專題20排列組合問題(原卷版+解析)

專題20排列組合問題【高考真題】1．(2022·新高考Ⅱ)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有()A．12種B．24種C．36種D．48種1．答案B解析因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選B．【方法總結(jié)】1．解決排列組合綜合問題的三大途徑(1)從特殊元素出發(fā)，事件分類，用加法；(2)從特殊位置出發(fā)，事件分步，用乘法；(3)從對立事件出發(fā)，用減法．2．解決排列與組合問題的四大原則(1)特殊優(yōu)先原則：如果問題中有特殊元素或特殊位置，優(yōu)先考慮這些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原則：在既有取出又需要對取出的元素進行排列時，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再進行排列．(3)正難則反原則：當(dāng)直接求解困難時，采用間接法解決問題．(4)先分組后分配原則：在分配問題中如果被分配的元素多于位置，這時要先進行分組，再進行分配．3．解決排列與組合問題的十大方法(1)重復(fù)排列住店法；(2)特色元素優(yōu)先法；(3)相鄰問題捆綁法；(4)相間問題插空法；(5)定序問題用除法；(6)分排問題直排法；(7)先選后排綜合法；(8)多元問題分類法；(9)分球問題隔板法；(10)正難則反間接法．【題型突破】題型一多面手問題1．某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，則有________種不同的選法．2．車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則有________種不同的選派法．3．某歌舞有10人參加演出，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，則有________種不同的選法．4．6名工人，其中2人只會電工，3人只會木工，還有1人既會電工又會木工，選出電工2人木工2人，共有______種不同的選法．5．有6名學(xué)生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌也會跳舞．現(xiàn)從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的去參加文藝演出，則共有法______種．6．現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作，有4名能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任)．現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有________種不同的選法．7．某出版社的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有________種不同的安排方法．8．某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有()A．56種B．68種C．74種D．92種9．某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有()種不同的選法．A．225B．185C．145D．11010．現(xiàn)有7名志愿者，其中只會俄語的有3人，既會俄語又會英語的有4人．從中選出4人擔(dān)任“一帶一路”峰會開幕式翻譯工作，2人擔(dān)任英語翻譯，2人擔(dān)任俄語翻譯，共有_______種不同的選法．題型二特殊元素(位置)問題11．(2018·浙江)從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)．12．如果一個三位數(shù)abc同時滿足a>b且b<c，則稱該三位數(shù)為“凹數(shù)”，那么所有不同的三位“凹數(shù)”的個數(shù)是．13．從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，則共有________種不同的選法(用數(shù)字作答)．14．十三屆全國人大二次會議于2019年3月5日至15日在北京召開，會議期間工作人員將其中的5個代表團人員(含A，B兩代表團)安排至a，b，c三家賓館入住，規(guī)定同一個代表團人員住同一家賓館，且每家賓館至少有一個代表團入住，若A，B兩代表團必須安排在a賓館入住，則不同的安排種數(shù)為()A．6B．12C．16D．1815．大數(shù)據(jù)時代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開使得家庭中有兩個孩子的現(xiàn)象普遍存在．某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個孩子共8人，他們準(zhǔn)備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個孩子恰有2個來自于同一個家庭的乘坐方式共有()A．18種B．24種C．36種D．48種16．從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi)，那么不同的放法種數(shù)為()A．Ceq\o\al(2,10)Aeq\o\al(4,8)B．Ceq\o\al(1,9)Aeq\o\al(5,9)C．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)D．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,8)17．旅游體驗師小明受某網(wǎng)站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為()A．24B．18C．16D．1018．旅游體驗師小明受某網(wǎng)站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為()A．24B．18C．16D．1019．某學(xué)校獲得5個高校自主招生推薦名額，其中甲大學(xué)2個，乙大學(xué)2個，丙大學(xué)1個，并且甲大學(xué)和乙大學(xué)都要求必須有男生參加，學(xué)校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有()A．36種B．24種C．22種D．20種20．2021年東京夏季奧運會將設(shè)置4×100米男女混合泳接力這一新的比賽項目，比賽的規(guī)則是：每個參賽國家派出2男2女共計4名運動員參加比賽，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力順序，每種泳姿100米且由1名運動員完成，且每名運動員都要出場，若中國隊確定了備戰(zhàn)該項目的4名運動員名單，其中女運動員甲只能承擔(dān)仰泳或者自由泳，男運動員乙只能承擔(dān)蝶泳或者自由泳，剩下的2名運動員四種泳姿都可以承擔(dān)，則中國隊的排兵布陣的方式共有()A．144種B．24種C．12種D．6種題型三相鄰問題與相間問題21．有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有()A．34種B．48種C．96種D．144種22．某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，考慮到整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有種．