概率論與數(shù)理統(tǒng)計、王瓊,阮宏順主編,習題集答案 第三章-第八章復(fù)習題含答案

隨機變量的數(shù)字特征1.設(shè)隨機變量X~N(1，4)，Y~N(0，16)，X，Y相互獨立，則U＝X-Y+7服從（D）分布.AN(8，23) BN(8，65) CN(1，20) DN(8，20)2.設(shè)有兩個隨機變量和相互獨立且同分布：則下列各式成立的是（A）（A）(B)(C)(D)3.若X服從[-1,1]上的均勻分布，則期望EX=0DX=.若X服從B(12,0.3)，則期望EX=3.6DX=2.52.若X服從，則期望EX=DX=.若X服從，則期望EX=DX=.已知X～B(n，p）,則EX=np.已知X～B(n，p）,且EX=5，DX=2.5，則p=0.5.5.(2012cczu)5分設(shè)隨機變量的數(shù)學期望分別是-2,1,方差分別是1,4,兩者相關(guān)系數(shù)是,則由切比雪夫不等式估計.6.盒中有3只黑球,2只紅球,從中任取2只,若所取的2只中沒有黑球,那么在剩下的球中再取1個球.以X表示所取得的黑球數(shù),以Y表示所取得的紅球數(shù).求(X,Y)的聯(lián)合分布列與邊緣分布列,并判斷X與Y的獨立性，為什么？解：01210200因,所以不獨立.7.將兩封信隨意地投入3個空郵筒，設(shè)X、Y分別表示第1、第2個郵筒中信的數(shù)量，求(1)X與Y的聯(lián)合概率分布。(2)求出第3個郵筒里至少投入一封信的概率.(3)求其邊緣分布解：(1)(3)012010200(2)P=5/9.8．袋中裝有標有1，1，2，3的四個球，從中任取一個并且不再放回，然后再從袋中任取一球，以分別記為第一，第二次取到的球上的號碼數(shù)，求（1）的聯(lián)合分布律（2）的分布律（3）的分布律解：12312030(2)2345(3)-2-10129.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，求(1)常數(shù)，(2)，(3).解：(1)因，即，解得（2）.（3）.10.設(shè)；①.求常數(shù)②求③與是否相互獨立？解：（1）見課本p60（2）聯(lián)合密度函數(shù)求解過程見課本邊緣分布函數(shù)為邊緣密度函數(shù)為（3）因為（或），所以相互獨立.11.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度是，求(1)c的值；（2）兩個邊緣密度(3)并判斷X，Y的獨立性(4)(1)因，即，解得(2)，當或時，.當時，所以，當或時，.當時，所以（3）因,所以不獨立.(4)12.設(shè)在3次獨立試驗中,每次試驗事件A發(fā)生的概率相等.設(shè)X為3次試驗中事件A發(fā)生次數(shù)且.求在3次獨立試驗中事件A至少發(fā)生一次的概率.解:設(shè)A發(fā)生的概率為p,則.由得,.所以,.13.從只含有3黑,4白兩種顏色球的球袋中逐次取一球,令.試在不放回模式下求的聯(lián)合分布律,并考慮其獨立性(要說明原因).0102/72/712/71/7因為,所以不獨立.14.設(shè)相互獨立,且,,令求的分布律.解：01P15.設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布且,求的值并寫出隨機變量的分布列.解:;的分布列為.16.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布列為YX0123103/83/8031/8001/8求、和.解:.因為X13P3/41/4所以.因為XY012369P1/83/83/8001/8所以.又因為所以17.盒中有4張卡片，其上所標的數(shù)字分別為1、2、3、4.從中任取一張，然后在剩下的卡片（其上的數(shù)字大于1）中再取1張.以表示第一次所取卡片上的數(shù)字，以表示第二次所取卡片上的數(shù)字.求的聯(lián)合分布列和邊緣分布列及,.解:聯(lián)合分布列為X\Y23411/121/121/12201/81/831/801/841/81/80邊緣分布列為X1234P1/41/41/41/4Y234P1/31/31/3.18.設(shè)隨機變量X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布,EX=1且DX=1.求a,b的值并寫出隨機變量的密度函數(shù)f(x).解:因為，，解得.所以19.設(shè)，且X，Y獨立，試求E(XY)，D(XY).解：因為，相互獨立，所以.因為所以,,又因為相互獨立，所以20.設(shè)隨機變量X密度函數(shù)為，求EX,E(5X-1),,DX和D(2X）.解:，,,,.21.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為,求(1)Y=2X+1的密度函數(shù)(2)求EY及DY.解:(1)因為，所以.(2)因為,.所以.22.設(shè)（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為，問X，Y是否獨立？求EX，DX.解:的邊緣密度函數(shù)為當或時，當時，.所以.當或時，當時，.所以.因為，所以相互獨立.,,.23..設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為=，試求，的數(shù)學期望.解:.中心極限定理(10分)24.計算機在每次進行數(shù)字計算時遵從四舍五入原則.為使我們此題簡單考慮,我們假定對小數(shù)點后面的第一位進行四舍五入運算,則可以認為誤差.現(xiàn)若在一項計算中一共進行了100次數(shù)字計算，求平均誤差落在區(qū)間上的概率.