328059466.2.4 平面向量的數(shù)量積 -2021-2022學年高一數(shù)學同步教學課件_第1頁
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文檔簡介

6.2.4平面向量的數(shù)量積1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.掌握向量的數(shù)量積公式及投影的定義.3.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質及其運算律,并能運用這些性質與運算律解決有關問題.

從前面的學習我們知道,任意兩個向量都可以進行加、減運算,數(shù)字與向量之間可以進行乘法運算.我們自然會提出:任意兩個向量是否也可以進行乘法運算呢?如果能,該如何定義向量的乘法運算呢?向量的夾角

已知兩個非零向量

,.如圖,O是平面上任意一點,作

,

,則

叫做向量

的夾角.顯然:當

時,

同向;當

時,

反向;當

時,

垂直,記作.注:

的夾角也可記作.平面向量數(shù)量積的物理背景與含義

如圖,一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移

s,且力F與位移

s的夾角為

θ,那么力F所做的功W是多少?

功是一個標量,它由力和位移兩個向量所確定,或者說由力的大小、位移的大小和兩個向量的夾角所確定,數(shù)學上,我們把“功”稱為向量F與向量s

的“數(shù)量積”.sFθ

一般地,已知兩個非零向量

,它們的夾角為

,我們把數(shù)量

叫做

的數(shù)量積(或內積),記作

,即注:(1)零向量與任意向量的數(shù)量積為0,即

.(2)中間的“·”在向量的運算中不是乘號,既不能省略,也不能寫成

.例1.已知

,

,當(1);(2);(3)與

的夾角為60°時,分別求

的數(shù)量積.例2.已知

,

,

,求

的夾角θ.平面向量的單位化思考:對任意非零向量

,

是與

方向相同,模長為單位長度1的向量,則

可以怎樣用

表示?解:因為

同向,則有

,即

,化簡得

,所以.平面向量數(shù)量積的幾何意義

已知兩個非零向量

,.如圖,O是平面上任意一點,作

,過點M作直線ON的垂線,垂足為M1,則

,我們把它叫做向量

在向量

上的投影.

向量

就叫做向量

在向量

上的投影向量.例3.已知

,

為單位向量,它們的夾角為

,則

上的投影是________;

上的投影向量是________.例4.已知

上的投影是

,則()A.3 B. C.2 D.B平面向量數(shù)量積的代數(shù)性質設向量

是非零向量,它們的夾角是θ,

是與

同向的單位向量:(1).(2)(判斷兩向量垂直的依據(jù))(3)當

同向時,

;當

反向時,

.特別地,.(4).(5).(6)對于向量

,

,

和實數(shù)

λ,有①②③注:對任意向量

,有例5.(1)已知

,且

的夾角

,求

,

,

;(2)已知

,

,且

,若

垂直,求

k的值.1.向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運算,它與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣,也有明顯的物理背景和幾何意義,

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