23．北京APEC峰會期間，有2位女性和3位男性共5位領(lǐng)導(dǎo)人站成一排照相，則女性領(lǐng)導(dǎo)人甲不在兩端，3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中有且只有2位相鄰的站法有()A．12種B．24種C．48種D．96種24．三對夫妻站成一排照相，則僅有一對夫妻相鄰的站法總數(shù)是()A．72B．144C．240D．28825．“學(xué)習(xí)強國”是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)平臺．該平臺設(shè)有“閱讀文章”“視聽學(xué)習(xí)”等多個欄目．假設(shè)在這些欄目中，某時段更新了2篇文章和4個視頻，一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備學(xué)習(xí)這2篇文章和其中2個視頻，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的學(xué)法有________種．26．把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有____種．27．為迎接元旦的到來，某學(xué)校高中部決定舉行歌唱比賽．已知高中三個年級各推選了2個班級，共6個班級進行比賽．現(xiàn)要求同一年級的2個班級的節(jié)目不連排，則節(jié)目編排的不同方法共有________種．28．在某班進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排在第一個，求出場順序的排法種數(shù)，下列列式錯誤的是()A．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)B．Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)C．Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)D．Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)29．互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法()A．Aeq\o\al(5,5)種B．Aeq\o\al(2,2)種C．Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種D．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種30．某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72B．120C．144D．168題型四涂色與種植問題31．如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂1種顏色，要求相鄰的2個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)32．如圖所示，有A，B，C，D四個區(qū)域，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂色，要求任意兩個相鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有________種不同的涂法．33．如圖，矩形的對角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有________種不同的涂色方法(用數(shù)字作答)．34．如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種．35．現(xiàn)有五種不同的顏色，要對圖形中的四個部分進行著色，要求有公共邊的兩塊不能用同一種顏色，不同的涂色方法有________種．36．用5種不同顏色給圖中A，B，C，D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．120B．160C．180D．24037．如圖所示，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．38．如圖為我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖．現(xiàn)在提供5種顏色給5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為()A．120B．26C．340D．42039．如圖所示給五個區(qū)域涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有()A．24種B．48種C．72種D．96種40．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為________．題型五不同元素分組分配問題41．國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法．42．?dāng)?shù)學(xué)活動小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出1名組長，則不同的分配方案有()A．eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)種B．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34種C．eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))43種D．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)43種43．(2020·全國Ⅱ)4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有________種．44．《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳(約公元2世紀(jì))所著，該書主要記述了：積算(即籌算)太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計數(shù)14種計算器械的使用方法．某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理14種計算器械的相關(guān)資料，其中一人4種、另兩人每人5種計算器械，則不同的分配方法有()A．eq\f(C\o\al(4,14)C\o\al(5,10)C\o\al(5,5)A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))種B．eq\f(C\o\al(4,14)C\o\al(5,10)C\o\al(5,5)A\o\al(2,2),A\o\al(3,3))種C．eq\f(C\o\al(4,14)C\o\al(5,10)C\o\al(5,5),A\o\al(2,2))種D．Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5)種45．福州西湖公園花展期間，安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，不同的安排方案共有()A．90種B．180種C．270種D．360種46．