解:設(shè)表示第次計算的誤差，則..由中心極限定理得，所以25.生產(chǎn)燈泡的合格率為0.9,求10000個燈泡中合格數(shù)在8900～9100的概率.解:設(shè)合格燈泡數(shù)為,則,由中心極限定理得，所以.26.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋10000次,求出現(xiàn)正面的次數(shù)不超過5200的概率.(用表示)解:設(shè)出現(xiàn)正面的次數(shù)為,則,由中心極限定理得.因此,.27.某車間有200臺機床，它們獨立地工作著，設(shè)每臺機器開工率為0.6，開工時耗電1千瓦，問供電所至少要供多少電才能以不小于0.999的概率保證車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)？解:設(shè)開工的機器數(shù)為,則,由中心極限定理，設(shè)至少供應(yīng)千瓦的電，由題意，即,查表解得.所以至少供應(yīng)142千瓦的電能.28.某單位有200部電話分機,每部電話約有5%的時間要使用外線通話.設(shè)每部電話是否使用外線通話是相互獨立的.求該單位總機至少需要安裝多少條外線才能以0.90以上的概率保證每部電話需要使用外線時可以打通?解:設(shè)同時要使用外線的電話數(shù)為,則,由中心極限定理，設(shè)至少需要安裝條外線，由題意，即查表解得所以至少安裝14條外線.29.某市保險公司開辦一年人身保險業(yè)務(wù).被保險人每年需交付保險費160元.若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故,其本人或家屬可獲2萬元賠金.己知該市人員一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005.現(xiàn)有5000人參加此項保險.求保險公司一年內(nèi)從此項業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬元到40萬元之間的概率.解:設(shè)發(fā)生重大人身事故的人數(shù)為,則,由中心極限定理,所以.第六章抽樣和抽樣分布1．設(shè)總體服從正態(tài)分布，其中是已知的，而未知的，是從總體中抽取的一個簡單隨機樣本.(1)求的密度函數(shù);(2)指出，，，，之中，哪些是統(tǒng)計量，哪些不是統(tǒng)計量，為什么？解：(1);(2)，，，是統(tǒng)計量.2.若是總體X的簡單隨機樣本，是的函數(shù),則(D)(A)統(tǒng)計量一定不含未知參數(shù)(B)一定是一個統(tǒng)計量(C)統(tǒng)計量的分布一定不含未知參數(shù)(D)

A、C都對3.(2011cczu)10分設(shè)是來自具有分布-11的總體的隨機樣本,試用中心極限定理計算.(已知.)解:由題知,,故.由中心極限定理知,.所以,.4.從某班級的期末考試成績中，隨機抽取10名同學的成績分別為：100，85，70，65，90，95，63，50，77，86.(1)試寫出總體，樣本，樣本值，樣本容量;(2)求樣本均值，樣本方差及樣本二階中心矩的觀察值.解：設(shè)表示全班同學的期末考試成績，則總體為，樣本為,樣本值為（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86）,樣本容量為，樣本均值的觀察值為，樣本方差的觀察值為.樣本二階中心矩的觀察值為.5．設(shè)隨機變量,則（B）.（A）T服從分布（B）T服從分布C）T服從正態(tài)分布（D）T服從分布6．設(shè)為正態(tài)總體的一個樣本,則樣本均值.數(shù)學期望.(2011cczu)數(shù)學期望.7.總體X服從正態(tài)分布,為未知參數(shù)，是來自X的樣本，則服從分布.8.(2011cczu)設(shè)為正態(tài)總體的一個樣本,則,其中為樣本方差.9.為總體的一個樣本，為樣本均值，則下列結(jié)論中正確的是（D）.ABCD10．，，…，相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布，則服從的分布為.11.(2012cczu)5分設(shè)為總體的一個樣本，為樣本均方差，則服從的分布是.12.2012cczu)5分設(shè).要檢驗假設(shè),則當為真時,用于檢驗的統(tǒng)計量服從的分布是.13.一個樣本，是樣本均值，試問樣本容量至少應(yīng)取多大才能使成立.解：因為，所以,即,得.14.分布為下述情形(1)X～；(2)；(3)，為取自總體的樣本，與分別為樣本均值與樣本方差，試分別求.解：（1）;（2）;（3）.第七章參數(shù)估計(10分)1.(2011cczu)10分設(shè)總體X的密度函數(shù)為.設(shè)0.97,0.06,0.18,0.24,0.88,0.11,0.70,0.51,0.62,0.73為來自該總體的樣本值.求參數(shù)的矩估計值.解:依題意,,得參數(shù)的矩估計量為.而樣本均值,所以估計值為.2.(2012cczu)10分設(shè)總體X的密度函數(shù)為求的矩估計并計算.解:,得參數(shù)的矩估計量為..而,故.第八章假設(shè)檢驗(10分)1.(2011cczu)10分某車間用一臺包裝機包裝精鹽,額定標準每袋凈重400g.設(shè)包裝機包裝出的鹽每袋重,其中.每天隨機地抽取9袋秤得凈重為(單位:g)397,406,418,424,388,411,410,415,412.問包裝機工作是否正常?(取).查表.解:(1)假設(shè);(2)取統(tǒng)計量;(3)由,確定臨界值,使得;(4)由樣本值,得統(tǒng)計量的觀察值.(5)因為,