量
在向量
上的投影向量.例3.已知
,
為單位向量,它們的夾角為
,則
在
上的投影是________;
在
上的投影向量是________.例4.已知
,
在
上的投影是
,則()A.3 B. C.2 D.B平面向量數(shù)量積的代數(shù)性質設向量
、
是非零向量,它們的夾角是θ,
是與
同向的單位向量:(1).(2)(判斷兩向量垂直的依據(jù))(3)當
與
同向時,
;當
與
反向時,
.特別地,.(4).(5).(6)對于向量
,
,
和實數(shù)
λ,有①②③注:對任意向量
,
,有例5.(1)已知
,
,且
與
的夾角
,求
,
,
;(2)已知
,
,且
,若
與
垂直,求
k的值.1.向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運算,它與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣,也有明顯的物理背景和幾何意義,
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