(2020·新高考Ⅰ)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有()A．120種B．90種C．60種D．30種47．(2020·新高考Ⅱ)3名大學(xué)生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只去1個村，每個村至少1人，則不同的分配方案共有()A．4種B．5種C．6種D．8種48．(多選)有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是()A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有90種分法B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有90種分法C．分給甲、乙每人各2本，分給丙、丁每人各1本，有180種分法D．分給甲、乙、丙、丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有2160種分法49．甲、乙、丙、丁、戊五人去參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，每個同學(xué)只能參加一科競賽．若每個同學(xué)可以自由選擇，則不同的選擇種數(shù)是，若甲和乙不參加同一科，甲和丙必須參加同一科，且這三科都有人參加，則不同的選擇種數(shù)是．(用數(shù)字作答)50．(多選)現(xiàn)有4個小球和4個小盒子，下面的結(jié)論正確的是()A．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法B．若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒的放法共有18種C．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒的放法共有144種D．若編號為1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同的放法共有9種專題20排列組合問題【高考真題】1．(2022·新高考Ⅱ)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有()A．12種B．24種C．36種D．48種1．答案B解析因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選B．【方法總結(jié)】1．解決排列組合綜合問題的三大途徑(1)從特殊元素出發(fā)，事件分類，用加法；(2)從特殊位置出發(fā)，事件分步，用乘法；(3)從對立事件出發(fā)，用減法．2．解決排列與組合問題的四大原則(1)特殊優(yōu)先原則：如果問題中有特殊元素或特殊位置，優(yōu)先考慮這些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原則：在既有取出又需要對取出的元素進行排列時，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再進行排列．(3)正難則反原則：當(dāng)直接求解困難時，采用間接法解決問題．(4)先分組后分配原則：在分配問題中如果被分配的元素多于位置，這時要先進行分組，再進行分配．3．解決排列與組合問題的十大方法(1)重復(fù)排列住店法；(2)特色元素優(yōu)先法；(3)相鄰問題捆綁法；(4)相間問題插空法；(5)定序問題用除法；(6)分排問題直排法；(7)先選后排綜合法；(8)多元問題分類法；(9)分球問題隔板法；(10)正難則反間接法．【題型突破】題型一多面手問題1．某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，則有________種不同的選法．1．答案20解析由題意，知有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語．方法一分兩類．第一類：從只會英語的6人中選1人教英語，有6種選法，則教日語的有2＋1＝3(種)選法．此時共有6×3＝18(種)選法．第二類：從不只會英語的1人中選1人教英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時有1×2＝2(種)選法．所以由分類加法計數(shù)原理知，共有18＋2＝20(種)選法．方法二設(shè)既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語．第一類：甲入選．(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理知，有1×2＝2(種)選法；(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理知，有1×6＝6(種)選法．故甲入選的不同選法共有2＋6＝8(種)．第二類：甲不入選．可分兩步．第一步，從只會英語的6人中選1人，有6種選法；第二步，從只會日語的2人中選1人，有2種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，有6×2＝12(種)不同的選法．綜上，共有8＋12＝20(種)不同的選法．2．車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則有________種不同的選派法．2．答案185解析方法一設(shè)A，B代表2位老師傅．A，B都不在內(nèi)的選派方法有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＝5(種)，A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＝10(種)，A，B都在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＝30(種)，A，B都在內(nèi)且一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的選派方法有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)＝80(種)，A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＝20(種)，A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)＝40(種)，所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(種)選派方法．方法二5名男鉗工有4名被選上的方法有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝75(種)，5名男鉗工有3名被選上的方法有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＝100(種)，5名男鉗工有2名被選上的方法有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,4)＝10(種)，所以共有75＋100＋10＝185(種)選派方法．方法三4名女車工都被選上的方法有Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,2)＝35(種)，4名女車工有3名被選上的方法有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,2)＝120(種)，4名女車工有2名被選上的方法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,5)＝30(種)，所以共有35＋120＋30＝185(種)選派方法．3．某歌舞有10人參加演出，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，則有________種不同的選法．3．答案675解析方法一Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)＝675(種)方法二Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(0,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,5)＝675(種)4．6名工人，其中2人只會電工，3人只會木工，還有1人既會電工又會木工，選出電工2人木工2人，共有______種不同的選法．4．答案12解析Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)＝12(種)．5．有6名學(xué)生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌也會跳舞．現(xiàn)從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的去參加文藝演出，則共有法______種．5．答案15解析Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝12(種)．6．現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作，有4名能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任)．現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有________種不同的選法．6．答案42解析可以分三類：第一類，讓兩項工作都能勝任的青年從事英語翻譯工作，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)種選法；第二類，讓兩項工作都能勝任的青年從事德語翻譯工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)種選法；第三類，兩項工作都能勝任的青年不從事任何工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3)種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3)＝42(種)不同的選法．7．某出版社的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有________種不同的安排方法．7．答案37解析Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(0,2)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)＝37(種)8．某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有()A．56種B．68種C．74種D．92種8．答案D解析根據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,6)種，有一個“多面手”的選派方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,5)種，有兩個“多面手”的選派方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,4)種，即共有20＋60＋12＝92(種)不同的選派方法．9．某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有()種不同的選法．A．225B．185C．145D．1109．答案B解析方法一Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)＝185(種)．方法二Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,4)＝185(種)方法三Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,5)＝185(種)10．現(xiàn)有7名志愿者，其中只會俄語的有3人，既會俄語又會英語的有4人．從中選出4人擔(dān)任“一帶一路”峰會開幕式翻譯工作，2人擔(dān)任英語翻譯，2人擔(dān)任俄語翻譯，共有_______種不同的選法．10．答案60解析Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,4)＝60(種)題型二特殊元素(位置)問題11．(2018·浙江)從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)．11．答案1260解析若取的4個數(shù)字不包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)；若取的4個數(shù)字包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)．綜上，一共可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝720＋540＝1260．12．如果一個三位數(shù)abc同時滿足a>b且b<c，則稱該三位數(shù)為“凹數(shù)”，那么所有不同的三位“凹數(shù)”的個數(shù)是．12．答案285解析根據(jù)題意，按十位數(shù)字分類討論：①十位數(shù)字是9時不存在，此時三位“凹數(shù)”的個數(shù)為0．②十位數(shù)字是8時，只有989，此時三位“凹數(shù)”的個數(shù)為1．③十位數(shù)字是7時，則百位與個位都有2種可能，所以此時三位“凹數(shù)”的個數(shù)為2×2＝4．④十位數(shù)字是6時，則百位與個位都有3種可能，所以此時三位“凹數(shù)”的個數(shù)為3×3＝9．⑤十位數(shù)字是5時，則百位與個位都有4種可能，所以此時三位“凹數(shù)”的個數(shù)為4×4＝16．⑥十位數(shù)字是4時，則百位與個位都有5種可能，所以此時三位“凹數(shù)”的個數(shù)為5×5＝25．⑦十位數(shù)字是3時，則百位與個位都有6種可能，所以此時三位“凹數(shù)”的個數(shù)為6×6＝36．⑧十位數(shù)字是2時，則百位與個位都有7種可能，所以此時三位“凹數(shù)”的個數(shù)為7×7＝49．⑨十位數(shù)字是1時，則百位與個位都有8種可能，所以此時三位“凹數(shù)”的個數(shù)為8×8＝64．⑩十位數(shù)字是0時，則百位與個位都有9種可能，所以此時三位“凹數(shù)”的個數(shù)為9×9＝81，所以所有不同的三位“凹數(shù)”的個數(shù)是1＋4＋…＋81＝285．13．從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，則共有________種不同的選法(用數(shù)字作答)．13．答案660解析法一：只有1名女生時，先選1名女生，有Ceq\o\al(1,2)種方法；再選3名男生，有Ceq\o\al(3,6)種方法；然后排隊長、副隊長位置，有Aeq\o\al(2,4)種方法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,4)＝480(種)選法．有2名女生時，再選2名男生，有Ceq\o\al(2,6)種方法；然后排隊長、副隊長位置，有Aeq\o\al(2,4)種方法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,4)＝180(種)選法．所以依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有480＋180＝660(種)不同的選法．法二：不考慮限制條件，共有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)種不同的選法，而沒有女生的選法有Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)種，故至少有1名女生的選法有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)－Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝840－180＝660(種)．14．十三屆全國人大二次會議于2019年3月5日至15日在北京召開，會議期間工作人員將其中的5個代表團人員(含A，B兩代表團)安排至a，b，c三家賓館入住，規(guī)定同一個代表團人員住同一家賓館，且每家賓館至少有一個代表團入住，若A，B兩代表團必須安排在a賓館入住，則不同的安排種數(shù)為()A．6B．12C．16D．1814．答案B解析如果僅有A，B兩代表團入住a賓館，則余下3個代表團必有2個人住同一個賓館，此時不同的安排種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6．如果A，B兩代表團及余下3個代表團中的1個入住a賓館，則剩下2個代表團分別入住b，c賓館，此時不同的安排種數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6．綜上，不同的安排種數(shù)為12，故選B．15．大數(shù)據(jù)時代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開使得家庭中有兩個孩子的現(xiàn)象普遍存在．某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個孩子共8人，他們準(zhǔn)備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個孩子恰有2個來自于同一個家庭的乘坐方式共有()A．18種B．24種C．36種D．48種15．答案B解析根據(jù)題意，分兩種情況討論：①A家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個孩子要來自不同的家庭，可以在剩下的三個家庭中任選2個，再從每個家庭的2個孩子中任選一個來乘坐甲車，有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘坐方式；②A家庭的孿生姐妹不在甲車上，需要在剩下的三個家庭中任選1個，讓其2個孩子都在甲車上，對于剩余的兩個家庭，從每個家庭的2個孩子中任選一個來乘坐甲車，有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘坐方式，故共有12＋12＝24(種)乘坐方式，故選B．16．從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi)，那么不同的放法種數(shù)為()A．Ceq\o\al(2,10)Aeq\o\al(4,8)B．Ceq\o\al(1,9)Aeq\o\al(5,9)C．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)D．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,8)16．答案C解析先排第1號瓶，從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有Ceq\o\al(1,8)種選法，再排剩余的瓶子，有Aeq\o\al(5,9)種方法，故不同的放法共有Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)種，故選C．17．旅游體驗師小明受某網(wǎng)站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為()A．24B．18C．16D．1017．答案D解析分兩種情況，第一種：最后體驗甲景區(qū)，則有Aeq\o\al(3,3)種可選的路線；第二種：不在最后體驗甲景區(qū)，則有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種可選的路線．所以小李可選的旅游路線數(shù)為Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝10．故選D．18．旅游體驗師小明受某網(wǎng)站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為()A．24B．18C．16D．1018．答案D解析分兩種情況，第一種：最后體驗甲景區(qū)，則有Aeq\o\al(3,3)種可選的路線；第二種：不在最后體驗甲景區(qū)，則有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)種可選的路線．所以小李可選的旅游路線數(shù)為Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝10．19．某學(xué)校獲得5個高校自主招生推薦名額，其中甲大學(xué)2個，乙大學(xué)2個，丙大學(xué)1個，并且甲大學(xué)和乙大學(xué)都要求必須有男生參加，學(xué)校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有()A．36種B．24種C．22種D．20種19．答案B解析根據(jù)題意，分兩種情況討論：第一種，3名男生每個大學(xué)各推薦1人，2名女生分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝12種推薦方法；第二種，將3名男生分成兩組分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12種推薦方法．故共有24種推薦方法．20．2021年東京夏季奧運會將設(shè)置4×100米男女混合泳接力這一新的比賽項目，比賽的規(guī)則是：每個參賽國家派出2男2女共計4名運動員參加比賽，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力順序，每種泳姿100米且由1名運動員完成，且每名運動員都要出場，若中國隊確定了備戰(zhàn)該項目的4名運動員名單，其中女運動員甲只能承擔(dān)仰泳或者自由泳，男運動員乙只能承擔(dān)蝶泳或者自由泳，剩下的2名運動員四種泳姿都可以承擔(dān)，則中國隊的排兵布陣的方式共有()A．144種B．24種C．12種D．6種20．答案D解析由題意，得若甲承擔(dān)仰泳，則乙運動員有Ceq\o\al(1,2)＝2種安排方法，其他兩名運動員有Aeq\o\al(2,2)＝2種安排方法，共計2×2＝4種方法；若甲承擔(dān)自由泳，則乙運動員只能安排蝶泳，其他兩名運動員有Aeq\o\al(2,2)＝2種安排方法，共計2種方法，所以中國隊共有4＋2＝6種不同的安排方法，故選D．題型三相鄰問題與相間問題21．有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有()A．34種B．48種C．96種D．144種21．答案C解析特殊元素優(yōu)先安排，先讓甲從頭、尾中選取一個位置，有Ceq\o\al(1,2)種選法，乙、丙相鄰，捆綁在一起看作一個元素，與其余三個元素全排列，最后乙、丙可以換位，故共有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝96(種)排法．故選C．22．某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，考慮到整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有種．22．答案120解析①當(dāng)甲排在首位，丙丁捆綁，自由排列，共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2)＝48種．②當(dāng)甲排在第二位，首位不能是丙和丁，共有3×Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36種．③當(dāng)甲排在第三位，前兩位分為是丙丁和不是丙丁兩種情況，共有Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)＝36種．因此共有48＋36＋36＝120種編排方案．23．北京APEC峰會期間，有2位女性和3位男性共5位領(lǐng)導(dǎo)人站成一排照相，則女性領(lǐng)導(dǎo)人甲不在兩端，3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中有且只有2位相鄰的站法有()A．12種B．24種C．48種D．96種23．答案C解析從3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中任取2人“捆”在一起記作A，A共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(種)不同排法，剩1位男性領(lǐng)導(dǎo)人記作B，2位女性分別記作甲、乙；則女性領(lǐng)導(dǎo)人甲必須在A，B之間，此時共有6×2＝12(種)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，∴共有12×4＝48(種)不同排法．24．三對夫妻站成一排照相，則僅有一對夫妻相鄰的站法總數(shù)是()A．72B．144C．240D．28824．答案D解析第一步，先選一對夫妻使之相鄰，捆綁在一起看作一個復(fù)合元素A，這對夫妻有2種排法，故有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種排法；第二步，再選一對夫妻，這對夫妻有2種排法，從剩下的那對夫妻中選擇一個插入到剛選的夫妻中，把這三個人捆綁在一起看作另一個復(fù)合元素B，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝8種排法；第三步，將復(fù)合元素A，B和剩下的那對夫妻中剩下的那一個進行全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法，由分步乘法計數(shù)原理，知三對夫妻排成一排照相，僅有一對夫妻相鄰的排法有6×8×6＝288種，故選D．25．“學(xué)習(xí)強國”是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)平臺．該平臺設(shè)有“閱讀文章”“視聽學(xué)習(xí)”等多個欄目．假設(shè)在這些欄目中，某時段更新了2篇文章和4個視頻，一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備學(xué)習(xí)這2篇文章和其中2個視頻，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的學(xué)法有________種．25．答案72解析先在4個視頻中選擇2個視頻，有Ceq\o\al(2,4)種方法，再按一定順序排列有Aeq\o\al(2,2)種方法，最后把2篇文章插入2個視頻形成的3個空位中有Aeq\o\al(2,3)種方法，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的學(xué)法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝72(種)．26．把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有____種．26．答案36解析將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種方法．于是符合題意的擺法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．27．為迎接元旦的到來，某學(xué)校高中部決定舉行歌唱比賽．已知高中三個年級各推選了2個班級，共6個班級進行比賽．現(xiàn)要求同一年級的2個班級的節(jié)目不連排，則節(jié)目編排的不同方法共有________種．27．答案240解析不妨記高一、高二、高三每個年級推選的2個班級分別為A1，A2，B1，B2，C1，C2．可根據(jù)A1，A2之間的班級個數(shù)進行分類計論．當(dāng)A1，A2之間有1個班級時，不同的排法有Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,2)·(Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2))＝96(種)；當(dāng)A1，A2之間有2個班級時，不同的排法有Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)·(Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2))＝96(種)；當(dāng)A1，A2之間有3個班級時，不同的排法有Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝32(種)；當(dāng)A1，A2之間有4個班級時，不同的排法有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)＝16(種)．綜上，不同的排法共有96＋96＋32＋16＝240(種)，28．在某班進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排在第一個，求出場順序的排法種數(shù)，下列列式錯誤的是()A．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)B．Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)C．Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)D．Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)28．答案C解析若第一個出場的是男生，則第二個出場的是女生，以后的順序任意排，方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種；若第一個出場的是女生(不是女生甲)，則將剩余的2位女生排列好，2位男生插空，方法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種．∴滿足條件的出場順序有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種，故A正確；先排3位女生，3位女生之間有4個空，從4個空中選2個排男生，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)種，若女生甲排在第一個，則3位女生之間有3個空，從3個空中選2個排男生，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種，∴滿足條件的出場順序有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種，故B正確；5位選手全排列的方法數(shù)Aeq\o\al(5,5)減去2位男生連續(xù)出場的方法數(shù)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)，再減去女生甲排在第一個的方法數(shù)Aeq\o\al(4,4)．∵多減去了2位男生既連續(xù)出場，女生甲又排在第一個的方法數(shù)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，∴滿足條件的出場順序有Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種，故D正確．故選C．29．互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法()A．Aeq\o\al(5,5)種B．Aeq\o\al(2,2)種C．Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種D．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種29．答案D解析由于紅色菊花放正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，故紅菊花兩邊各有一盆白色和黃色菊花．故有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝16種不同擺放方法．30．某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72B．120C．144D．16830．答案B解析法一先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空．安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”，“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”．對于第一種情況，形式為“□，小品1，歌舞1，小品2，□，相聲，□”，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個空，其形式為“□，小品1，□，相聲，□，小品2，□”．有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,4)＝48種安排方法，故共有36＋36＋48＝120種安排方法．法二先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰，保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144(種)，再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝24(種)，于是符合題意的排法共有144－24＝120(種)．題型四涂色與種植問題31．如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂1種顏色，要求相鄰的2個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)31．答案750解析首先給最左邊的一個格子涂色，有6種選擇，左邊第二個格子有5種選擇，第三個格子有5種選擇，第四個格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共有6×5×5×5＝750(種)涂色方法．32．如圖所示，有A，B，C，D四個區(qū)域，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂色，要求任意兩個相鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有________種不同的涂法．32．答案18解析①若A，C涂色相同，則按照分步乘法計數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，2，則有3×2×1×2＝12(種)不同的涂法．②若A，C涂色不相同，則按照分步乘法計數(shù)原理，A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3，2，1，1，則有3×2×1×1＝6(種)不同的涂法．所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有12＋6＝18(種)不同的涂法．33．如圖，矩形的對角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有________種不同的涂色方法(用數(shù)字作答)．33．答案260解析區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260種涂色方法．34．如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種．34．答案72解析法一首先涂A有4種涂法，再涂B有3種涂法，C與A，B相鄰，則C有2種涂法，D只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有4×3×2×3＝72種涂法．法二按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24(種)涂法；二是用3種顏色，這時A，B，C的涂法有4×3×2＝24(種)，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(種)．35．現(xiàn)有五種不同的顏色，要對圖形中的四個部分進行著色，要求有公共邊的兩塊不能用同一種顏色，不同的涂色方法有________種．35．答案180解析依次給區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ涂色分別有5，4，3，3種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的涂色方法的種數(shù)為5×4×3×3＝180．36．用5種不同顏色給圖中A，B，C，D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．120B．160C．180D．24036．答案C解析根據(jù)題意，因為規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，D有3種涂法，C有3種涂法，所以共有5×4×3×3＝180種不同的涂色方法．故選C．37．如圖所示，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．37．答案96解析按區(qū)域1與3是否同色分類：①區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2，4，5(還有3種顏色)有Aeq\o\al(3,3)種方法．∴區(qū)域1與3涂同色，共有4Aeq\o\al(3,3)＝24種方法．②區(qū)域1與3不同色：先涂區(qū)域1與3有Aeq\o\al(2,4)種方法，第二步涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步涂區(qū)域4只有一種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法．∴這時共有Aeq\o\al(2,4)×2×1×3＝72種方法．由分類加法計數(shù)原理，不同的涂色種數(shù)為24＋72＝96．38．如圖為我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖．現(xiàn)在提供5種顏色給5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為()A．120B．26C．340D．42038．答案D解析如圖所示，設(shè)5個區(qū)域依次為A，B，C，D，E，分4步進行分析：①區(qū)域A有5種顏色可選；②區(qū)域B與區(qū)域A相鄰，有4種顏色可選；③區(qū)域C與區(qū)域A，B相鄰，有3種顏色可選；④對于區(qū)域D，E，若D與B顏色相同，則區(qū)域E有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，則區(qū)域D有2種顏色可選，區(qū)域E有2種顏色可選，故區(qū)域D，E有3＋2×2＝7(種)選擇．綜上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7＝420(種)．39．如圖所示給五個區(qū)域涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有()A．24種B．48種C．72種D．96種39．答案C解析分兩種情況：①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D有1種，有4×3×2＝24種；②A，C同色，先涂A，C有4種，再涂E有3種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48種．故不同的涂色方法有48＋24＝72種．40．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為________．40．答案420解析按照S→A→B→C→D的順序進行染色，按照A，C是否同色分類：第一類，A，C同色，則有5×4×3×1×3＝180(種)不同的染色方法．第二類，A，C不同色，則有5×4×3×2×2＝240(種)不同的染色方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有180＋240＝420(種)不同的染色方法．題型五不同元素分組分配問題41．國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法．41．答案90解析先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有Aeq\o\al(3,3)＝6種方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90種分派方法．42．?dāng)?shù)學(xué)活動小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出1名組長，則不同的分配方案有()A．eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)種B．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34種C．eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))43種D．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)43種42．答案B解析方法一首先將12名同學(xué)平均分成四組，有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))種分法，然后將這四組同學(xué)分配到四個不同的課題組，有Aeq\o\al(4,4)種分法，并在各組中選出1名組長，有34種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，滿足條件的不同分配方案有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))·Aeq\o\al(4,4)·34＝Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34(種)，故選B．方法二根據(jù)題意可知，第一組分3名同學(xué)有Ceq\o\al(3,12)種分法，第二組分3名同學(xué)有Ceq\o\al(3,9)種分法，第三組分3名同學(xué)有Ceq\o\al(3,6)種分法，第四組分3名同學(xué)有Ceq\o\al(3,3)種分法．第一組選1名組長有3種選法，第二組選1名組長有3種選法，第三組選1名組長有3種選法，第四組選1名組長有3種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，滿足條件的不同分配方案有Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)34種，故選B．43．(2020·全國Ⅱ)4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有________種．43．答案36解析由題意，分兩步進行安排，第一步，將4名同學(xué)分成3組，其中1組2人，其余2組各1人，有Ceq\o\al(2,4)＝6種安排方法；第二步，將分好的3組安排到對應(yīng)的3個小區(qū)，有Aeq\o\al(3,3)＝6種安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(種)．44．《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳(約公元2世紀(jì))所著，該書主要記述了：積算(即籌算)太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計數(shù)14種計算器械的使用方法．某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理14種計算器械的相關(guān)資料，其中一人4種、另兩人每人5種計算器械，則不同的分配方法有()A．eq\f(C\o\al(4,14)C\o\al(5,10)C\o\al(5,5)A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))種B．eq\f(C\o\al(4,14)C\o\al(5,10)C\o\al(5,5)A\o\al(2,2),A\o\al(3,3))種C．eq\f(C\o\al(4,14)C\o\al(5,10)C\o\al(5,5),A\o\al(2,2))種D．Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5)種44．答案A解析先將14種計算器械分為三組，方法數(shù)為eq\f(C\o\al(4,14)C\o\al(5,10)C\o\al(5,5),A\o\al(2,2))，再分給3個人，方法數(shù)為eq\f(C\o\al(4,14)C\o\al(5,10)C\o\al(5,5),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)，故選A．45．福州西湖公園花展